Словарь У–Ян

Математическая физика отношение

В топологии и физике высоких энергий словарь У–Яна относится к математической идентификации, которая позволяет осуществлять обратный и прямой перевод между концепциями калибровочной теории и концепциями дифференциальной геометрии . Словарь появился в 1975 году в статье Тай Цун У и КН Янга, сравнивающей электромагнетизм и теорию расслоений волокон . ^[1] Этот словарь считается сближающим математику и теоретическую физику. ^[2]

Важнейшим примером успеха словаря является то, что он позволил понять квантование монополей в терминах расслоений Хопфа . ^{[3] [4]}

История

Эквивалентности между теорией расслоенных волокон и калибровочной теорией были намечены в конце 1960-х годов. В 1967 году математик Анджей Траутман начал серию лекций для физиков и математиков в Королевском колледже Лондона относительно этих связей. ^[4]

Физики-теоретики Тай Цун Ву и КН Янг , работающие в Университете Стоуни-Брук , опубликовали в 1975 году статью о математической основе электромагнетизма и эффекте Ааронова-Бома в терминах пучков волокон. Год спустя математик Изадор Сингер приехал в гости и привез копию в Оксфордский университет . ^{[2] [5] [6]} Сингер показал статью Майклу Атья и другим математикам, что положило начало тесному сотрудничеству между физиками и математиками. ^[2]

Ян также вспоминает разговор, который у него состоялся с одним из математиков, основавших теорию расслоенных волокон, Шиин-Шен Черном : ^[2]

В 1975 году, впечатленный тем фактом, что калибровочные поля являются связями на расслоениях, я поехал в дом Шиинг-Шэня Черна в Эль-Серрито , недалеко от Беркли . (Я посещал его курсы в начале 1940-х годов, когда он был молодым профессором, а я студентом бакалавриата в Национальном юго-западном ассоциированном университете в Куньмине , Китай . Это было до того, как расслоения стали важными в дифференциальной геометрии, и до того, как Черн вошел в историю своим вкладом в обобщенную теорему Гаусса–Бонне и классы Черна .) Нам было о чем поговорить: друзья, родственники, Китай. Когда наш разговор зашел о расслоениях, я сказал ему, что наконец-то узнал от Джима Саймонса красоту теории расслоений и глубокую теорему Черна–Вейля . Я сказал, что нахожу удивительным, что калибровочные поля являются именно связями на расслоениях, которые математики разработали без ссылки на физический мир. Я добавил: «Это одновременно захватывающе и загадочно, поскольку вы, математики, выдумали эти концепции из ниоткуда». Он тут же запротестовал: «Нет, нет. Эти концепции не были выдуманы. Они были естественными и реальными».

В 1977 году Траутман использовал эти результаты, чтобы продемонстрировать эквивалентность между условием квантования для магнитных монополей, использованным Полем Дираком еще в 1931 году, и расслоением Хопфа , расслоением трехмерной сферы, предложенным в том же году математиком Хайнцем Хопфом . ^[4] Математик Джим Саймонс, обсуждая эту эквивалентность с Янгом, высказал мнение, что «Дирак открыл тривиальные и нетривиальные расслоения раньше математиков». ^[4]

В оригинальной статье Ву и Ян добавили источники (например, электрический ток ) в словарь рядом с пустым местом, что указывает на отсутствие какой-либо эквивалентной концепции с математической стороны. Во время интервью Ян вспоминает, что Сингер и Атья проявили большой интерес к этой концепции источников, которая была неизвестна математикам, но которую физики знали с 19 века. Математики начали работать над этим, что привело к разработке теории Дональдсона Саймоном Дональдсоном , учеником Атьи. ^{[7] [8]}

Описание

Краткая версия

Словарь Wu-Yang связывает термины физики частиц с терминами математики, в частности, теории расслоений волокон. Существует множество версий и обобщений словаря. Вот пример словаря, который помещает каждый физический термин рядом с его математическим аналогом: ^[9]

Оригинальная версия для электромагнетизма

Эксперимент Ааронова-Бома: электроны пролетают вокруг цилиндра, в котором есть ненулевое магнитное поле. Вне цилиндра напряженность поля равна 0.

