Число Скьюза

Нерешенная задача по математике :

Каково наименьшее число Скьюза?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Большое число, используемое в теории чисел

В теории чисел число Скьюза — это любое из нескольких больших чисел, используемых южноафриканским математиком Стэнли Скьюзом в качестве верхних границ наименьшего натурального числа , для которого ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

где π — функция подсчета простых чисел , а li — логарифмическая интегральная функция . Число Скьюза намного больше, но теперь известно, что существует пересечение между и около Неизвестно, является ли это наименьшим пересечением. ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle e^{727.95133}<1.397\times 10^{316}.}$

Числа Скьюза

JE Littlewood , который был научным руководителем Скьюза , доказал в Littlewood (1914), что существует такое число (и, таким образом, первое такое число); и действительно обнаружил, что знак разности меняется бесконечно много раз. Все доступные тогда числовые доказательства, казалось, предполагали, что всегда меньше, чем , однако доказательство Littlewood не показало конкретного такого числа . ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x).}$ ${\displaystyle x}$

Скьюз (1933) доказал, что, если предположить, что гипотеза Римана верна, то существует число, нарушающее ниже ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}.}$

Не принимая гипотезу Римана, Скьюз (1955) доказал, что существует значение ниже ${\displaystyle x}$

${\displaystyle e^{e^{e^{e^{7.705}}}}<10^{10^{10^{964}}}.}$

Задачей Скьюза было сделать доказательство существования Литтлвуда эффективным : показать некоторую конкретную верхнюю границу для первой смены знака. По словам Георга Крайзеля , в то время это не считалось очевидным даже в принципе.

Более поздние оценки

Эти верхние границы с тех пор были значительно снижены с помощью крупномасштабных компьютерных вычислений нулей дзета -функции Римана . Первая оценка фактического значения точки пересечения была дана Леманом (1966), который показал, что где-то между и существует более последовательных целых чисел с . Не предполагая гипотезу Римана, HJJ te Riele  (1987) доказал верхнюю границу . Лучшая оценка была обнаружена Бэйсом и Хадсоном (2000), которые показали, что существует по крайней мере последовательные целые числа где-то вблизи этого значения, где . Бэйс и Хадсон нашли несколько гораздо меньших значений , где приближается к ; возможность того, что существуют точки пересечения вблизи этих значений, по-видимому, пока окончательно не исключена, хотя компьютерные вычисления показывают, что они вряд ли существуют. Чао и Плимен (2010) дали небольшое улучшение и исправление результата Бэйса и Хадсона. Saouter & Demichel (2010) нашли меньший интервал для пересечения, который был немного улучшен Zegowitz (2010). Тот же источник показывает, что существует число, нарушающее ниже . Это можно свести к предположению гипотезы Римана. Stoll & Demichel (2011) дали . ${\displaystyle 1.53\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 1.65\times 10^{1165}}$ ${\displaystyle 10^{500}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle 7\times 10^{370}}$ ${\displaystyle 1.39822\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 10^{153}}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)<\operatorname {li} (x),}$ ${\displaystyle e^{727.9513468}<1.39718\times 10^{316}}$ ${\displaystyle e^{727.9513386}<1.39717\times 10^{316}}$ ${\displaystyle 1.39716\times 10^{316}}$

Строго говоря, Россер и Шенфельд (1962) доказали, что ниже точек пересечения нет , улучшенные Брентом (1975) до , Котником (2008) до , Платтом и Трудгианом (2014) до , и Бюте (2015) до . ${\displaystyle x=10^{8}}$ ${\displaystyle 8\times 10^{10}}$ ${\displaystyle 10^{14}}$ ${\displaystyle 1.39\times 10^{17}}$ ${\displaystyle 10^{19}}$

Не существует явного значения, которое бы наверняка обладало этим свойством, хотя компьютерные расчеты предлагают некоторые явные числа, которые, вполне вероятно, удовлетворяют этому свойству. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x),}$

Несмотря на то, что естественная плотность положительных целых чисел для которых не существует, Винтнер (1941) показал, что логарифмическая плотность этих положительных целых чисел существует и положительна. Рубинштейн и Сарнак (1994) показали, что эта пропорция составляет около 0,00000026, что удивительно много, учитывая, как далеко нужно зайти, чтобы найти первый пример. ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$

