Сеть малого мира

Граф, в котором большинство узлов достижимо за небольшое количество шагов

Пример сети малого мира.
Хабы больше других узлов.

Сеть малого мира — это граф, характеризующийся высоким коэффициентом кластеризации и малыми расстояниями . На примере социальной сети высокая кластеризация подразумевает высокую вероятность того, что двое друзей одного человека сами являются друзьями. Низкие расстояния, с другой стороны, означают, что между любыми двумя людьми существует короткая цепочка социальных связей (этот эффект известен как шесть степеней разделения ). ^[1] В частности, сеть малого мира определяется как сеть, в которой типичное расстояние L между двумя случайно выбранными узлами (количество требуемых шагов) растет пропорционально логарифму числа узлов N в сети, то есть: ^[2]

${\displaystyle L\propto \log N}$

в то время как глобальный коэффициент кластеризации не мал.

В контексте социальной сети это приводит к феномену маленького мира , когда незнакомцы связаны короткой цепочкой знакомых . Многие эмпирические графики показывают эффект маленького мира, включая социальные сети , вики, такие как Википедия, генные сети и даже базовую архитектуру Интернета . Это вдохновение для многих архитектур сетей на кристалле в современном компьютерном оборудовании . ^[3]

Определенная категория сетей малого мира была идентифицирована как класс случайных графов Дунканом Уоттсом и Стивеном Строгацем в 1998 году. ^[4] Они отметили, что графы можно классифицировать по двум независимым структурным признакам, а именно коэффициенту кластеризации и среднему расстоянию между узлами (также известному как средняя длина кратчайшего пути ). Чисто случайные графы, построенные в соответствии с моделью Эрдеша–Реньи (ER) , демонстрируют небольшую среднюю длину кратчайшего пути (обычно изменяющуюся как логарифм числа узлов) вместе с небольшим коэффициентом кластеризации. Уоттс и Строгац измерили, что на самом деле многие реальные сети имеют небольшую среднюю длину кратчайшего пути, но также и коэффициент кластеризации, значительно превышающий ожидаемый случайным образом. Затем Уоттс и Строгац предложили новую модель графа, в настоящее время называемую моделью Уоттса и Строгаца , с (i) небольшой средней длиной кратчайшего пути и (ii) большим коэффициентом кластеризации. Переход в модели Уоттса–Строгаца между «большим миром» (таким как решетка) и малым миром был впервые описан Бартелеми и Амаралом в 1999 году. ^[5] За этой работой последовало множество исследований, в том числе с точными результатами (Баррат и Вайгт, 1999; Дороговцев и Мендес ; Бармпутис и Мюррей, 2010).

Свойства сетей малого мира

Сети малого мира, как правило, содержат клики и почти клики, то есть подсети, которые имеют связи между почти любыми двумя узлами внутри них. Это следует из определяющего свойства высокого коэффициента кластеризации . Во-вторых, большинство пар узлов будут связаны по крайней мере одним коротким путем. Это следует из определяющего свойства, что средняя длина кратчайшего пути должна быть небольшой. Несколько других свойств часто связаны с сетями малого мира. Обычно существует избыточное изобилие концентраторов — узлов в сети с большим количеством соединений (известных как узлы высокой степени ). Эти концентраторы служат общими связями, опосредующими короткие длины путей между другими ребрами. По аналогии, сеть малого мира авиарейсов имеет небольшую среднюю длину пути (т. е. между любыми двумя городами вам, вероятно, придется совершить три или меньше рейсов), потому что многие рейсы проходят через города- концентраторы . Это свойство часто анализируется путем рассмотрения доли узлов в сети, которые имеют определенное количество соединений, входящих в них (распределение степени сети). Сети с большим, чем ожидалось, числом концентраторов будут иметь большую долю узлов с высокой степенью, и, следовательно, распределение степени будет обогащено при высоких значениях степени. Это известно в разговорной речи как распределение с толстым хвостом . Графы с очень разной топологией квалифицируются как сети малого мира, если они удовлетворяют двум определяющим требованиям, указанным выше.

