stringtranslate.com

Состояние руды

В математике , особенно в области алгебры , известной как теория колец , условие Оре — это условие, введенное Эйстейном Оре в связи с вопросом о расширении за пределы коммутативных колец конструкции поля дробей или, в более общем смысле, локализации кольца . Правое условие Оре для мультипликативного подмножества S кольца R заключается в том, что для a ∈ R и s ∈ S пересечение aS ∩ sR ≠ ∅ . (Некоммутативная) область , для которой множество ненулевых элементов удовлетворяет правому условию Оре, называется правым доменом Оре . Левый случай определяется аналогично. [1]

Общая идея

Цель состоит в том, чтобы построить правое кольцо дробей R [ S −1 ] относительно мультипликативного подмножества S . Другими словами, мы хотим работать с элементами вида as −1 и иметь кольцевую структуру на множестве R [ S −1 ]. Проблема в том, что не существует очевидной интерпретации произведения ( as −1 )( bt −1 ); действительно, нам нужен метод, чтобы «переместить» s −1 мимо b . Это означает, что нам нужно иметь возможность переписать s −1 b как произведение b 1 s 1 −1 . [2] Предположим, что s −1 b = b 1 s 1 −1 , затем умножая слева на s и справа на s 1 , мы получаем bs 1 = sb 1 . Отсюда мы видим необходимость для данных a и s существования a 1 и s 1 с s 1 ≠ 0 и такими, что as 1 = sa 1 .

Приложение

Поскольку хорошо известно, что каждая целостная область является подкольцом поля дробей (через вложение) таким образом, что каждый элемент имеет вид rs −1 с s, не равным нулю, естественно спросить, может ли та же конструкция взять некоммутативную область и связать с ней тело (некоммутативное поле) с тем же свойством. Оказывается, что иногда ответ «нет», то есть существуют области, которые не имеют аналогичного «правого тела дробей».

Для каждой правой области Оре R существует единственное (с точностью до естественного R -изоморфизма) тело D, содержащее R в качестве подкольца, такое, что каждый элемент D имеет вид rs −1 для r из R и s, ненулевого в R. Такое тело D называется кольцом правых дробей R , а R называется правым порядком в D. Понятие кольца левых дробей и левого порядка определяются аналогично, причем элементы D имеют вид s −1 r .

Важно помнить, что определение R как правого порядка в D включает условие, что D должен состоять полностью из элементов вида rs −1 . Любой домен, удовлетворяющий одному из условий Оре, можно считать подкольцом тела, однако это не означает автоматически, что R является левым порядком в D , поскольку возможно, что D имеет элемент, который не имеет вида s −1 r . Таким образом, R может быть правым, а не левым доменом Оре. Интуитивно, условие, что все элементы D имеют вид rs −1 , говорит, что R является «большим» R -подмодулем D . Фактически, условие гарантирует, что R R является существенным подмодулем D R . Наконец, есть даже пример домена в теле, который не удовлетворяет ни одному из условий Оре (см. примеры ниже).

Другой естественный вопрос: «Когда подкольцо тела является правым Оре?» Одной из характеристик является то, что подкольцо R тела D является правой областью Оре тогда и только тогда, когда D является плоским левым R -модулем (Lam 2007, Ex. 10.20).

Другая, более сильная версия условий Оре обычно приводится для случая, когда R не является доменом, а именно, что должно быть общее кратное

с = ау = бв

с u , v не делителями нуля . В этом случае теорема Оре гарантирует существование надкольца, называемого (правым или левым) классическим кольцом частных .

Примеры

Коммутативные домены автоматически являются доменами Оре, поскольку для ненулевых a и b , ab не равно нулю в aR ∩ bR . Известно, что правые нётеровы домены, такие как правые главные идеальные домены , также являются правыми доменами Оре. Еще более обще, Альфред Голди доказал, что домен R является правым Оре тогда и только тогда, когда R R имеет конечную равномерную размерность . Также верно, что правые домены Безу являются правыми Оре.

Подобласть тела, которая не является правым или левым Оре: Если F — любое поле и является свободным моноидом двух символов x и y , то кольцо моноидов не удовлетворяет никакому условию Оре, но является свободным кольцом идеалов и, таким образом, действительно подкольцом тела, по (Cohn 1995, Cor 4.5.9).

Мультипликативные множества

Условие Оре может быть обобщено на другие мультипликативные подмножества и представлено в форме учебника в (Lam 1999, §10) и (Lam 2007, §10). Подмножество S кольца R называется правым знаменателем , если оно удовлетворяет следующим трем условиям для каждого a , b в R и s , t в S :

  1. st в S ; (Множество S мультипликативно замкнуто . )
  2. aS ∩ sR не пусто; (Множество S перестановочно справа .)
  3. Если sa = 0 , то в S есть некоторый u с au = 0 ; (Множество S обратимо справа .)

Если S — множество правых знаменателей, то можно построить кольцо правых дробей RS −1 аналогично коммутативному случаю. Если S берется как множество регулярных элементов (таких элементов a в R , что если b в R не равен нулю, то ab и ba не равны нулю), то правильное условие Оре — это просто требование, чтобы S было множеством правых знаменателей.

Многие свойства коммутативной локализации сохраняются в этой более общей ситуации. Если S — множество правых знаменателей для кольца R , то левый R -модуль RS −1 является плоским . Более того, если M — правый R -модуль, то S -кручение, tor S ( M ) = { m в M  : ms = 0 для некоторого s в S }, является R -подмодулем, изоморфным Tor 1 ( M , RS −1 ) , а модуль M ⊗ R RS −1 естественно изоморфен модулю MS −1, состоящему из «дробей», как в коммутативном случае.

Примечания

  1. ^ Кон, П. М. (1991). "Глава 9.1". Алгебра . Т. 3 (2-е изд.). С. 351.
  2. ^ Артин, Майкл (1999). "Некоммутативные кольца" (PDF) . стр. 13. Получено 9 мая 2012 г.

Ссылки

Внешние ссылки