Сокращение порядка модели

Методика математического моделирования

Снижение порядка модели (MOR) — это метод снижения вычислительной сложности математических моделей в численном моделировании . Как таковой, он тесно связан с концепцией метамоделирования и применяется во всех областях математического моделирования .

Обзор

Многие современные математические модели реальных процессов создают проблемы при использовании в численном моделировании из-за сложности и большого размера (размерности). Снижение порядка модели направлено на снижение вычислительной сложности таких задач, например, при моделировании крупномасштабных динамических систем и систем управления . За счет снижения связанной с моделью размерности пространства состояний или степеней свободы вычисляется приближение к исходной модели, которое обычно называют моделью пониженного порядка.

Модели пониженного порядка полезны в настройках, где часто невозможно выполнить численное моделирование с использованием полной модели полного порядка. Это может быть связано с ограничениями вычислительных ресурсов или требованиями настройки моделирования, например, настройками моделирования в реальном времени или настройками с множеством запросов, в которых необходимо выполнить большое количество симуляций. ^{[1] [2]} Примеры настроек моделирования в реальном времени включают системы управления в электронике и визуализацию результатов модели, в то время как примеры для настройки с множеством запросов могут включать задачи оптимизации и проектные исследования. Чтобы быть применимыми к реальным проблемам, часто требования модели пониженного порядка следующие: ^{[3] [4]}

• Небольшая ошибка аппроксимации по сравнению с моделью полного порядка.
• Сохранение свойств и характеристик модели полного порядка (например, устойчивость и пассивность в электронике).
• Вычислительно эффективные и надежные методы моделирования пониженного порядка.

Интересно отметить, что в некоторых случаях (например, при ограниченном объединении полиномиальных дифференциальных уравнений) возможна нулевая ошибка аппроксимации, что приводит к точному снижению порядка модели. ^[5]

Методы

Современные методы снижения порядка модели можно разделить на 5 классов: ^{[1] [6]}

• Правильные методы ортогонального разложения . ^{[7] [8]}
• Методы с уменьшенной базой. ^[9]
• Методы балансировки
• Упрощенная физика ^[10] или методы редукции, основанные на операциях. ^[3]
• Нелинейные методы многообразий. ^{[11] [12]}

Упрощенный физический подход можно описать как аналог традиционного подхода математического моделирования , в котором менее сложное описание системы строится на основе предположений и упрощений с использованием физического понимания или иным образом полученной информации. Однако этот подход нечасто становится темой обсуждения в контексте снижения порядка модели, поскольку это общий метод в науке, технике и математике.

Оставшиеся перечисленные методы попадают в категорию проекционно-ориентированной редукции. Проекционно-ориентированная редукция опирается на проекцию либо модельных уравнений, либо решения на базис с уменьшенной размерностью по сравнению с исходным пространством решений. Методы, которые также попадают в этот класс, но, возможно, менее распространены, это:

• Правильное обобщенное разложение ^[13]
• Матричная интерполяция ^[14]
• Интерполяция передаточной функции
• Кусочно-тангенциальная интерполяция
• Рамка Левнера
• (Эмпирический) крест Граммиан
• Методы подпространства Крылова ^[15]

Реализации

• RBmatlab: Библиотека MATLAB, содержащая все сокращенные подходы моделирования для линейных и нелинейных, аффинных или произвольно зависящих от параметров эволюционных задач с конечными элементами, конечным объемом или локальными разрывными дискретизациями Галеркина. Дополнительную информацию можно найти на странице загрузки и документации.

• Model Reduction внутри ANSYS: реализует основанное на Крылове понижение порядка модели для многофизических конечно-элементных моделей в Ansys. Упрощение модели посредством Model Reduction внутри Ansys подходит для стратегий оптимизации при разработке компонентов, а также для интеграции компактных моделей в общую системную симуляцию в области электроники, автомобилестроения или микросистем. Несмотря на понижение, параметры проверки сохраняются, что означает возможность быстрого достижения результатов в отношении конструкций и системной симуляции. Для получения дополнительной информации посетите https://www.cadfem.net/en/our-solutions/cadfem-ansys-extensions/model-reduction-inside-ansys.html

