Критерий Тиссерана

Критерий Тиссерана используется для определения того, является ли наблюдаемое вращающееся тело, такое как комета или астероид , тем же самым, что и ранее наблюдаемое вращающееся тело. ^{[1] [2]}

В то время как все параметры орбиты объекта, вращающегося вокруг Солнца во время тесного сближения с другим массивным телом (например, Юпитером), могут существенно измениться, значение функции этих параметров, называемое соотношением Тиссерана (открытое Феликсом Тиссераном ), приблизительно сохраняется, что позволяет распознать орбиту после сближения.

Определение

Критерий Тиссерана вычисляется в круговой ограниченной системе из трех тел. В круговой ограниченной системе из трех тел предполагается, что одна из масс намного меньше двух других. Предполагается, что две другие массы находятся на круговой орбите вокруг центра масс системы. Кроме того, критерий Тиссерана также опирается на предположения, что а) одна из двух больших масс намного меньше другой большой массы и б) комета или астероид не имели близкого сближения с какой-либо другой большой массой.

Два наблюдаемых вращающихся тела, возможно, являются одним и тем же, если они удовлетворяют или почти удовлетворяют критерию Тиссерана: ^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle {\frac {1}{2a_{1}}}+{\sqrt {a_{1}(1-e_{1}^{2})}}\cos i_{1}={\frac {1}{2a_{2}}}+{\sqrt {a_{2}(1-e_{2}^{2})}}\cos i_{2}}$

где a — большая полуось (в единицах большой полуоси Юпитера), e — эксцентриситет , i — наклон орбиты тела.

Другими словами, если функция орбитальных элементов (называемая параметром Тиссерана ) первого наблюдаемого тела (почти) равна той же функции, рассчитанной с использованием орбитальных элементов второго наблюдаемого тела, то эти два тела могут быть одинаковыми.

Отношение Тиссерана

Соотношение определяет функцию орбитальных параметров, приблизительно сохраняющуюся, когда третье тело находится далеко от второй (возмущающей) массы. ^[3]

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

Соотношение выводится из константы Якоби, выбирая подходящую систему единиц и используя некоторые приближения. Традиционно единицы выбираются так, чтобы μ ₁ и (постоянное) расстояние от μ ₂ до μ ₁ были единицей, в результате чего среднее движение n также является единицей в этой системе.

Кроме того, учитывая очень большую массу μ ₁ по сравнению с μ ₂ и μ ₃

${\displaystyle G(\mu _{1}+\mu _{2})\approx 1\approx G(\mu _{1}+\mu _{3})}$

Эти условия выполняются, например, для системы Солнце–Юпитер, где третьей массой является комета или космический корабль.

Константа Якоби, функция координат ξ, η, ζ (расстояний r ₁ , r ₂ от двух масс) и скоростей, остается константой движения в процессе столкновения.

${\displaystyle C_{J}=2\cdot ({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}})+2n(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }})-({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})}$

Цель состоит в том, чтобы выразить константу с помощью орбитальных параметров.

Предполагается, что вдали от массы μ ₂ пробная частица (комета, космический корабль) находится на орбите вокруг μ ₁ , полученной в результате решения двух тел. Во-первых, последний член в константе - это скорость, поэтому ее можно выразить, достаточно далеко от возмущающей массы μ ₂ , как функцию расстояния и большой полуоси, используя только уравнение vis-viva

${\displaystyle ({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2})=v^{2}=\mu \left({{2 \over {r}}-{1 \over {a}}}\right)}$

Во-вторых, заметив, что компонент момента импульса (на единицу массы) равен ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {\dot {r}} }$

${\displaystyle \xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi }}=h\cos I}$

где - взаимное наклонение орбит μ ₃ и μ ₂ , а . ${\displaystyle I\,\!}$ ${\displaystyle h=|\mathbf {h} |={\sqrt {a(1-e^{2})}}}$

Подставляя их в постоянную Якоби C _J , игнорируя член с μ ₂ <<1 и заменяя r ₁ на r (при очень большом μ ₁ барицентр системы μ ₁ , μ ₃ находится очень близко к положению μ ₁ ), получаем

${\displaystyle {\frac {1}{2a}}+{\sqrt {a(1-e^{2})}}\cos i\approx {\rm {const}}}$

Смотрите также

• Орбитальные элементы
• Орбитальная механика
• n- проблема тела

Ссылки

1. Рой, Джон А.Э. (31 декабря 2004 г.). Орбитальное движение (4-е изд.). ЦРК Пресс. п. 121. ИСБН 9781420056884.
2. Гурзадян, Григор А. (21 октября 1996 г.). Теория межпланетных полетов . CRC Press. стр. 192. ISBN 9782919875153.
3. Danby, John MA (1992). Основы небесной механики (2-е изд.). Willman-Bell Inc. стр. 253–254. ISBN 9780943396200.