У и Янг рассмотрели описание электрона, движущегося вокруг цилиндра в присутствии магнитного поля внутри цилиндра (вне цилиндра поле исчезает, т.е. ). Согласно эффекту Ааронова–Бома , интерференционные картины смещаются на фактор , где — магнитный поток, а — квант магнитного потока . Для двух различных потоков a и b результаты идентичны, если , где — целое число. Мы определяем оператор как калибровочное преобразование, которое переводит волновую функцию электрона из одной конфигурации в другую . Для электрона, который проходит путь из точки P в точку Q , мы определяем фазовый фактор как ${\displaystyle f_{\mu \nu }=0}$ ${\displaystyle \exp(-i\Omega /\Omega _{0})}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle \Omega _{a}-\Omega _{b}=N\Omega _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{ab}}$ ${\displaystyle \psi _{b}=S_{ba}\psi _{a}}$

${\displaystyle \Phi _{QP}=\exp \left(-{\frac {i}{\Omega _{0}}}\int _{P}^{Q}A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\right)}$,

где - электромагнитный четырехпотенциал . Для случая калибровочного поля SU ₂ можно сделать замену ${\displaystyle A_{\mu }}$

${\displaystyle A_{\mu }=ib_{\mu }^{k}X_{k}}$,

где генераторы SU ₂ , матрицы Паули . В рамках этих концепций Ву и Янг показали связь между языком теории калибровок и расслоениями волокон , была кодифицирована в следующем словаре: ^{[2] [10] [11]} ${\displaystyle X_{k}=-i\sigma _{k}/2}$ ${\displaystyle \sigma _{k}}$

1. В исходной таблице также было примечание: «т.е. электрический источник. Это обобщение (см. ^[12] ) концепции электрических зарядов и токов».

Смотрите также

• Монополь 'т Хоофта–Полякова
• Монополь У–Яна

Ссылки

1. Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1975-12-15). «Концепция неинтегрируемых фазовых факторов и глобальная формулировка калибровочных полей». Physical Review D. 12 ( 12): 3845–3857. doi :10.1103/PhysRevD.12.3845. ISSN  0556-2821.
2. Пу, Му-мин; Чао, Александр Ву (2020-01-01). «Беседа с Чэнь-Нин Ян: воспоминания и размышления». National Science Review . 7 (1): 233–236. doi :10.1093/nsr/nwz113. ISSN  2095-5138. PMC 8288855. PMID 34692035  . 
3. Woit, Peter (5 апреля 2008 г.). "Диалоги Стоуни-Брук по математике и физике". Даже не неправильный блог . Получено 14.03.2023 .
4. Фридман, Джон Л. (2015). «Историческая заметка о пучках волокон». Physics Today . 68 (6): 11. doi :10.1063/PT.3.2799.
5. Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1482-6.
6. Фрид, Дэниел С. (2021). «Изадора Сингер превзошла математические границы». Журнал Quanta .
7. Yang, CN (2009). "CN Yang: Stony Brook Masters Series" (Интервью). Интервью Билла Циммермана.
8. Уилсон, Робин; Грей, Джереми (2012-12-06). Математические беседы: отрывки из The Mathematical Intelligencer. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4613-0195-0.
9. Зейдлер, Эберхард (2008-09-03). Квантовая теория поля II: Квантовая электродинамика: мост между математиками и физиками. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85377-0.
10. Boi, Luciano (2004). «Геометрические и топологические основы теоретической физики: от калибровочных теорий до струнной программы». International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 2004 (34): 1777–1836. doi : 10.1155/S0161171204304400 . ISSN  0161-1712.
11. Уэллс, Рэймонд О'Нил; Вейль, Герман (1988). Математическое наследие Германа Вейля. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1482-6.
12. Yang, CN (1974-08-12). «Интегральный формализм для калибровочных полей». Physical Review Letters . 33 (7): 445–447. doi :10.1103/PhysRevLett.33.445. ISSN  0031-9007.