• pyMOR: pyMOR — это программная библиотека для создания приложений редукции порядка модели с помощью языка программирования Python. Основное внимание уделяется применению методов редуцированного базиса к параметризованным уравнениям в частных производных. Все алгоритмы в pyMOR сформулированы в терминах абстрактных интерфейсов для бесшовной интеграции с внешними многомерными решателями PDE. Более того, для быстрого начала работы предоставляются реализации Python для дискретизации конечных элементов и конечных объемов с использованием стека научных вычислений NumPy/SciPy. Для получения дополнительной информации посетите http://pymor.org
• emgr: Эмпирическая структура грамиан. Эмпирические грамианские структуры могут быть вычислены для линейных и нелинейных систем управления в целях снижения порядка модели, количественной оценки неопределенности или идентификации системы. Структура emgr представляет собой компактный набор инструментов с открытым исходным кодом для снижения модели на основе грамианских структур, совместимый с OCTAVE и MATLAB. Подробнее на сайте: http://gramian.de
• KerMor: Объектно-ориентированная библиотека MATLAB©, предоставляющая процедуры для редукции порядка модели нелинейных динамических систем. Редукции можно достичь с помощью проекции подпространства и аппроксимации нелинейностей с помощью методов ядер или DEIM. Стандартные процедуры, такие как метод POD-Greedy, легко реализуются, как и расширенные апостериорные оценки ошибок для различных конфигураций системы. KerMor также включает несколько рабочих примеров и несколько демонстрационных файлов для быстрого ознакомления с предоставляемой функциональностью. Более подробную информацию можно найти на сайте http://www.morepas.org/software/kermor/
• JaRMoS: JaRMoS означает "Java Reduced Model Simulations" и нацелен на импорт и моделирование различных сокращенных моделей из нескольких источников на любой платформе с поддержкой Java. На данный момент поддерживается сокращенная модель RBmatlab, KerMor и rbMIT, где мы можем импортировать только модели rbMIT, которые ранее были опубликованы с помощью приложения rbAppMIT для Android. Расширения на данный момент представляют собой настольную версию для запуска сокращенных моделей, а начальная поддержка сокращенных моделей на основе ядра KerMor находится в разработке. Более подробную информацию можно найти на сайте http://www.morepas.org/software/jarmos/
• MORLAB: Model Order Reduction Laboratory. Этот набор инструментов представляет собой набор процедур MATLAB/OCTAVE для редукции порядка модели линейных динамических систем на основе решения матричных уравнений. Реализация основана на методах спектральной проекции, например, методах, основанных на функции знака матрицы и функции диска матрицы. Более подробную информацию об этом программном обеспечении см.: https://www.mpi-magdeburg.mpg.de/projects/morlab
• Dune-RB: Модуль для библиотеки Dune (www.dune-project.org, http://dune.mathematik.uni-freiburg.de), реализующий классы шаблонов C++ для использования в генерации снимков и автономных фазах RB для различных дискретизаций. Помимо одноядерных алгоритмов, пакет также нацелен на использование методов распараллеливания для эффективной генерации снимков. Подробнее на: http://users.dune-project.org/projects/dune-rb/wiki
• libROM: Коллекция классов C++, которые вычисляют редукцию и гиперредукцию порядка модели для систем частных и обыкновенных дифференциальных уравнений. libROM включает масштабируемые и параллельные, адаптивные методы для правильного ортогонального разложения, параллельные, неадаптивные методы для гиперредукции и рандомизированного сингулярного разложения. libROM также включает возможность динамического разложения. libROM имеет возможность жадной выборки с учетом физики. Исходные коды можно найти по адресу: https://github.com/LLNL/libROM. Веб-страницу можно найти по адресу: https://www.librom.net, где можно найти множество примеров, например, модели пониженного порядка для лагранжевой гидродинамики с ударно-движущейся волной. ^[16]
• Pressio: Pressio — проект с открытым исходным кодом, направленный на смягчение навязчивой природы проекционных моделей пониженного порядка для крупномасштабных кодов. Ядром проекта является библиотека C++ только с заголовками, которая использует универсальное программирование для взаимодействия с приложениями с общей или распределенной памятью, использующими произвольные типы данных. Pressio предоставляет многочисленные функции и решатели для выполнения редукции модели, такие как проекции Галеркина и наименьших квадратов Петрова–Галеркина. Экосистема Pressio также предлагает: (1) pressio4py , библиотеку связывания Python для простоты прототипирования, (2) pressio-tutorials , библиотеку, также предлагающую сквозные демонстрации, с которыми можно легко поиграть, которые можно найти по адресу https://pressio.github.io/pressio-tutorials/, (3) pressio-tools , библиотеку для крупномасштабных SVD, QR и сеток образцов, и (4) pressio-demoapps, набор демонстрационных приложений 1d, 2d и 3d для тестирования ПЗУ и гиперредукции. Основной веб-сайт экосистемы можно найти по адресу https://pressio.github.io/, документацию библиотеки C++ по адресу https://pressio.github.io/pressio/.