Теснота сети была количественно определена малым коэффициентом, который рассчитывается путем сравнения кластеризации и длины пути данной сети с моделью Эрдёша–Реньи с той же степенью в среднем. ^{[6] [7]} ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma ={\frac {\frac {C}{C_{r}}}{\frac {L}{L_{r}}}}}$

если ( и ), сеть — маленький мир. Однако известно, что эта метрика работает плохо, поскольку на нее сильно влияет размер сети. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \sigma >1}$ ${\textstyle C\gg C_{r}}$ ${\textstyle L\approx {L_{r}}}$

Другой метод количественной оценки малого мира сети использует исходное определение малого мира сети, сравнивая кластеризацию данной сети с эквивалентной решетчатой ​​сетью и ее длину пути с эквивалентной случайной сетью. Мера малого мира ( ) определяется как ^[8] ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\frac {L_{r}}{L}}-{\frac {C}{C_{\ell }}}}$

Где характерная длина пути L и коэффициент кластеризации C вычисляются на основе тестируемой сети, C _ℓ — это коэффициент кластеризации для эквивалентной решетчатой ​​сети, а L _r — это характерная длина пути для эквивалентной случайной сети.

Еще один метод количественной оценки тесноты мира нормализует как кластеризацию сети, так и длину пути относительно этих характеристик в эквивалентных решетчатых и случайных сетях. Индекс малого мира (SWI) определяется как ^[9]

${\displaystyle {\text{SWI}}={\frac {L-L_{\ell }}{L_{r}-L_{\ell }}}\times {\frac {C-C_{r}}{C_{\ell }-C_{r}}}}$

Оба ω ′ и SWI находятся в диапазоне от 0 до 1 и, как было показано, охватывают аспекты малого мира. Однако они принимают немного разные концепции идеального малого мира. Для заданного набора ограничений (например, размера, плотности, распределения степеней) существует сеть, для которой ω ′ = 1, и, таким образом, ω стремится охватить степень, в которой сеть с заданными ограничениями является настолько маломирной, насколько это возможно. Напротив, может не существовать сети, для которой SWI = 1, поэтому SWI стремится охватить степень, в которой сеть с заданными ограничениями приближается к теоретическому идеалу малого мира сети, где C ≈ C _ℓ и L ≈ L _r . ^[9]

Примеры сетей малого мира

Свойства малого мира обнаруживаются во многих явлениях реального мира, включая веб-сайты с навигационными меню, пищевые сети, электросети, сети обработки метаболитов, сети нейронов мозга , сети избирателей, графики телефонных звонков и сети аэропортов. ^[10] Культурные сети ^{[11] и} сети совместного появления слов ^[12] также, как было показано, являются сетями малого мира.

Сети связанных белков обладают свойствами малого мира, такими как распределение степеней, подчиняющееся степенному закону. ^[13] Аналогично транскрипционные сети , в которых узлами являются гены , и они связаны, если один ген оказывает повышающее или понижающее генетическое влияние на другой, обладают свойствами малого мира. ^[14]

Примеры сетей немалых размеров

В другом примере, известная теория « шести степеней разделения » между людьми молчаливо предполагает, что областью дискурса является множество людей, живущих в любой момент времени. Число степеней разделения между Альбертом Эйнштейном и Александром Великим почти наверняка больше 30 ^[15] , и эта сеть не имеет свойств тесного мира. Аналогично ограниченной сетью была бы сеть «ходили в школу с»: если два человека учились в одном колледже с разницей в десять лет, маловероятно, что у них есть общие знакомые среди студентов.

Аналогично, количество ретрансляционных станций, через которые должно было пройти сообщение, не всегда было небольшим. В те дни, когда почту доставляли вручную или на лошадях, количество переходов письма из рук в руки между отправителем и получателем было бы намного больше, чем сегодня. Количество переходов сообщения из рук в руки во времена визуального телеграфа (около 1800–1850 гг.) определялось требованием, чтобы две станции были соединены прямой видимостью.

Неявные предположения, если их не исследовать, могут привести к предвзятости в литературе о графах в пользу поиска сетей малого мира (пример эффекта картотечного ящика, возникающего из-за предвзятости публикаций ).

Надежность сети

Некоторые исследователи, такие как Альберт-Ласло Барабаши , выдвигают гипотезу , что распространенность сетей малого мира в биологических системах может отражать эволюционное преимущество такой архитектуры. Одна из возможностей заключается в том, что сети малого мира более устойчивы к возмущениям, чем другие сетевые архитектуры. Если бы это было так, это дало бы преимущество биологическим системам, которые подвержены повреждениям из-за мутации или вирусной инфекции .

