Центр импульса кадра

Уникальная инерциальная система отсчета, в которой полный импульс физической системы равен нулю

В физике система отсчета центра импульса ( система отсчета COM ), также известная как система отсчета нулевого импульса , является инерциальной системой отсчета , в которой полный импульс системы равен нулю. Она уникальна с точностью до скорости, но не начала координат. Центр импульса системы — это не местоположение, а совокупность относительных импульсов/скоростей: система отсчета. Таким образом, «центр импульса» — это сокращение от « система отсчета центра импульса ». ^[1]

Частным случаем системы отсчета центра импульса является система отсчета центра масс : инерциальная система, в которой центр масс (который является одной точкой) остается в начале координат. Во всех системах отсчета центра импульса центр масс находится в состоянии покоя , но он не обязательно находится в начале координат системы. В специальной теории относительности система отсчета ЦМ обязательно уникальна только тогда, когда система изолирована.

Характеристики

Общий

Центр импульса системы определяется как инерциальная система, в которой сумма линейных импульсов всех частиц равна 0. Пусть S обозначает лабораторную систему отсчета, а S ′ обозначает систему отсчета центра импульса. Используя преобразование Галилея , скорость частицы в S ′ равна

${\displaystyle v'=v-V_{c},}$

где

${\displaystyle V_{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$

— скорость центра масс. Полный импульс в системе центра импульса тогда равен нулю:

${\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}$

Кроме того, полная энергия системы представляет собой минимальную энергию , наблюдаемую во всех инерциальных системах отсчета .

Специальная теория относительности

В теории относительности система отсчета масс существует для изолированной массивной системы. Это следствие теоремы Нётер . В системе отсчета масс полная энергия системы является энергией покоя , и эта величина (при делении на множитель c2 , где c — скорость света ⁾ дает массу покоя ( инвариантную массу ) системы:

${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}$

Инвариантная масса системы в любой инерциальной системе отсчета определяется релятивистским инвариантным соотношением

${\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}$

но при нулевом импульсе член импульса ( p / c ) ² исчезает, и, таким образом, полная энергия совпадает с энергией покоя.

Системы, имеющие ненулевую энергию, но нулевую массу покоя (например, фотоны, движущиеся в одном направлении, или, что эквивалентно, плоские электромагнитные волны ), не имеют систем отсчета COM, поскольку нет системы, в которой они имели бы нулевой чистый импульс. Из-за инвариантности скорости света , безмассовая система должна двигаться со скоростью света в любой системе отсчета и всегда обладать чистым импульсом. Ее энергия — для каждой системы отсчета — равна величине импульса, умноженной на скорость света:

${\displaystyle E=pc.}$

Задача двух тел

Пример использования этой системы отсчета приведен ниже — в двухчастичном столкновении, не обязательно упругом (где кинетическая энергия сохраняется). Система отсчета COM может быть использована для нахождения импульса частиц гораздо проще, чем в лабораторной системе отсчета : системе, в которой выполняется измерение или вычисление. Ситуация анализируется с использованием преобразований Галилея и сохранения импульса (для общности, а не только кинетической энергии) для двух частиц массой m ₁ и m ₂ , движущихся с начальными скоростями (до столкновения) u ₁ и u ₂ соответственно. Преобразования применяются для получения скорости системы отсчета из скорости каждой частицы из лабораторной системы отсчета (нештрихованные величины) в систему отсчета COM (штрихованные величины): ^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} }$

где V — скорость системы ЦМ. Поскольку V — скорость ЦМ, то есть производная по времени положения ЦМ R (положения центра масс системы): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

поэтому в начале кадра COM, R' = 0 , это означает

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Те же результаты можно получить, применив закон сохранения импульса в лабораторной системе отсчета, где импульсы равны p ₁ и p ₂ :

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

и в системе отсчета, где окончательно утверждается, что суммарные импульсы частиц, p ₁ ' и p ₂ ', равны нулю:

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Использование уравнения системы отсчета COM для решения V возвращает уравнение лабораторной системы отсчета выше, демонстрируя, что любая система отсчета (включая систему отсчета COM) может быть использована для вычисления импульсов частиц. Было установлено, что скорость системы отсчета COM может быть удалена из расчета с использованием указанной выше системы отсчета, поэтому импульсы частиц в системе отсчета COM могут быть выражены через величины в лабораторной системе отсчета (т. е. заданные начальные значения):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}}$

обратите внимание, что относительная скорость в лабораторной системе отсчета частиц 1 и 2 равна

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

и приведенная масса двух тел равна

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

поэтому импульсы частиц компактно сводятся к

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} }$

Это существенно более простой расчет импульсов обеих частиц; приведенная масса и относительная скорость могут быть рассчитаны из начальных скоростей в лабораторной системе отсчета и масс, а импульс одной частицы является просто отрицательным импульсом другой. Расчет можно повторить для конечных скоростей v ₁ и v ₂ вместо начальных скоростей u ₁ и u ₂ , поскольку после столкновения скорости все еще удовлетворяют приведенным выше уравнениям: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

поэтому в начале кадра COM R = 0 , это означает, что после столкновения

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

В лабораторной системе отсчета закон сохранения импульса полностью выглядит следующим образом:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

Это уравнение не означает, что

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

Вместо этого он просто указывает, что общая масса M , умноженная на скорость центра масс V, представляет собой полный импульс P системы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

Аналогичный анализ, полученный выше,

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} }$

где конечная относительная скорость в лабораторной системе отсчета частиц 1 и 2 равна

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

Смотрите также

• Лабораторная система отсчета
• рамка Брейта

Ссылки

1. Динамика и теория относительности, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
2. Классическая механика, TWB Kibble, Европейская серия физики, 1973, ISBN 0-07-084018-0 
3. Введение в механику , Д. Клеппнер, Р. Дж. Коленков, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9