Приложения

Снижение порядка модели находит применение во всех областях, связанных с математическим моделированием, и существует множество обзоров ^{[10] [13]} по темам электроники , ^[17] механики жидкости , ^[18] гидродинамики , ^[16] строительной механики , ^[7] МЭМС , ^[19] уравнения Больцмана , ^[8] и оптимизации проектирования . ^{[14] [20]}

Механика жидкости

Современные проблемы в механике жидкости включают большие динамические системы , представляющие множество эффектов во многих различных масштабах. Исследования вычислительной динамики жидкости часто включают модели, решающие уравнения Навье-Стокса с числом степеней свободы в порядке величины выше . Первое использование методов понижения порядка модели относится к работе Ламли в 1967 году, ^[21] где они использовались для получения представления о механизмах и интенсивности турбулентности и больших когерентных структурах, присутствующих в задачах течения жидкости. Понижение порядка модели также находит современное применение в аэронавтике для моделирования потока над корпусом самолета. ^[22] Пример можно найти в работе Лью и др ^{. [23]} , в которой модель полного порядка истребителя F16 с более чем 2,1 миллиона степеней свободы была понижена до модели всего с 90 степенями свободы. Кроме того, моделирование пониженного порядка применялось для изучения реологии в гемодинамике и взаимодействия жидкости и структуры между кровью, текущей через сосудистую систему, и стенками сосудов. ^{[24] [25]} ${\displaystyle 10^{6}}$

Смотрите также

• Уменьшение размеров
• Метамоделирование
• Анализ главных компонент
• Разложение по сингулярным значениям
• Нелинейное уменьшение размерности
• Системная идентификация
• Итерационный рациональный алгоритм Крылова (ИРКА)