В сети малого мира с распределением степеней, следующим степенному закону , удаление случайного узла редко приводит к резкому увеличению средней кратчайшей длины пути (или резкому уменьшению коэффициента кластеризации ). Это следует из того факта, что большинство кратчайших путей между узлами проходят через хабы , и если периферийный узел удален, это вряд ли помешает проходу между другими периферийными узлами. Поскольку доля периферийных узлов в сети малого мира намного выше доли хабов , вероятность удаления важного узла очень мала. Например, если небольшой аэропорт в Сан-Вэлли, штат Айдахо, был закрыт, это не увеличило бы среднее количество рейсов, которые должны были бы совершить другие пассажиры, путешествующие в Соединенных Штатах, чтобы добраться до своих пунктов назначения. Однако, если случайное удаление узла случайно попадет в хаб, средняя длина пути может резко увеличиться. Это можно наблюдать ежегодно, когда северные аэропорты-хабы, такие как аэропорт О'Хара в Чикаго , закрываются из-за снега; многим людям приходится совершать дополнительные рейсы.

Напротив, в случайной сети, в которой все узлы имеют примерно одинаковое количество соединений, удаление случайного узла, вероятно, увеличит среднюю длину кратчайшего пути немного, но значительно для почти любого удаленного узла. В этом смысле случайные сети уязвимы для случайных возмущений, тогда как сети малого мира являются надежными. Однако сети малого мира уязвимы для целенаправленной атаки концентраторов, тогда как случайные сети не могут быть нацелены на катастрофический отказ.

Строительство сетей малого мира

Основным механизмом построения сетей малого мира является механизм Уоттса-Строгаца .

Сети малого мира также могут быть введены с задержкой по времени ^[16] , что при правильных условиях приведет не только к появлению фракталов, но и хаоса ^{[17] , или к переходу к хаосу в динамических сетях. [18]}

Вскоре после публикации механизма Уоттса–Строгаца Машаги и его коллеги разработали подходы для генерации сетевых моделей, которые демонстрируют высокие степени корреляции, сохраняя при этом желаемое распределение степеней и свойства малого мира. Эти подходы основаны на преобразовании ребер-дуалей и могут использоваться для генерации аналитически решаемых сетевых моделей малого мира для исследования этих систем. ^[19]

Графы степени-диаметра строятся таким образом, что число соседей каждой вершины в сети ограничено, в то время как расстояние от любой заданной вершины в сети до любой другой вершины (диаметр сети ) минимизируется. Построение таких сетей малого мира осуществляется в рамках усилий по поиску графов порядка, близкого к границе Мура .

Другой способ построения сети малого мира с нуля представлен в работе Бармпутиса и др. [ ^20] , где построена сеть с очень малым средним расстоянием и очень большой средней кластеризацией. Приведен быстрый алгоритм постоянной сложности, а также измерения надежности полученных графов. В зависимости от применения каждой сети можно начать с одной такой сети «ультрамалого мира», а затем перемонтировать некоторые ребра или использовать несколько небольших таких сетей в качестве подграфов для более крупного графа.

Свойства малого мира могут естественным образом возникать в социальных сетях и других системах реального мира посредством процесса двухфазной эволюции . Это особенно распространено, когда временные или пространственные ограничения ограничивают добавление связей между вершинами. Механизм обычно включает периодические сдвиги между фазами, при этом связи добавляются во время «глобальной» фазы и усиливаются или удаляются во время «локальной» фазы.

Сети малого мира могут переходить из класса безмасштабных сетей в класс широкомасштабных сетей, распределение связности которых имеет резкий срез после режима степенного закона из-за ограничений, ограничивающих добавление новых связей. ^[21] При достаточно сильных ограничениях сети безмасштабных сетей могут даже стать сетями одного масштаба, распределение связности которых характеризуется как быстрое затухание. ^[21] Также было аналитически показано, что сети безмасштабных сетей являются сверхмалыми, что означает, что расстояние масштабируется в соответствии с . ^[22] ${\displaystyle L\propto \log \log N}$