Формула Римана

Риман дал явную формулу для , главные члены которой (игнорируя некоторые тонкие вопросы сходимости) ${\displaystyle \pi (x)}$

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })+{\text{smaller terms}}}$

где сумма берется по всем нетривиальным нулям дзета-функции Римана . ${\displaystyle \rho }$

Наибольший член ошибки в приближении (если гипотеза Римана верна) отрицателен , показывая, что обычно больше . Другие члены выше несколько меньше и, кроме того, имеют тенденцию иметь разные, на первый взгляд случайные сложные аргументы , поэтому в основном сокращаются. Однако иногда несколько из более крупных членов могут иметь примерно одинаковый сложный аргумент, и в этом случае они будут усиливать друг друга вместо сокращения и будут подавлять член . ${\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\operatorname {li} ({\sqrt {x\,}})}$

Причина, по которой число Скьюза так велико, заключается в том, что эти меньшие члены намного меньше ведущего члена ошибки, в основном потому, что первый комплексный ноль дзета-функции имеет довольно большую мнимую часть , поэтому большое их количество (несколько сотен) должно иметь примерно одинаковый аргумент, чтобы подавить доминирующий член. Вероятность того, что случайные комплексные числа будут иметь примерно одинаковый аргумент, составляет около 1 из . Это объясняет, почему иногда больше, чем , а также почему это случается редко. Это также показывает, почему поиск мест, где это происходит, зависит от крупномасштабных вычислений миллионов высокоточных нулей дзета-функции Римана. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 2^{N}}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle \operatorname {li} (x),}$

Приведенный выше аргумент не является доказательством, поскольку он предполагает, что нули дзета-функции Римана случайны, что неверно. Грубо говоря, доказательство Литтлвуда состоит из теоремы аппроксимации Дирихле , чтобы показать, что иногда многие члены имеют примерно одинаковый аргумент. В случае, если гипотеза Римана ложна, аргумент намного проще, по сути, потому что члены для нулей, нарушающих гипотезу Римана (с действительной частью, большей ⁠ ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$1/2⁠ ) ​​в конечном итоге больше, чем . ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{1/2})}$

Причина этого термина в том, что, грубо говоря, на самом деле считает степени простых чисел , а не сами простые числа, с весом . Этот термин примерно аналогичен поправке второго порядка, учитывающей квадраты простых чисел. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$ ${\displaystyle \mathrm {li} (x)}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\mathrm {li} (x^{1/2})}$

Эквивалент простого числак-кортежи

Эквивалентное определение числа Скьюза существует для простых k -кортежей (Tóth (2019)). Пусть обозначает простой ( k  + 1)-кортеж, число простых чисел ниже, таких, что все они являются простыми, пусть и пусть обозначает его константу Харди–Литтлвуда (см. Первую гипотезу Харди–Литтлвуда ). Тогда первое простое число , которое нарушает неравенство Харди–Литтлвуда для ( k  + 1)-кортежа , т. е. первое простое число, такое, что ${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$ ${\displaystyle \pi _{P}(x)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$ ${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ ${\displaystyle C_{P}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \pi _{P}(p)>C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(если такое простое число существует) — это число Скьюза для ${\displaystyle P.}$

В таблице ниже показаны известные на данный момент числа Скьюза для простых k -кортежей:

Число Скьюза (если оно существует) для сексуальных простых чисел до сих пор неизвестно. ${\displaystyle (p,p+6)}$

Также неизвестно, имеют ли все допустимые k -кортежи соответствующее число Скьюза.