Ссылки

1. Lassila, Toni; Manzoni, Andrea; Quarteroni, Alfio ; Rozza, Gianluigi (2014). "Снижение порядка модели в гидродинамике: проблемы и перспективы". Методы пониженного порядка для моделирования и вычислительной редукции (PDF) . стр. 235–273. doi :10.1007/978-3-319-02090-7_9. ISBN 978-3-319-02089-1.
2. Rozza, G. ; Huynh, DBP; Patera, AT (2008-05-21). "Приближение с уменьшенным базисом и апостериорная оценка погрешности для аффинно-параметризованных эллиптических коэрцитивных уравнений в частных производных". Архивы вычислительных методов в инженерии . 15 (3): 229–275. doi :10.1007/s11831-008-9019-9. ISSN  1134-3060. S2CID  13511413.
3. Шильдерс, Вильгельмус; ван дер Ворст, Хенк; Роммес, Йост (2008). Снижение порядка моделей: теория, исследовательские аспекты и приложения . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-78841-6.
4. Антулас, AC (июль 2004 г.). «Аппроксимация крупномасштабных динамических систем: обзор». Тома трудов IFAC . 37 (11): 19–28. CiteSeerX 10.1.1.29.3565 . doi :10.1016/S1474-6670(17)31584-7. 
5. Овчинников, Алексей; Перес Верона, Изабель; Погудин, Глеб; Трибастоне, Мирко (2021-07-19). Валенсия, Альфонсо (ред.). "CLUE: точное максимальное сокращение кинетических моделей с помощью ограниченного объединения дифференциальных уравнений". Биоинформатика . 37 (12): 1732–1738. arXiv : 2004.11961 . doi : 10.1093/bioinformatics/btab010 . ISSN  1367-4803. PMID  33532849.
6. Силва, Жуан М.С.; Вильена, Хорхе Фернандес; Флорес, Пауло; Сильвейра, Л. Мигель (2007), «Выдающиеся проблемы уменьшения порядка моделей», Научные вычисления в электротехнике , Springer Berlin Heidelberg, стр. 139–152, doi : 10.1007/978-3-540-71980-9_13, ISBN 978-3-540-71979-3
7. Кершен, Гаэтан; Голинвал, Жан-Клод; ВАКАКИС, АЛЕКСАНДР Ф.; БЕРГМАН, ЛОУРЕНС А. (2005). "Метод правильного ортогонального разложения для динамической характеристики и понижения порядка механических систем: обзор". Нелинейная динамика . 41 (1–3): 147–169. CiteSeerX 10.1.1.530.8349 . doi :10.1007/s11071-005-2803-2. ISSN  0924-090X. S2CID  17625377. 
8. Choi, Youngsoo; Brown, Peter; Arrighi, William; Anderson, Robert; Huynh, Kevin (2021). «Пространственно-временная модель пониженного порядка для крупномасштабных линейных динамических систем с применением к транспортным задачам Больцмана». Journal of Computational Physics . 424 : 109845. arXiv : 1910.01260 . Bibcode :2021JCoPh.42409845C. doi :10.1016/j.jcp.2020.109845. ISSN  0021-9991. S2CID  203641768.
9. Boyaval, S.; Le Bris, C.; Lelièvre, T.; Maday, Y.; Nguyen, NC; Patera, AT (16 октября 2010 г.). «Методы редуцированного базиса для стохастических задач». Архив вычислительных методов в инженерии . 17 (4): 435–454. arXiv : 1004.0357 . doi : 10.1007/s11831-010-9056-z. hdl : 1721.1/63915. S2CID  446613.
10. Беннер, Питер; Гугерчин, Серкан; Уиллкокс, Карен (2015). «Обзор проекционных методов редукции моделей для параметрических динамических систем» (PDF) . Обзор SIAM . 57 (4): 483–531. doi :10.1137/130932715. hdl : 1721.1/100939 . ISSN  0036-1445. S2CID  16186635.
11. Ким, Юнгкю; Чой, Юнгсу; Видеманн, Дэвид; Зохди, Тарек (2021). «Быстрая и точная физико-информированная нейронная сеть с уменьшенным порядком модели с неглубоким маскированным автоэнкодером». Журнал вычислительной физики . 451 : 110841. arXiv : 2009.11990 . doi : 10.1016/j.jcp.2021.110841. S2CID  221949087.
12. Mojgani, Rambod; Balajewicz, Maciej (2021). «Многообразия с регистрацией низкого ранга для уравнений в частных производных с доминированием конвекции». Труды конференции AAAI по искусственному интеллекту . 35 : 399-407. arXiv : 2006.15655 . doi : 10.1609/aaai.v35i1.16116 . S2CID  220249659.
13. Чинеста, Франциско; Ладевезе, Пьер; Куэто, Элиас (11 октября 2011 г.). «Краткий обзор снижения порядка модели на основе правильной обобщенной декомпозиции» (PDF) . Архивы вычислительных методов в инженерии . 18 (4): 395–404. doi :10.1007/s11831-011-9064-7. S2CID  54512292.
14. Choi, Youngsoo; Boncoraglio, Gabriele; Spenser, Anderson; Amsallem, David; Farhat, Charbel (2020). «Ограниченная оптимизация на основе градиента с использованием базы данных линейных моделей пониженного порядка». Journal of Computational Physics . 423 : 109787. arXiv : 1506.07849 . Bibcode : 2020JCoPh.42309787C. doi : 10.1016/j.jcp.2020.109787. S2CID  60788542.
15. Бай, Чжаоцзюнь (2002). «Методы подпространства Крылова для моделирования крупномасштабных динамических систем пониженного порядка». Прикладная численная математика . 43 (1–2): 9–44. CiteSeerX 10.1.1.131.8251 . doi :10.1016/S0168-9274(02)00116-2. 
16. Copeland, Dylan; Cheung, Siu Wun; Huynh, Kevin; Choi, Youngsoo (2021). "Модели пониженного порядка для лагранжевой гидродинамики". Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering . 388 : 114259. arXiv : 2104.11404 . doi :10.1016/j.cma.2021.114259. ISSN  0045-7825. S2CID  233388014.
17. Umunnakwe, Chisom Bernhard; Zawra, Ibrahim; Niessner, Martin; Rudnyi, Evgenii; Hohlfeld, Dennis; Bechtold, Tamara (2023). "Компактное моделирование термомеханической конечно-элементной модели микроэлектронного корпуса". Microelectronics Reliability . 151 (115238). doi :10.1016/j.microrel.2023.115238.
18. Холмс, Филипп; Ламли, Джон Л.; Беркуз, Гал (1996). Турбулентность, когерентные структуры, динамические системы и симметрия . Кембридж: Cambridge University Press. doi : 10.1017/cbo9780511622700. ISBN 978-0-511-62270-0.
19. Бехтольд, Тамара; Шраг, Габриэла; Фэн, Лихонг (2013). Системное моделирование МЭМС . Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. ISBN  978-3-527-31903-9.
20. Макбейн, Шон; Чой, Ёнсу (1 августа 2021 г.). «Проектирование решетчатой ​​структуры модели с уменьшенным покомпонентным порядком». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 381 (113813): 113813. arXiv : 2010.10770 . Bibcode : 2021CMAME.381k3813M. doi : 10.1016/j.cma.2021.113813. S2CID  224818337.
21. Ламли, Дж. Л. (1967). Структура неоднородной турбулентности, В: А. М. Яглом и В. И. Татарский, Ред. Атмосферная турбулентность и распространение волн . М.: Наука.
22. Уолтон, С.; Хассан, О.; Морган, К. (2013). «Моделирование пониженного порядка для нестационарного потока жидкости с использованием надлежащего ортогонального разложения и радиальных базисных функций». Прикладное математическое моделирование . 37 (20–21): 8930–8945. doi : 10.1016/j.apm.2013.04.025 . ISSN  0307-904X.
23. Лью, Т.; Фархат, К.; Лесоинн, М. (2006). «Моделирование жидкости/структуры пониженного порядка полной конфигурации самолета». Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 195 (41–43): 5730–5742. Bibcode : 2006CMAME.195.5730L. doi : 10.1016/j.cma.2005.08.026. ISSN  0045-7825.
24. Сяо, Д.; Ян, П.; Фан, Ф.; Сян, Дж.; Пэйн, К. К.; Навон, И. М. (2016). «Неинтрузивное моделирование взаимодействия жидкости и конструкции с пониженным порядком» (PDF) . Компьютерные методы в прикладной механике и машиностроении . 303 : 35–54. Bibcode : 2016CMAME.303...35X. doi : 10.1016/j.cma.2015.12.029 . ISSN  0045-7825.
25. Colciago, CM; Deparis, S.; Quarteroni, A. (2014). «Сравнение моделей пониженного порядка и полных трехмерных моделей для задач взаимодействия жидкости и конструкции в гемодинамике». Журнал вычислительной и прикладной математики . 265 : 120–138. doi : 10.1016/j.cam.2013.09.049 . ISSN  0377-0427.