Приложения

Приложения к социологии

Преимущества сетей малого мира для групп общественного движения заключаются в их устойчивости к изменениям из-за фильтрующего аппарата с использованием узлов с высокой степенью связи, а также в их большей эффективности в передаче информации при сохранении минимального количества связей, необходимых для подключения к сети. ^[23]

Модель сети малого мира напрямую применима к теории групп по интересам, представленной в социологических аргументах Уильяма Финнегана . Группы по интересам — это группы социального движения, которые являются небольшими и полунезависимыми, приверженными более крупной цели или функции. Хотя в значительной степени не связаны на уровне узлов, несколько членов с высокой степенью связности выполняют функции узлов связности, связывая различные группы посредством сетевых связей. Эта модель малого мира оказалась чрезвычайно эффективной тактикой организации протеста против действий полиции. ^[24] Клей Ширки утверждает, что чем больше социальная сеть, созданная посредством сетей малого мира, тем ценнее узлы высокой связности внутри сети. ^[23] То же самое можно сказать и о модели групп по интересам, где несколько человек в каждой группе, связанных с внешними группами, допускают большую мобилизацию и адаптацию. Практическим примером этого является сеть малого мира через группы по интересам, которую Уильям Финнеган описывает в отношении протестов ВТО в Сиэтле в 1999 году .

Применение в науках о Земле

Было показано, что многие сети, изучаемые в геологии и геофизике, обладают характеристиками сетей малого мира. Сети, определенные в системах трещин и пористых веществах, продемонстрировали эти характеристики. ^[25] Сейсмическая сеть в регионе Южной Калифорнии может быть сетью малого мира. ^[26] Приведенные выше примеры происходят в очень разных пространственных масштабах, демонстрируя масштабную инвариантность явления в науках о Земле.

Приложения к вычислениям

Сети малого мира использовались для оценки удобства использования информации, хранящейся в больших базах данных. Эта мера называется Мерой преобразования данных малого мира. ^{[27] [28]} Чем больше ссылок базы данных соответствуют сети малого мира, тем больше вероятность того, что пользователь сможет извлечь информацию в будущем. Это удобство использования обычно достигается за счет объема информации, которая может храниться в одном и том же репозитории.

Было показано , что одноранговая сеть Freenet в ходе моделирования образует сеть малого мира [ ^29], позволяющую хранить и извлекать информацию таким образом, что эффективность масштабируется по мере роста сети.

Решения поиска ближайших соседей, такие как HNSW, используют сети малого мира для эффективного поиска информации в больших массивах элементов. ^{[30] [31]}

Нейронные сети в мозге, тесно связанные с миром

Как анатомические связи в мозге ^[32] , так и сети синхронизации корковых нейронов ^[33] демонстрируют топологию малого мира.

Было также обнаружено, что структурная и функциональная связность в мозге отражает топологию малого мира с короткой длиной пути и высокой кластеризацией. ^[34] Сетевая структура была обнаружена в коре млекопитающих разных видов, а также в крупномасштабных исследованиях изображений у людей. ^[35] Достижения в области коннектомики и сетевой нейронауки показали, что маломирие нейронных сетей связано с эффективной коммуникацией. ^[36]

В нейронных сетях короткая длина пути между узлами и высокая кластеризация в сетевых концентраторах поддерживают эффективную связь между областями мозга при наименьших энергетических затратах. ^[36] Мозг постоянно обрабатывает и адаптируется к новой информации, а модель сети малого мира поддерживает интенсивные коммуникационные требования нейронных сетей. ^[37] Высокая кластеризация узлов образует локальные сети, которые часто функционально связаны. Короткая длина пути между этими концентраторами поддерживает эффективную глобальную связь. ^[38] Этот баланс обеспечивает эффективность глобальной сети, одновременно оснащая мозг для обработки сбоев и поддержания гомеостаза из-за того, что локальные подсистемы изолированы от глобальной сети. ^[39] Было обнаружено, что потеря структуры сети малого мира указывает на изменения в познании и повышенный риск психологических расстройств. ^[9]

Помимо характеристики функциональных и структурных связей всего мозга, определенные нейронные системы, такие как зрительная система, демонстрируют свойства сетей малого мира. ^[6]

