собственность Шура

В математике свойство Шура , названное в честь Иссая Шура , — это свойство нормированных пространств , которое выполняется в точности тогда, когда слабая сходимость последовательностей влечет за собой сходимость по норме.

Мотивация

Когда мы работаем в нормированном пространстве X и у нас есть последовательность , которая слабо сходится к , то возникает естественный вопрос. Сходится ли последовательность, возможно, более желательным образом? То есть, сходится ли последовательность к по норме? Каноническим примером этого свойства, который обычно используется для иллюстрации свойства Шура, является пространство последовательностей . ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$

Определение

Предположим, что у нас есть нормированное пространство ( X , ||·||), произвольный элемент X и произвольная последовательность в пространстве. Мы говорим, что X обладает свойством Шура , если слабая сходимость к подразумевает, что . Другими словами, слабая и сильная топологии разделяют одни и те же сходящиеся последовательности. Однако следует отметить, что слабая и сильная топологии всегда различны в бесконечномерном пространстве. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Vert x_{n}-x\Vert =0}$

Примеры

Пространство ℓ ¹ последовательностей, ряды которых абсолютно сходятся, обладает свойством Шура.

Свойство Шура в теории групп

Конечные группы

Рассмотрим симметрическую группу S3. Эта группа имеет неприводимые представления размерностей 1 и 2 над C. Если ρ — неприводимое представление S3 размерности 1 (тривиальное представление), то лемма Шура гласит, что любой S3-гомоморфизм из этого представления в любое другое представление (включая себя) является либо изоморфизмом, либо нулем. В частности, если ρ — одномерное представление, а σ — двумерное представление, любой гомоморфизм из ρ в σ должен быть нулевым, поскольку эти два представления не изоморфны.

Бесконечные группы

Для группы Z (группы целых чисел по сложению) каждое неприводимое представление является одномерным. Если V и W являются одномерными представлениями Z, то лемма Шура подразумевает, что любой гомоморфизм между ними является изоморфизмом (если только гомоморфизм не равен нулю, что в этом случае невозможно).

Имя

Это свойство было названо в честь математика начала 20-го века Иссая Шура , который в своей работе 1921 года показал, что ℓ ¹ обладает указанным выше свойством. ^[1]

Смотрите также

• Свойство Радона-Рисса для аналогичного свойства нормированных пространств
• Теорема Шура

Примечания

1. Дж. Шур, «Über Lineare Transformationen in der Theorie der Unendlichen Reihen», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 151 (1921), стр. 79-111.

Ссылки

• Меггинсон, Роберт Э. (1998), Введение в теорию банахова пространства , Нью-Йорк Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98431-3
• Саймон, Б. (2015), Представления конечных и компактных групп. Springer.