Самофинансируемый портфель

В финансовой математике самофинансируемый портфель — это портфель , особенностью которого является то, что при отсутствии экзогенного вливания или изъятия денег покупка нового актива должна финансироваться за счет продажи старого. ^{[ требуется ссылка ]} Эта концепция используется для определения, например, допустимых стратегий и реплицирующих портфелей , причем последние являются основополагающими для безарбитражного ценообразования деривативов .

Математическое определение

Дискретное время

Предположим, что нам дано дискретное отфильтрованное вероятностное пространство , и пусть будет конусом платежеспособности (с транзакционными издержками или без них ) в момент времени t для рынка. Обозначим через . Тогда портфель (в физических единицах, т.е. количество каждой акции) является самофинансируемым (с торговлей только на конечном наборе времен), если ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t=0}^{T},P)}$ ${\displaystyle K_{t}}$ ${\displaystyle L_{d}^{p}(K_{t})=\{X\in L_{d}^{p}({\mathcal {F}}_{T}):X\in K_{t}\;P-a.s.\}}$ ${\displaystyle (H_{t})_{t=0}^{T}}$

для всего, что мы имеем с соглашением, что . ^[1] ${\displaystyle t\in \{0,1,\dots ,T\}}$ ${\displaystyle H_{t}-H_{t-1}\in -K_{t}\;P-a.s.}$ ${\displaystyle H_{-1}=0}$

Если нас интересует только набор, в котором может находиться портфель в будущем, то можно сказать, что . ${\displaystyle H_{\tau }\in -K_{0}-\sum _{k=1}^{\tau }L_{d}^{p}(K_{k})}$

Если существуют транзакционные издержки, то следует рассматривать только дискретную торговлю, а в непрерывном времени приведенные выше расчеты следует довести до предела, чтобы . ${\displaystyle \Delta t\to 0}$

Непрерывное время

Пусть будет d-мерный полумартингальный рынок без трения и d-мерный предсказуемый стохастический процесс, такой что существуют стохастические интегралы . Процесс обозначает количество акций номер акции в портфеле в момент времени , и цену акции номер . Обозначим процесс стоимости торговой стратегии как ${\displaystyle S=(S_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h=(h_{t})_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle h^{i}\cdot S^{i}}$ ${\displaystyle \forall \,i=1,\dots ,d}$ ${\displaystyle h_{t}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{t}^{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}h_{t}^{i}S_{t}^{i}.}$

Тогда портфель/торговая стратегия называется самофинансируемой, если ${\displaystyle h=\left((h_{t}^{1},\dots ,h_{t}^{d})\right)_{t}}$

${\displaystyle V_{t}=\sum _{i=1}^{n}\left\{h_{0}^{i}S_{0}^{i}+\int _{0}^{t}h_{u}^{i}\mathrm {d} S_{u}^{i}\right\}=h_{0}\cdot S_{0}+\int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$. ^[2]

Термин соответствует первоначальному богатству портфеля, в то время как это накопленная прибыль или убыток от торговли до времени . Это означает, в частности, что не было никаких вливаний денег в портфель или изъятий денег из него. ${\displaystyle h_{0}\cdot S_{0}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{t}h_{u}\cdot \mathrm {d} S_{u}}$ ${\displaystyle t}$

Смотрите также

• Копирование портфолио
• Самофинансирование

Ссылки

1. Хамель, Андреас; Хейде, Франк; Рудлофф, Биргит (30 ноября 2010 г.). «Меры риска с заданными значениями для конических рыночных моделей». arXiv : 1011.5986v1 [q-fin.RM].
2. Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Oxford University Press. стр. 87. ISBN 978-0-19-877518-8.