Система Энона–Эйлеса

Контурный график потенциала Энона-Эйлеса

В 1962 году в Принстонском университете Мишель Хенон и Карл Хейлес работали над нелинейным движением звезды вокруг галактического центра, при этом движение ограничивалось плоскостью. В 1964 году они опубликовали статью под названием «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». ^[1] Их первоначальная идея состояла в том, чтобы найти третий интеграл движения в галактической динамике. Для этой цели они взяли упрощенный двумерный нелинейный вращательно-симметричный потенциал и обнаружили, что третий интеграл существует только для ограниченного числа начальных условий. В современной перспективе начальные условия, которые не имеют третьего интеграла движения, называются хаотическими орбитами.

Введение

Потенциал Хенона –Хейлеса можно выразить как ^[2]

${\displaystyle V(x,y)={\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).}$

Гамильтониан Хенона–Хейлеса можно записать как

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {y^{3}}{3}}\right).}$

Система Энона–Эйлеса (HHS) определяется следующими четырьмя уравнениями:

${\displaystyle {\dot {x}}=p_{x},}$

${\displaystyle {\dot {p_{x}}}=-x-2\lambda xy,}$

${\displaystyle {\dot {y}}=p_{y},}$

${\displaystyle {\dot {p_{y}}}=-y-\lambda (x^{2}-y^{2}).}$

В классическом сообществе хаоса значение параметра обычно принимается равным единице. Поскольку HHS задан в , нам нужен гамильтониан с 2 степенями свободы для его моделирования. Для некоторых случаев его можно решить с помощью анализа Пенлеве . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Квантовый гамильтониан Энона – Хейлса

В квантовом случае гамильтониан Хенона–Хейлеса можно записать в виде двумерного уравнения Шредингера .

Соответствующее двумерное уравнение Шредингера имеет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,y)=\left[{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {1}{2}}(x^{2}+y^{2})+\lambda \left(x^{2}y-{\frac {1}{3}}y^{3}\right)\right]\Psi (x,y).}$

Вада собственность выходных бассейнов

Система Хенона–Хейлеса демонстрирует богатое динамическое поведение. Обычно свойство Вада не может быть обнаружено в гамильтоновой системе , но выходной бассейн Хенона–Хейлеса демонстрирует интересное свойство Вада. Можно видеть, что когда энергия больше критической энергии, система Хенона–Хейлеса имеет три выходных бассейна. В 2001 году MAF Sanjuán et al. ^[3] показали, что в системе Хенона–Хейлеса выходные бассейны обладают свойством Вада.

Ссылки

1. Hénon, M.; Heiles, C. (1964). «Применимость третьего интеграла движения: некоторые численные эксперименты». The Astronomical Journal . 69 : 73–79. Bibcode :1964AJ.....69...73H. doi :10.1086/109234.
2. Хенон, Мишель (1983), «Численное исследование гамильтоновых систем», в Iooss, G. (ред.), Хаотическое поведение детерминированных систем , Elsevier Science Ltd, стр. 53–170, ISBN 044486542X
3. Агирре, Хакобо; Вальехо, Хуан С.; Санхуан, Мигель А.Ф. (2001-11-27). «Бассейны Вада и хаотические инвариантные множества в системе Хенона-Хейлеса». Physical Review E. 64 ( 6). Американское физическое общество (APS): 066208. doi : 10.1103/physreve.64.066208. hdl : 10261/342147 . ISSN  1063-651X.

Внешние ссылки

• http://mathworld.wolfram.com/Henon-HeilesEquation.html