Серия Меркатор

Ряд Тейлора для натурального логарифма

Полиномиальное приближение к логарифму при n=1, 2, 3 и 10 в интервале (0,2).

В математике ряд Меркатора или ряд Ньютона–Меркатора представляет собой ряд Тейлора для натурального логарифма :

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

В записи суммирования ,

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

Ряд сходится к натуральному логарифму (сдвинутому на 1) всякий раз, когда . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$

История

Ряд был открыт независимо Иоганном Гудде (1656) ^[1] и Исааком Ньютоном (1665), но ни один из них не опубликовал результат. Николас Меркатор также независимо открыл его и включил значения ряда для малых величин в свой трактат 1668 года Logarithmotechnia ; общий ряд был включен в обзор книги Джона Уоллиса 1668 года в Philosophical Transactions . ^[2]

Вывод

Ряд может быть получен из теоремы Тейлора , путем индуктивного вычисления n- ^й производной от , начиная с ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

В качестве альтернативы можно начать с конечной геометрической прогрессии ( ) ${\displaystyle t\neq -1}$

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

что дает

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

Из этого следует, что

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}$

и путем почленной интеграции,

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}$

Если , то остаточный член стремится к 0 как . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Это выражение можно интегрировать итеративно еще k раз, чтобы получить

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

где

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

и

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

являются полиномами по x . ^[3]

Особые случаи

Установка в ряд Меркатора дает знакопеременный гармонический ряд ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}$

Комплексная серия

Комплексный степенной ряд

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

это ряд Тейлора для , где log обозначает главную ветвь комплексного логарифма . Этот ряд сходится точно для всех комплексных чисел . Фактически, как видно из теста отношения , он имеет радиус сходимости, равный 1, поэтому сходится абсолютно на каждом диске B (0,  r ) с радиусом r  < 1. Более того, он сходится равномерно на каждом отсеченном диске , с δ  > 0. Это сразу следует из алгебраического тождества: ${\displaystyle -\log(1-z)}$ ${\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}$ ${\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}$

заметив, что правая часть равномерно сходится на всем замкнутом единичном круге.

Смотрите также

• Джон Крейг
• Натуральный логарифм плюс 1

Ссылки

1. Вермий, Риенк (3 февраля 2012 г.). «Bijdrage tot de bio-bibliografie Йоханнеса Худде». Gewina / TGGNWT (на голландском языке). 18 (1): 25–35. hdl : 1874/251283. ISSN  0928-303X.
2. Рой, Ранджан (2021) [1-е изд. 2011]. Серии и продукты в развитии математики . Том 1 (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 107, 167.
3. Медина, Луис А.; Молл, Виктор Х .; Роуленд, Эрик С. (2011). «Итерированные примитивы логарифмических степеней». Международный журнал теории чисел . 7 (3): 623–634. arXiv : 0911.1325 . doi :10.1142/S179304211100423X. S2CID  115164019.

• Вайсштейн, Эрик В. "Ряд Меркатора". MathWorld .
• Антон фон Браунмюль (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, страница 134, через Интернет-архив
• Эрикссон, Ларссон и Вахде. Matematisk analys medtilämpningar , часть 3. Гетеборг, 2002. с. 10.
• Некоторые современники Декарта, Ферма, Паскаля и Гюйгенса из «Краткого изложения истории математики» (4-е издание, 1908 г.) В. В. Рауза Болла