Смотрите также

• Теоремы Мертенса § Изменение знака

Ссылки

• Bays, C.; Hudson, RH (2000), "Новая граница для наименьшего x {\displaystyle x} с π ( x ) > li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)} " (PDF) , Mathematics of Computation , 69 (231): 1285–1296, doi : 10.1090/S0025-5718-99-01104-7 , MR  1752093, Zbl  1042.11001
• Брент, РП (1975), «Нерегулярности в распределении простых чисел и простых чисел-близнецов», Математика вычислений , 29 (129): 43–56, doi : 10.2307/2005460 , JSTOR  2005460, MR  0369287, Zbl  0295.10002
• Бюте, Ян (2015), Аналитический метод ограничения ${\displaystyle \psi (x)}$ , arXiv : 1511.02032 , Bibcode : 2015arXiv151102032B
• Чао, Куок Фай; Плимен, Роджер (2010), «Новая граница для наименьшего с », Международный журнал теории чисел , 6 (3): 681–690, arXiv : math/0509312 , doi :10.1142/S1793042110003125, MR  2652902, Zbl  1215.11084 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pi (x)>\operatorname {li} (x)}$
• Котник, Т. (2008), «Функция подсчета простых чисел и ее аналитические приближения», Успехи вычислительной математики , 29 (1): 55–70, doi :10.1007/s10444-007-9039-2, MR  2420864, ​​S2CID  18991347, Zbl  1149.11004
• Леман, Р. Шерман (1966), «О разнице π ( Икс ) - ли ⁡ ( Икс ) {\ displaystyle \ pi (x)-\operatorname {li} (x)}», Acta Arithmetica , 11 : 397– 410, doi : 10.4064/aa-11-4-397-410 , MR  0202686, Збл  0151.04101
• Литтлвуд, Дж. Э. (1914), «Sur la Distribution des nombres premiers», Comptes Rendus , 158 : 1869–1872, JFM  45.0305.01
• Платт, DJ; Труджиан, TS (2014), О первой смене знака ${\displaystyle \theta (x)-x}$ , arXiv : 1407.1914 , Bibcode : 2014arXiv1407.1914P
• te Riele, HJJ (1987), «О знаке разности », Mathematics of Computation , 48 (177): 323–328, doi : 10.1090/s0025-5718-1987-0866118-6 , JSTOR  2007893, MR  0866118 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Россер, Дж. Б.; Шенфельд , Л. (1962), «Приближенные формулы для некоторых функций простых чисел», Illinois Journal of Mathematics , 6 : 64–94, doi : 10.1215/ijm/1255631807 , MR  0137689
• Saouter, Yannick; Demichel, Patrick (2010), «Острая область, где положительно», Mathematics of Computation , 79 (272): 2395–2405, doi : 10.1090/S0025-5718-10-02351-3 , MR  2684372 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Рубинштейн, М.; Сарнак, П. (1994), «Смещение Чебышева», Experimental Mathematics , 3 (3): 173–197, doi :10.1080/10586458.1994.10504289, MR  1329368
• Скьюз, С. (1933), «О различии », Журнал Лондонского математического общества , 8 : 277–283, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.277, JFM  59.0370.02, Zbl  0007.34003 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Скьюз, С. (1955), «О различии (II)», Труды Лондонского математического общества , 5 : 48–70, doi :10.1112/plms/s3-5.1.48, MR  0067145 ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$
• Столл, Дуглас; Демишель, Патрик (2011), «Влияние комплексных нулей на for », Математика вычислений , 80 (276): 2381–2394, doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02477-4 , MR  2813366 ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \pi (x)}$ ${\displaystyle x<10^{10^{13}}}$
• Tóth, László (2019), "Об асимптотической плотности простых k-кортежей и гипотезе Харди и Литтлвуда" (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 25 (3), doi :10.12921/cmst.2019.0000033, S2CID  203836016.
• Винтнер, А. (1941), «О функции распределения остаточного члена теоремы о простых числах», American Journal of Mathematics , 63 (2): 233–248, doi :10.2307/2371519, JSTOR  2371519, MR  0004255
• Вольф, Марек (2011), «Число Скьюза для простых чисел-близнецов: подсчет изменений знака π2(x) − C2Li2(x)» (PDF) , Вычислительные методы в науке и технике , 17 : 87–92, doi :10.12921/cmst.2011.17.01.87-92, S2CID  59578795.
• Zegowitz, Stefanie (2010), О положительной области π ( x ) − li ⁡ ( x ) {\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)} (магистры), Магистерская работа, Манчестерский институт математических наук, Математическая школа, Манчестерский университет

Внешние ссылки

• Демичелс, Патрик. "Функция подсчета простых чисел и связанные с ней предметы" (PDF) . Демичел . Архивировано из оригинала (PDF) 8 сентября 2006 г. . Получено 29 сентября 2009 г. .
• Азимов, И. (1976). «Пронзенный!». О делах больших и малых . Нью-Йорк: Ace Books. ISBN 978-0441610723.