Скалярная хромодинамика

Квантовая хромодинамика со скалярной материей

В квантовой теории поля скалярная хромодинамика , также известная как скалярная квантовая хромодинамика или скалярная КХД, является калибровочной теорией, состоящей из калибровочного поля, связанного со скалярным полем. Эта теория используется экспериментально для моделирования сектора Хиггса Стандартной модели .

Он возникает из связи скалярного поля с калибровочными полями. Скалярные поля используются для моделирования определенных частиц в физике элементарных частиц; наиболее важным примером является бозон Хиггса . Калибровочные поля используются для моделирования сил в физике элементарных частиц: они являются переносчиками сил. При применении к сектору Хиггса это калибровочные поля, появляющиеся в электрослабой теории, описываемой теорией Глэшоу–Вайнберга–Салама .

Содержание материи и Лагранжиан

Содержание материи

В данной статье обсуждается теория плоского пространства-времени , широко известная как пространство Минковского . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$

Модель состоит из комплексного векторного скалярного поля, минимально связанного с калибровочным полем . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Калибровочная группа теории — это группа Ли . Обычно это для некоторых , хотя многие детали сохраняются даже тогда, когда мы конкретно не фиксируем . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

Скалярное поле можно рассматривать как функцию , где — данные представления . Тогда — векторное пространство. «Скаляр» относится к тому, как преобразуется (тривиально) под действием группы Лоренца , несмотря на то , что является векторным. Для конкретности представление часто выбирается в качестве фундаментального представления . Для этим фундаментальным представлением является . Другим распространенным представлением является сопряженное представление . В этом представлении варьирование лагранжиана ниже для нахождения уравнений движения дает уравнение Янга–Миллса–Хиггса . ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow V}$ ${\displaystyle (V,\rho ,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{N}}$

Каждый компонент калибровочного поля является функцией, где — алгебра Ли из соответствия группа Ли–алгебра Ли . С геометрической точки зрения — компоненты главной связи при глобальном выборе тривиализации (который может быть сделан из-за того, что теория находится на плоском пространстве-времени). ${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A_{\mu }}$

Лагранжиан

Плотность лагранжиана возникает из минимальной связи лагранжиана Клейна–Гордона (с потенциалом) с лагранжианом Янга–Миллса . ^{[1] : 102} Здесь скалярное поле находится в фундаментальном представлении : ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\text{SU}}(N)}$

Скалярная плотность лагранжиана КХД

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4}}{\text{tr}}(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })+(D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi -V(\phi )}$

где

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$— это напряженность калибровочного поля, определяемая как . В геометрии это форма кривизны . ${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }+ig[A_{\mu },A_{\nu }]}$
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi }$является ковариантной производной , определяемой как ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle D_{\mu }\phi =\partial _{\mu }\phi -ig\rho (A_{\mu })\phi .}$
• ${\displaystyle g}$константа связи.
• ${\displaystyle V(\phi )}$это потенциал.
• ${\displaystyle {\text{tr}}}$является инвариантной билинейной формой на , такой как форма Киллинга . Это типичное злоупотребление обозначениями, чтобы обозначить это , поскольку форма часто возникает как след в некотором представлении . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\text{tr}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Это напрямую обобщается на произвольную калибровочную группу , где принимает значения в произвольном представлении, снабженном инвариантным скалярным произведением , путем замены . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle (D_{\mu }\phi )^{\dagger }D^{\mu }\phi \mapsto \langle D_{\mu }\phi ,D^{\mu }\phi \rangle }$

Калибровочная инвариантность

Модель инвариантна относительно калибровочных преобразований, которая на групповом уровне является функцией , а на уровне алгебры — функцией . ${\displaystyle U:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow G}$ ${\displaystyle \alpha :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$

На групповом уровне преобразования полей ^[2]

${\displaystyle \phi (x)\mapsto U(x)\phi (x)}$

${\displaystyle A_{\mu }(x)\mapsto UA_{\mu }U^{-1}-{\frac {i}{g}}(\partial _{\mu }U)U^{-1}.}$

С геометрической точки зрения, это глобальное изменение тривиализации. Вот почему неправильно называть калибровочную симметрию симметрией : это на самом деле избыточность в описании системы. ${\displaystyle U(x)}$

Искривленное пространство-время

Теория допускает обобщение на искривленное пространство-время , но это требует более тонких определений для многих объектов, появляющихся в теории. Например, скалярное поле должно рассматриваться как сечение связанного векторного расслоения с волокном . Это по-прежнему верно для плоского пространства-времени, но плоскостность базового пространства позволяет рассматривать сечение как функцию , что концептуально проще. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M\rightarrow V}$

механизм Хиггса

Если потенциал минимизируется при ненулевом значении , эта модель демонстрирует механизм Хиггса . Фактически, бозон Хиггса Стандартной модели моделируется этой теорией с выбором ; бозон Хиггса также связан с электромагнетизмом. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle G={\text{SU}}(2)}$

Примеры

Конкретно выбрав потенциал , можно восстановить некоторые знакомые теории. ${\displaystyle V}$

Принимая, получаем поле Янга–Миллса, минимально связанное с полем Клейна–Гордона с массой . ${\displaystyle V(\phi )=M^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$ ${\displaystyle M}$

Принимая во внимание потенциал бозона Хиггса в Стандартной модели. ${\displaystyle V(\phi )=\lambda (\phi ^{\dagger }\phi )^{2}-\mu _{H}^{2}\phi ^{\dagger }\phi }$

Смотрите также

• Скалярная электродинамика
• Квантовая хромодинамика

Ссылки

1. Дрейнер, Херби; Харбер, Ховард; Мартин, Стивен (2004). Практическая суперсимметрия . Cambridge University Press.
2. Пескин, Ховард; Шредер, Дэниел (1995). Введение в квантовую теорию поля (Переиздание). Westview Press. ISBN 978-0201503975.