Knights and Knaves — это разновидность логической головоломки , в которой некоторые персонажи могут отвечать на вопросы только правдиво, а другие — только ложно. Название было придумано Рэймондом Смалльяном в его работе 1978 года « Как называется эта книга?» [1]
Действие загадок разворачивается на вымышленном острове, все жители которого — либо рыцари , которые всегда говорят правду, либо мошенники, которые всегда лгут . В загадках участвует посетитель острова, который встречает небольшие группы жителей. Обычно цель состоит в том, чтобы посетитель смог определить тип жителей по их высказываниям, но некоторые головоломки этого типа требуют вывода других фактов. Загадка также может заключаться в том, чтобы определить вопрос типа «да-нет» , который посетитель может задать, чтобы получить конкретную информацию.
В одном из примеров головоломки такого типа, предложенном Смалльяном, участвуют три жителя, называемые A, B и C. Посетитель спрашивает A, какого он типа, но не слышит ответа A. Затем Б говорит: «А сказал, что он лжец», а С говорит: «Не верьте Б, он лжет!» [2] Чтобы решить загадку, обратите внимание, что ни один житель не может сказать, что он лжец. Следовательно, утверждение B должно быть неверным, поэтому он лжец, а утверждение C истинно, поэтому он рыцарь. Поскольку ответом А всегда будет «Я рыцарь», на основании предоставленной информации невозможно определить, является ли А рыцарем или лжецом.
Морис Крайчик представляет ту же загадку в книге «Математические развлечения» 1953 года , где две группы на отдаленном острове — Арбус и Боснины — либо лгут, либо говорят правду, и отвечают на тот же вопрос, что и выше. [3]
В некоторых вариантах жители также могут быть альтернаторами, которые попеременно лгут и говорят правду, или нормальными людьми, которые могут говорить все, что хотят. [2] Еще одна сложность заключается в том, что жители могут отвечать на вопросы «да-нет» на своем родном языке, и посетитель знает, что «бал» и «да» означают «да» и «нет», но не знает, что есть что. Эти типы головоломок послужили основным источником вдохновения для создания того, что стало известно как « самая сложная логическая головоломка за всю историю ».
Большой класс элементарных логических задач можно решить, используя законы булевой алгебры и логические таблицы истинности . Знакомство с булевой алгеброй и процессом ее упрощения поможет понять следующие примеры.
Алиса и Боб — жители острова рыцарей и лжецов.
Алиса говорит: «Мы оба лжецы».
В данном случае Алиса — лжец, а Боб — рыцарь. Утверждение Алисы не может быть правдой, потому что лжец, признающий себя лжецом, будет тем же самым, что и лжец, говорящий правду: «Я лжец», что известно как парадокс лжеца . Поскольку Алиса — лжица, это означает, что она, должно быть, солгала о том, что они оба лжецы, и, следовательно, Боб — рыцарь.
Алиса говорит: «Мы одного типа», но Боб говорит: «Мы разные».
В этом сценарии они делают противоречивые заявления, поэтому один должен быть рыцарем, а другой — лжецом. Поскольку именно это сказал Боб, Боб, должно быть, рыцарь, а Алиса — лжец.
Если все, что хочется знать, — это является ли кто-то рыцарем или лжецом, это можно проверить, просто задав вопрос, на который уже известен ответ. В фильме «Загадка Каспара Хаузера » персонаж решает загадку о том, является ли человек рыцарем или лжецом, предлагая спросить человека, «был ли он древесной лягушкой».
Это, пожалуй, самая известная версия головоломки такого типа:
Джон и Билл стоят на развилке дорог . Джон стоит перед левой дорогой, а Билл стоит перед правой дорогой. Один из них рыцарь, а другой лжец, но вы не знаете кто. Вы также знаете, что одна дорога ведет к Смерти, а другая – к Свободе. Задав один вопрос «да-нет» , можете ли вы определить путь к Свободе?
Эта версия головоломки получила дальнейшую популяризацию благодаря сцене из фантастического фильма 1986 года « Лабиринт» , в которой главная героиня оказывается перед двумя дверями со стражами, которые следуют правилам головоломки. Одна дверь ведет в замок в центре лабиринта, а другая — на верную смерть. Примерно десять лет назад он также появился в очень похожей форме в рассказе Доктора Кто « Пирамиды Марса» .
Этот вариант головоломки также использовался в эпизоде «Сказки Джека» 2-го сезона американского мультсериала « Самурай Джек» . Его снова использовали в 4-м сезоне бельгийского реалити-шоу De Mol в 2016 году. Узнать, какой путь ведет к свободе, можно несколькими способами. Все можно определить с помощью булевой алгебры и таблицы истинности.
В «Лабиринте» решение главного героя — спросить одного из охранников: «Скажет ли [другой охранник] мне, что [твоя] дверь ведет в замок?» Этим вопросом рыцарь скажет правду о лжи, а лжец скажет ложь о правде. Поэтому данный ответ всегда будет противоположным правильному ответу на вопрос, ведет ли дверь в замок.
Другое предполагаемое решение — спросить любого из мужчин, скажут ли они, что их собственный путь ведет к свободе. В этом случае идея состоит в том, что лжец, вместо того, чтобы лгать о правдивом ответе, будет вынужден солгать о лжи, которую он скажет (т. е. ответить двойным отрицанием ) , таким образом, и рыцарь, и лжец дадут правильный ответ. .
Философ Нельсон Гудман анонимно опубликовал другую версию в выпуске Boston Post от 8 июня 1931 года, в которой дворяне никогда не лгали, а охотники никогда не говорили правду. Однажды встречаются три жителя A , B , C , и A говорит либо «Я дворянин», либо «Я охотник», мы еще не знаем, что именно. Тогда Б в ответ на вопрос говорит: « А сказал: «Я охотник»». После этого B говорит: « C — охотник». Затем C говорит: « А благороден». Теперь проблема в том, что является каждым из них и почему?
Поскольку охотник всегда лжет, они не могут признать свою личность: следовательно, А не мог признаться в том, что он охотник. Это означает, что B должен быть охотником, его утверждение, направленное в адрес C, должно быть ложным, и, следовательно, A и C должны быть дворянами.
Гудман сообщает, что загадка пришла к нему с разных сторон, включая встречу варшавских логиков в 1936 году через Карнапа ; некоторые версии эха были искажены из-за объединения двух высказываний Б в одно, что сделало головоломку неразрешимой. Несколько лет спустя Гудман услышал о варианте с развилкой дорог; опасаясь контрфактических высказываний, он разработал не сослагательное наклонение и не противоречащий фактам вопрос, который можно задать. [4]