Нейронная сеть малого мира может демонстрировать кратковременную память . Компьютерная модель, разработанная Сарой Соллой ^{[40] [41],} имела два стабильных состояния, свойство (называемое бистабильностью ), которое считается важным для хранения памяти . Активирующий импульс генерировал самоподдерживающиеся циклы коммуникационной активности между нейронами. Второй импульс завершал эту активность. Импульсы переключали систему между стабильными состояниями: поток (запись «памяти») и стазис (удержание ее). Нейронные сети малого мира также использовались в качестве моделей для понимания припадков . ^[42]

Смотрите также

• Модель Барабаши – Альберта  – Алгоритм создания безмасштабной сети
• Климат как сложные сети  – Концептуальная модель для формирования понимания климатологии
• Двухфазная эволюция  – процесс, который управляет самоорганизацией в сложных адаптивных системах.
• Число Данбара  – Предполагаемый когнитивный предел, важный в социологии и антропологии
• Число Эрдёша  – близость человека к математику Паулю Эрдёшу
• Модель Эрдеша – Реньи (ER)  - две тесно связанные модели для создания случайных графов.
• Модели локальной мировой развивающейся сети
• Теория перколяции  – Математическая теория поведения связанных кластеров в случайном графе.
• Сетевая наука  – Академическая область – математическая теория сетей
• Безмасштабная сеть  – сеть, распределение степеней которой подчиняется степенному закону.
• Шесть степеней Кевина Бэкона  – Салонная игра о степенях разделения
• Эксперимент «Маленький мир»  – Эксперименты по исследованию средней длины пути для социальных сетей
• Социальная сеть  – социальная структура, состоящая из совокупности социальных субъектов.
• Модель Уоттса–Строгаца  – Метод генерации случайных графов малого мира
• Сеть на кристалле  – Электронная коммуникационная подсистема на интегральной схеме – Системы на кристалле, смоделированные на основе сетей малого мира
• Клуб каратэ Закари

