Скаляр — это элемент поля , который используется для определения векторного пространства . В линейной алгебре действительные числа или вообще элементы поля называются скалярами и относятся к векторам в связанном векторном пространстве посредством операции скалярного умножения (определенной в векторном пространстве), в которой вектор может быть умножен на скаляр определенным образом для получения другого вектора. [1] [2] [3] Вообще говоря, векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел (например, комплексных чисел ). Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля (например, комплексными числами).
Операция скалярного произведения — не путать со скалярным умножением — может быть определена на векторном пространстве, позволяя умножать два вектора определенным образом для получения скаляра. Вектор, снабженный скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения .
Величина, описываемая несколькими скалярами, например, имеющая и направление, и величину, называется вектором . [ 4] Термин скаляр также иногда неформально используется для обозначения вектора, матрицы , тензора или другого, обычно «составного» значения, которое фактически сводится к одному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы n × 1, которая формально является матрицей 1 × 1, часто называют скаляром . Действительный компонент кватерниона также называется его скалярной частью .
Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы вида kI , где k — скаляр, а I — единичная матрица .
Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris , прилагательной формы scala (латинское слово для «лестницы»), от которого также произошло английское слово scale . Первое зафиксированное использование слова «скалярный» в математике встречается в «Аналитическом искусстве » Франсуа Виэта ( In artem analyticem isagoge ) (1591): [5] [6]
Согласно цитате из Оксфордского словаря английского языка, первое зафиксированное использование термина «скаляр» в английском языке принадлежит У. Р. Гамильтону в 1846 году, когда он относился к действительной части кватерниона:
Векторные пространства определяются как набор векторов (аддитивная абелева группа ), набор скаляров ( поле ) и операция скалярного умножения, которая берет скаляр k и вектор v для формирования другого вектора k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение дает . В (линейном) функциональном пространстве kf — это функция x ↦ k ( f ( x )) .
Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные , алгебраические , действительные и комплексные числа, а также конечные поля .
Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис . Из этого следует, что каждое векторное пространство над полем K изоморфно соответствующему координатному векторному пространству , где каждая координата состоит из элементов K (например, координаты ( a 1 , a 2 , ..., an ) , где a i ∈ K , а n — размерность рассматриваемого векторного пространства.). Например, каждое действительное векторное пространство размерности n изоморфно n -мерному действительному пространству R n .
В качестве альтернативы векторное пространство V может быть снабжено функцией нормы , которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина v , эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k . Вектор, снабженный нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством ).
Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V , что ограничивает последнее полями, которые поддерживают понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или более, K должно быть замкнуто относительно квадратного корня, а также четырех арифметических операций; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но поле surd приемлемо. По этой причине не каждое пространство скалярного произведения является нормированным векторным пространством.
Когда требование, чтобы набор скаляров образовывал поле, ослабляется настолько, что ему достаточно образовывать только кольцо ( например, деление скаляров не обязательно должно быть определено или скаляры не обязательно должны быть коммутативными ), результирующая более общая алгебраическая структура называется модулем .
В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведений R n можно превратить в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий , где пространство сечений касательного расслоения образует модуль над алгеброй действительных функций на многообразии.
Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования , разновидностью линейного преобразования .
