Симметричное распределение вероятностей

Симметричное распределение для непрерывного распределения вероятностей, в частности стандартного нормального распределения, демонстрирующее его идеальную симметрию относительно среднего значения (0).

Симметричное дискретное распределение, а именно биномиальное распределение с 10 испытаниями и вероятностью успеха 0,5.

В статистике симметричное распределение вероятностей — это распределение вероятностей (присвоение вероятностей возможным событиям), которое не меняется, когда его функция плотности вероятности (для непрерывного распределения вероятностей) или функция массы вероятности (для дискретных случайных величин) отражается вокруг вертикальной линии. при некотором значении случайной величины, представленной распределением. Эта вертикальная линия является линией симметрии распределения. Таким образом, вероятность оказаться на каком-либо заданном расстоянии по одну сторону от значения, относительно которого возникает симметрия, такая же, как вероятность оказаться на том же расстоянии по другую сторону от этого значения.

Формальное определение

Распределение вероятностей называется симметричным тогда и только тогда, когда существует такое значение, что ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle f(x_{0}-\delta )=f(x_{0}+\delta )}$для всех действительных чисел ${\displaystyle \delta ,}$

где f — функция плотности вероятности, если распределение непрерывное , или функция массы вероятности, если распределение дискретное .

Многомерные распределения

Степень симметрии в смысле зеркальной симметрии можно оценить количественно для многомерных распределений с киральным индексом, который принимает значения в интервале [0;1] и равен нулю тогда и только тогда, когда распределение зеркально симметрично. ^[1] Таким образом, распределение d-мерной величины считается зеркально-симметричным, когда его киральный индекс равен нулю. Распределение может быть дискретным или непрерывным, существование плотности не требуется, но инерция должна быть конечной и ненулевой. В одномерном случае этот индекс был предложен как непараметрический критерий симметрии. ^[2]

Для непрерывной симметричной сферы Мир М. Али дал следующее определение. Обозначим через класс сферически-симметричных распределений абсолютно непрерывного типа в n-мерном евклидовом пространстве, имеющих совместную плотность вида внутри сферы с центром в начале координат с заданным радиусом, который может быть конечным или бесконечным и нулевым в других местах. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=g(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{n}^{2})}$

Характеристики

• Медиана и среднее значение (если оно существует) симметричного распределения находятся в той точке, относительно которой возникает симметрия. ^[4] ${\displaystyle x_{0}}$
• Если симметричное распределение унимодальное , мода совпадает с медианой и средним значением.
• Все нечетные центральные моменты симметричного распределения равны нулю (если они существуют), поскольку при вычислении таких моментов отрицательные члены, возникающие из-за отрицательных отклонений от, точно уравновешивают положительные члены, возникающие из-за равных положительных отклонений от . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$
• Каждая мера асимметрии равна нулю для симметричного распределения.

Унимодальный случай

Неполный список примеров

Следующие распределения симметричны для всех параметризаций. (Многие другие распределения симметричны для конкретной параметризации.)

Рекомендации

1. Петижан, М. (2002). «Хиральные смеси» (PDF) . Журнал математической физики . 43 (8): 4147–4157. дои : 10.1063/1.1484559.
2. Петижан, М (2020). «Таблицы квантилей распределения эмпирического кирального индекса в случае единого закона и в случае нормального закона». arXiv : 2005.09960 [stat.ME].
3. Али, Мир М. (1980). «Характеристика нормального распределения среди непрерывного симметричного сферического класса». Журнал Королевского статистического общества. Серия Б (Методическая) . 42 (2): 162–164. doi :10.1111/j.2517-6161.1980.tb01113.x. JSTOR  2984955.
4. Деккинг, FM; Краайкамп, К.; Лопухаа, Х.П.; Мистер, Л.Е. (2005). Современное введение в вероятность и статистику: понимание почему и как . Спрингер-Верлаг Лондон. п. 68. ИСБН 978-1-84628-168-6.