Ссылки

1. Дауни, Аллен Б. (2016). "3". Думайте о сложности (PDF) . Нидхэм, Массачусетс: Green Tea Press. стр. 27.
2. Watts DJ, Strogatz SH (июнь 1998). «Коллективная динамика сетей «малого мира». Nature . 393 (6684): 440–2. Bibcode :1998Natur.393..440W. doi :10.1038/30918. PMID  9623998. S2CID  4429113.
3. Кунду С., Чаттопадхай С. (2014). Сеть на кристалле: следующее поколение системной интеграции на кристалле (1-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 9781466565272. OCLC  895661009.
4. Watts DJ, Strogatz SH (июнь 1998). «Коллективная динамика сетей «малого мира». Nature . 393 (6684): 440–2. Bibcode :1998Natur.393..440W. doi :10.1038/30918. PMID  9623998. S2CID  4429113.
5. Barthelemy M, Amaral LA (1999). «Сети малого мира: доказательства перекрестной картины». Physical Review Letters . 82 (15): 3180–3183. arXiv : cond-mat/9903108 . Bibcode : 1999PhRvL..82.3180B. doi : 10.1103/PhysRevLett.82.3180. S2CID  119398712.
6. Humphries MD (2006). «Ретикулярная формация ствола мозга — это сеть малого мира, не безмасштабная». Труды Королевского общества B: Биологические науки . 273 (1585): 503–511. doi :10.1098/rspb.2005.3354. PMC 1560205. PMID  16615219 . 
7. Хамфрис МД, Герни К (апрель 2008). «Сетевой „маломир“: количественный метод определения канонической сетевой эквивалентности». PLOS ONE . 3 (4): e0002051. Bibcode : 2008PLoSO...3.2051H. doi : 10.1371/journal.pone.0002051 . PMC 2323569. PMID  18446219 . 
8. Telesford QK, Joyce KE, Hayasaka S, Burdette JH, Laurienti PJ (2011). «Повсеместность сетей малого мира». Brain Connectivity . 1 (5): 367–75. arXiv : 1109.5454 . Bibcode : 2011arXiv1109.5454T. doi : 10.1089/brain.2011.0038. PMC 3604768. PMID  22432451. 
9. Нил ЗП (2017). «Насколько это мало? Сравнение индексов малой мировоззренческости». Network Science . 5 (1): 30–44. doi :10.1017/nws.2017.5. ISSN  2050-1242. S2CID  3844585.
10. Yang YC (1972). «Конечные дорожные мосты для международного аэропорта Сан-Франциско». Труды журнала ACI . 69 (10). doi :10.14359/7189.
11. Сенекал Б.А. (декабрь 2015 г.). «'n Kwantifisering van kleinwêreldsheid in Afrikaanse kultuurnetwerke in vergelyking Met ander komplekse netwerke: natuurwetenskappe» [Количественная оценка маленьких миров в африканских культурных сетях по сравнению с другими сложными сетями: естественные науки].'n Joernaal vir die Geesteswetenskappe, Natuurwetenskappe, Regte en Godsdienswetenskappe (на языке африкаанс). 12 (3). Литнет Академии: 665–88.
12. Сенекал Б., Коце Э. (2017). «Die statistiese eienskappe van geskrewe Afrikaans as'n komplekse netwerk» [Статистические свойства письменности африкаанс как сложной сети].'n Joernaal vir die Geesteswetenskappe, Natuurwetenskappe, Regte en Godsdienswetenskappe (на языке африкаанс). 14 (1). Литнет Академии: 27–59.
13. Bork P, Jensen LJ, von Mering C, Ramani AK, Lee I, Marcotte EM (июнь 2004 г.). «Сети взаимодействия белков от дрожжей до человека» (PDF) . Current Opinion in Structural Biology . 14 (3): 292–9. doi :10.1016/j.sbi.2004.05.003. PMID  15193308.
14. van Noort V, Snel B, Huynen MA (март 2004 г.). «Сеть коэкспрессии дрожжей имеет архитектуру, не зависящую от масштаба, и может быть объяснена простой моделью». EMBO Reports . 5 (3): 280–4. doi :10.1038/sj.embor.7400090. PMC 1299002 . PMID  14968131. 
15. Эйнштейн и Александр Великий жили с разницей в 2202 года. Если предположить, что разница в возрасте между любыми двумя связанными людьми в цепочке, которая их соединяет, составляет 70 лет, то это потребовало бы по крайней мере 32 связи между Эйнштейном и Александром Великим.
16. Yang XS (2002). «Фракталы в сетях малого мира с задержкой по времени». Хаос, солитоны и фракталы . 13 (2): 215–219. arXiv : 1003.4949 . Bibcode :2002CSF....13..215Y. doi :10.1016/S0960-0779(00)00265-4. S2CID  119109068.
17. Yang XS (март 2001 г.). «Хаос в сетях малого мира». Physical Review E. 63 ( 4): 046206. arXiv : 1003.4940 . Bibcode : 2001PhRvE..63d6206Y. doi : 10.1103/PhysRevE.63.046206. PMID  11308929. S2CID  38158445.
18. Юань WJ, Ло XS, Цзян PQ, Ван BH, Фан JQ (август 2008 г.). «Переход к хаосу в динамической сети малого мира». Хаос, солитоны и фракталы . 37 (3): 799–806. Bibcode : 2008CSF....37..799Y. doi : 10.1016/j.chaos.2006.09.077.
19. A Ramezanpour, V Karimipour, A Mashaghi, Генерация коррелированных сетей из некоррелированных. Physical Review E 67(4 Pt 2):046107 (2003) doi: 10.1103/PhysRevE.67.046107
20. Barmpoutis D, Murray RM (2010). «Сети с наименьшим средним расстоянием и наибольшей средней кластеризацией». arXiv : 1007.4031 [q-bio.MN].
21. Amaral LA, Scala A, Barthelemy M, Stanley HE (октябрь 2000 г.). «Классы сетей малого мира». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 97 (21): 11149–52. arXiv : cond-mat/0001458 . Bibcode :2000PNAS...9711149A. doi : 10.1073/pnas.200327197 . PMC 17168 . PMID  11005838. 
