Модель турбулентности Спаларта–Аллмараса

В физике модель Спаларта–Аллмараса представляет собой модель с одним уравнением, которая решает смоделированное транспортное уравнение для кинематической вихревой турбулентной вязкости . Модель Спаларта–Аллмараса была разработана специально для аэрокосмических приложений, включающих потоки, ограниченные стенками, и, как было показано, дает хорошие результаты для пограничных слоев, подверженных неблагоприятным градиентам давления. Она также набирает популярность в турбомашиностроении .

В своей первоначальной форме модель фактически является моделью с низким числом Рейнольдса , требующей надлежащего разрешения области вязкости пограничного слоя (y+ ~1 ячеек). Модель Спаларта–Аллмараса была разработана для аэродинамических потоков. Она не калибруется для общих промышленных потоков и действительно дает относительно большие ошибки для некоторых свободных сдвиговых потоков, особенно плоских и круглых струйных потоков. Кроме того, на нее нельзя положиться для прогнозирования затухания однородной изотропной турбулентности.

Он решает уравнение переноса для переменной, подобной вязкости . Это можно назвать переменной Спаларта–Аллмараса . ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

Оригинальная модель

Турбулентная вихревая вязкость определяется по формуле

${\displaystyle \nu _{t}={\tilde {\nu }}f_{v1},\quad f_{v1}={\frac {\chi ^{3}}{\chi ^{3}+C_{v1}^{3}}},\quad \chi :={\frac {\tilde {\nu }}{\nu }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\nu }}}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial {\tilde {\nu }}}{\partial x_{j}}}=C_{b1}[1-f_{t2}]{\tilde {S}}{\tilde {\nu }}+{\frac {1}{\sigma }}\{\nabla \cdot [(\nu +{\tilde {\nu }})\nabla {\tilde {\nu }}]+C_{b2}|\nabla {\tilde {\nu }}|^{2}\}-\left[C_{w1}f_{w}-{\frac {C_{b1}}{\kappa ^{2}}}f_{t2}\right]\left({\frac {\tilde {\nu }}{d}}\right)^{2}+f_{t1}\Delta U^{2}}$

${\displaystyle {\tilde {S}}\equiv S+{\frac {\tilde {\nu }}{\kappa ^{2}d^{2}}}f_{v2},\quad f_{v2}=1-{\frac {\chi }{1+\chi f_{v1}}}}$

${\displaystyle f_{w}=g\left[{\frac {1+C_{w3}^{6}}{g^{6}+C_{w3}^{6}}}\right]^{1/6},\quad g=r+C_{w2}(r^{6}-r),\quad r\equiv {\frac {\tilde {\nu }}{{\tilde {S}}\kappa ^{2}d^{2}}}}$

${\displaystyle f_{t1}=C_{t1}g_{t}\exp \left(-C_{t2}{\frac {\omega _{t}^{2}}{\Delta U^{2}}}[d^{2}+g_{t}^{2}d_{t}^{2}]\right)}$

${\displaystyle f_{t2}=C_{t3}\exp \left(-C_{t4}\chi ^{2}\right)}$

${\displaystyle S={\sqrt {2\Omega _{ij}\Omega _{ij}}}}$

Тензор вращения определяется выражением

${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}(\partial u_{i}/\partial x_{j}-\partial u_{j}/\partial x_{i})}$

где d — расстояние от ближайшей поверхности, а — норма разницы между скоростью в точке перемещения (обычно равная нулю) и скоростью в рассматриваемой точке поля. ${\displaystyle \Delta U^{2}}$

Константы : ​

${\displaystyle {\begin{matrix}\sigma &=&2/3\\C_{b1}&=&0.1355\\C_{b2}&=&0.622\\\kappa &=&0.41\\C_{w1}&=&C_{b1}/\kappa ^{2}+(1+C_{b2})/\sigma \\C_{w2}&=&0.3\\C_{w3}&=&2\\C_{v1}&=&7.1\\C_{t1}&=&1\\C_{t2}&=&2\\C_{t3}&=&1.1\\C_{t4}&=&2\end{matrix}}}$

Модификации оригинальной модели

По мнению Спаларта, безопаснее использовать следующие значения для последних двух констант:

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{t3}&=&1.2\\C_{t4}&=&0.5\end{matrix}}}$

Другие модели, связанные с моделью SA:

ДЭС (1999) [1]

ДДЭС (2006)

Модель для сжимаемых течений

Существует несколько подходов к адаптации модели для сжимаемых течений .

Во всех случаях турбулентная динамическая вязкость вычисляется по формуле

${\displaystyle \mu _{t}=\rho {\tilde {\nu }}f_{v1}}$

где - локальная плотность. ${\displaystyle \rho }$

Первый подход применяет исходное уравнение для . ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

Во втором подходе конвективные члены в уравнении для изменяются следующим образом: ${\displaystyle {\tilde {\nu }}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\nu }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}({\tilde {\nu }}u_{j})={\mbox{RHS}}}$

где правая часть (RHS) такая же, как в исходной модели. ^{[ необходима ссылка ]}

Третий подход предполагает введение плотности внутрь некоторых производных на левой и правой осях.

Второй и третий подходы не рекомендуются первоначальными авторами, но они встречаются в нескольких решателях.

Граничные условия

Стены: ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=0}$

Фристрим:

В идеале , но у некоторых решателей могут возникнуть проблемы с нулевым значением, в этом случае можно использовать . ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=0}$ ${\displaystyle {\tilde {\nu }}\leq {\frac {\nu }{2}}}$

Это если термин trip используется для «запуска» модели. Удобный вариант — установить в свободном потоке . Затем модель обеспечивает «полностью турбулентное» поведение, т. е. она становится турбулентной в любой области, содержащей сдвиг . ${\displaystyle {\tilde {\nu }}=5{\nu }}$

Выход: конвективный выход.

Ссылки

• Спаларт, Филипп Р. и Аллмарас, Стивен Р. , 1992, «Модель турбулентности с одним уравнением для аэродинамических потоков», статья AIAA 92-0439

Внешние ссылки

• Эта статья основана на статье о модели Спаларта-Аллмараса в CFD-Wiki.
• Что такое модели турбулентности Спаларта-Аллмараса? от kxcad.net
• Модель турбулентности Спаларта-Аллмараса на сайте ресурсов по моделированию турбулентности в исследовательском центре Лэнгли НАСА