Дальнейшее чтение

• Антулас, Атанасиос С. (2005). Аппроксимация крупномасштабных динамических систем . SIAM. doi :10.1137/1.9780898718713. ISBN 978-0-89871-529-3. S2CID  117896525.

• Беннер, Питер; Фассбендер, Хайке (2014), "Снижение порядка модели: методы и инструменты" (PDF) , Энциклопедия систем и управления , Springer, doi :10.1007/978-1-4471-5102-9_142-1, ISBN 978-1-4471-5102-9, S2CID  11873649

• Антулас, А.С.; Соренсен, Д.К.; Гугерцин, С. (2001), «Обзор методов редукции моделей для крупномасштабных систем» (PDF) , Структурированные матрицы в математике, информатике и инженерии, I (Боулдер, Колорадо, 1999) , Contemporary Mathematics, т. 280, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 193–219, CiteSeerX  10.1.1.210.9685 , doi :10.1090/conm/280/04630, ISBN 978-0-8218-1921-0, МР  1850408

• Беннер, Питер; Гугерчин, Серкан; Уиллкокс, Карен (2013), Обзор методов редукции моделей для параметрических систем (PDF)

• Баур, Ульрике; Беннер, Питер; Фэн, Лихонг (2014), «Снижение порядка модели для линейных и нелинейных систем: системно-теоретическая перспектива» (PDF) , Архив вычислительных методов в инженерии , 21 (4): 331–358, doi :10.1007/s11831-014-9111-2, S2CID  39068644

• Беннер, Питер; Коэн, Альберт; Ольбергер, Марио; Уиллкокс, Карен (2017). Редукция и аппроксимация модели: теория и алгоритмы . SIAM Publications. doi : 10.1137/1.9781611974829. ISBN 978-1-611974-81-2.

• Антулас, Атанасиос К.; Битти, Кристофер А.; Гугерцин, Серкан (2020). Интерполяционные методы редукции моделей. SIAM. doi : 10.1137/1.9781611976083. ISBN 978-1-61197-607-6.

Внешние ссылки

• Сокращение порядка модели Wiki
• Редукция модели для параметризованных систем
• Европейская модель сети сокращения