22. Коэн Р., Хавлин С. (2003). «Сети без масштабирования сверхмалы». Physical Review Letters . 90 (5): 058701. arXiv : cond-mat/0205476 . Bibcode : 2003PhRvL..90e8701C. doi : 10.1103/PhysRevLett.90.058701. PMID  12633404. S2CID  10508339.
23. Ширки С (2008). Here Comes Everybody: сила организации без организаций . Penguin Press. ISBN 978-1-59420-153-0. OCLC  168716646.
24. Финнеган, Уильям «Аффинити-группы и движение против корпоративной глобализации»
25. Yang XS (июль 2001 г.). «Сети малого мира в геофизике». Geophysical Research Letters . 28 (13): 2549–52. arXiv : 1003.4886 . Bibcode : 2001GeoRL..28.2549Y. doi : 10.1029/2000GL011898. S2CID  118655139.(2001)
26. Хименес А., Тиампо К.Ф., Посадас А.М. (май 2008 г.). «Маленький мир в сейсмической сети: случай Калифорнии» (PDF) . Нелинейные процессы в геофизике . 15 (3): 389–95. Bibcode : 2008NPGeo..15..389J. doi : 10.5194/npg-15-389-2008 .
27. Хиллард Р., МакКлоури С., Сомич Б. "Мера преобразования данных в малых мирах". MIKE2.0, методология с открытым исходным кодом для разработки информации . Архивировано из оригинала 2015-09-12 . Получено 2012-01-05 .
28. Хиллард Р. (2010). Информационно-управляемый бизнес . Wiley. ISBN 978-0-470-62577-4.
29. Sandberg O (2005). Searching in a Small World (PDF) (диссертация на степень доктора философии). Гётеборг, Швеция: Chalmers University of Technology и Göteborg University. Архивировано (PDF) из оригинала 2012-03-16 . Получено 2013-12-12 .
30. "Иерархические навигационные малые миры (HNSW) | Pinecone". www.pinecone.io . Получено 2024-03-05 .
31. "Понимание иерархических управляемых малых миров (HNSW)". DataStax . Получено 2024-03-05 .
32. Sporns O, Chialvo DR, Kaiser M, Hilgetag CC (сентябрь 2004 г.). «Организация, развитие и функционирование сложных мозговых сетей». Trends in Cognitive Sciences . 8 (9): 418–25. doi :10.1016/j.tics.2004.07.008. PMID  15350243. S2CID  2855338.
33. Ю С, Хуан Д, Сингер В, Николич Д (декабрь 2008 г.). «Маленький мир нейронной синхронности». Cerebral Cortex . 18 (12): 2891–901. doi :10.1093/cercor/bhn047. PMC 2583154. PMID  18400792 . 
34. Бассетт, Даниэль С.; Буллмор, Эдвард Т. (2017-10-23). ​​«Повторный взгляд на мозговые сети маленького мира». The Neuroscientist . 23 (5): 499–516. doi :10.1177/1073858416667720. ISSN  1073-8584. PMC 5603984. PMID 27655008  . 
35. Беттанкур, Луис МА; Стивенс, Грег Дж.; Хэм, Майкл И.; Гросс, Гюнтер В. (2007-02-23). ​​"Функциональная структура корковых нейронных сетей, выращенных in vitro". Physical Review E. 75 ( 2): 021915. arXiv : q-bio/0703018 . Bibcode : 2007PhRvE..75b1915B. doi : 10.1103/PhysRevE.75.021915. ISSN  1539-3755. PMID  17358375. S2CID  14757568.
36. Bullmore, Ed; Sporns, Olaf (2012-04-13). «Экономика организации мозговых сетей». Nature Reviews. Neuroscience . 13 (5): 336–349. doi :10.1038/nrn3214. ISSN  1471-0048. PMID  22498897. S2CID  16174225.
37. Бассетт, Д.С.; Буллмор, Э.; Верчински, БА; Мэттей, В.С.; Вайнбергер, Д.Р.; Мейер-Линденберг, А. (10.09.2008). «Иерархическая организация корковых сетей человека в здоровье и при шизофрении». Журнал нейронауки . 28 (37): 9239–9248. doi :10.1523/JNEUROSCI.1929-08.2008. ISSN  0270-6474. PMC 2878961. PMID 18784304  . 
38. Восс, Мишель В.; Вонг, Челси Н.; Баниквед, Полин Л.; Бердетт, Джонатан Х.; Эриксон, Кирк И.; Пракаш, Ручика Шаурья; Маколи, Эдвард; Лориенти, Пол Дж.; Крамер, Артур Ф. (2013-11-06). Сатиан, Криш (ред.). «Старение мозга с точки зрения сетевой науки: к чему стоит относиться позитивно?». PLOS ONE . 8 (11): e78345. Bibcode : 2013PLoSO...878345V. doi : 10.1371/journal.pone.0078345 . ISSN  1932-6203. PMC 3819386. PMID  24223147 . 
39. Левит-Биннун, Нава; Давидович, Майкл; Голланд, Юлия (2013-09-24). «Сенсорные и моторные вторичные симптомы как индикаторы уязвимости мозга». Журнал нарушений нейроразвития . 5 (1): 26. doi : 10.1186/1866-1955-5-26 . ISSN  1866-1947. PMC 3849186. PMID 24063566  . 
40. Коэн П. (26 мая 2004 г.). «Сети малого мира — ключ к памяти». New Scientist .
41. Solla S (2004). "Самоподдерживающаяся активность в сети малых миров возбудимых нейронов". Physical Review Letters . 92 (19). Калифорнийский университет в Санта-Барбаре, Институт теоретической физики им. Кавли: 198101. arXiv : nlin/0309067 . Bibcode : 2004PhRvL..92s8101R. doi : 10.1103/PhysRevLett.92.198101. PMID  15169447. S2CID  14272272. Архивировано из оригинала 14.09.2016 . Получено 06.03.2006 .
42. Ponten SC, Bartolomei F, Stam CJ (апрель 2007 г.). «Сети малого мира и эпилепсия: теоретический анализ графов интрацеребрально зарегистрированных мезиальных височных припадков». Клиническая нейрофизиология . 118 (4): 918–27. doi :10.1016/j.clinph.2006.12.002. PMID  17314065. S2CID  35927833.

Дальнейшее чтение

Книги

• Бьюкенен М. (2003). Nexus: Маленькие миры и новаторская теория сетей . Norton, WW & Company, Inc. ISBN 978-0-393-32442-6.
• Дороговцев СН, Мендес Дж. Ф. (2003). Эволюция сетей: от биологических сетей до Интернета и WWW . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851590-6.
• Уоттс Дж. (1999). Маленькие миры: динамика сетей между порядком и случайностью . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00541-6.
• Фаулер Дж. Х. (2005). «Явка в маленьком мире». В Цукермане А. (ред.). Социальная логика политики . Temple University Press. стр. 269–287.

Журнальные статьи

• Albert R, Barabási AL (2002). "Статистическая механика сложных сетей". Rev. Mod. Phys . 74 (1): 47–97. arXiv : cond-mat/0106096 . Bibcode :2002RvMP...74...47A. doi :10.1103/RevModPhys.74.47. S2CID  60545.
• Barabasi AL, Albert R (октябрь 1999 г.). «Возникновение масштабирования в случайных сетях». Science . 286 (5439): 509–12. arXiv : cond-mat/9910332 . Bibcode :1999Sci...286..509B. doi :10.1126/science.286.5439.509. PMID  10521342. S2CID  524106.
• Barthelemy M, Amaral LA (1999). «Сети малого мира: доказательства перекрестной картины». Phys. Rev. Lett . 82 (15): 3180–3183. arXiv : cond-mat/9903108 . Bibcode :1999PhRvL..82.3180B. doi :10.1103/PhysRevLett.82.3180. S2CID  119398712.
• Дороговцев СН, Мендес ДЖФ (2000). "Точно решаемая аналогия сетей малого мира". Europhys. Lett . 50 (1): 1–7. arXiv : cond-mat/9907445 . Bibcode :2000EL.....50....1D. doi :10.1209/epl/i2000-00227-1. S2CID  11334862.
• Милгрэм С. (1967). «Проблема маленького мира». Психология сегодня . 1 (1): 60–67.
• Newman M (2003). «Структура и функции сложных сетей». Обзор SIAM . 45 (2): 167–256. arXiv : cond-mat/0303516 . Bibcode : 2003SIAMR..45..167N. doi : 10.1137/S003614450342480. S2CID  65837.pdf Архивировано 2021-03-14 в Wayback Machine
• Равид Д., Рафаэли С. (2004). "Асинхронные дискуссионные группы как Small World and Scale Free Networks". Первый понедельник . 9 (9). doi : 10.5210/fm.v9i9.1170 . S2CID  6388295.[1]

Внешние ссылки

• Динамические сети близости Сета Дж. Чандлера, The Wolfram Demonstrations Project .
• Запись Small-World Networks на Scholarpedia (автор Мейсон А. Портер)