Список неполных доказательств

Технический аргумент надежного автора, который трудно проверить и который выглядит похожим на аргументы, заведомо верные, редко когда проверяется подробно.

Владимир Воеводский, ^[1]

На этой странице перечислены примечательные примеры неполных или неправильных опубликованных математических доказательств . Большинство из них принимались как полные или правильные в течение нескольких лет, но позже обнаруживались пробелы или ошибки. Существуют как примеры, когда позднее было найдено полное доказательство, так и примеры, когда предполагаемый результат оказался ложным.

Результаты позже были строго доказаны

• Элементы Евклида . Доказательства Евклида по сути верны, но, строго говоря, иногда содержат пробелы, поскольку он молчаливо использует некоторые невысказанные предположения, такие как существование точек пересечения . В 1899 году Давид Гильберт дал полный набор аксиом ( второго порядка ) для евклидовой геометрии, названных аксиомами Гильберта , а между 1926 и 1959 годами Тарский дал несколько полных наборов аксиом первого порядка , названных аксиомами Тарского .
• Изопериметрическое неравенство . Для трех измерений оно утверждает, что форма, охватывающая максимальный объем для своей площади поверхности, является сферой. Оно было сформулировано Архимедом, но не было строго доказано до 19 века Германом Шварцем .
• Бесконечно малые . В 18 веке в исчислении широко использовались бесконечно малые, хотя они не были по-настоящему хорошо определены. Исчисление было поставлено на прочный фундамент в 19 веке, и Робинсон поместил бесконечно малые на строгую основу с введением нестандартного анализа в 20 веке.
• Основная теорема алгебры (см. История ). Было сделано много неполных или неправильных попыток доказать эту теорему в 18 веке, в том числе Даламбером (1746), Эйлером (1749), де Фонсенексом (1759), Лагранжем (1772), Лапласом (1795), Вудом (1798) и Гауссом (1799). Первое строгое доказательство было опубликовано Арганом в 1806 году.
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях . В 1808 году Лежандр опубликовал попытку доказательства теоремы Дирихле, но, как указал Дюпре в 1859 году, одна из лемм, использованных Лежандром, ложна. Дирихле дал полное доказательство в 1837 году.
• Доказательства теоремы Кронекера–Вебера, данные Кронекером (1853) и Вебером (1886), оба имели пробелы. Первое полное доказательство было дано Гильбертом в 1896 году.
• В 1879 году Альфред Кемпе опубликовал предполагаемое доказательство теоремы о четырёх красках , справедливость которого в качестве доказательства принималась в течение одиннадцати лет, прежде чем оно было опровергнуто Перси Хивудом . Питер Гатри Тейт дал ещё одно неверное доказательство в 1880 году, неверность которого была показана Юлиусом Петерсеном в 1891 году. Однако доказательство Кемпе было достаточным, чтобы доказать более слабую теорему о пяти красках . Теорема о четырёх красках была в конечном итоге доказана Кеннетом Аппелем и Вольфгангом Хакеном в 1976 году. ^[2]
• Теорема Шредера–Бернштейна . В 1896 году Шредер опубликовал набросок доказательства ^[3] , который, однако, был признан ошибочным Альвином Рейнхольдом Корсельтом в 1911 году ^[4] (подтверждено Шредером). ^{[5] [6]}
• Теорема о кривой Жордана . Возникли некоторые разногласия по поводу того, содержит ли оригинальное доказательство Жордана в 1887 году пробелы. Освальд Веблен в 1905 году утверждал, что доказательство Жордана неполное, но в 2007 году Хейлз сказал, что пробелы незначительны и что доказательство Жордана по сути полное.
• В 1905 году Лебег попытался доказать (правильный) результат, что функция, неявно определенная функцией Бэра, является функцией Бэра, но его доказательство неверно предполагало, что проекция борелевского множества является борелевским. Суслин указал на ошибку и был вдохновлен ею, чтобы определить аналитические множества как непрерывные образы борелевских множеств.
• Лемма Дена . Ден опубликовал попытку доказательства в 1910 году, но Кнезер нашел пробел в 1929 году. Окончательно доказательство было получено в 1956 году Христосом Папакирьякопулосом .
• Шестнадцатая проблема Гильберта о конечности числа предельных циклов плоского полиномиального векторного поля. Анри Дюлак опубликовал частичное решение этой проблемы в 1923 году, но примерно в 1980 году Экаль и Ильяшенко независимо друг от друга обнаружили серьезный пробел и исправили его примерно в 1991 году. ^[7]
• В 1929 году Лазарь Люстерник и Лев Шнирельман опубликовали доказательство теоремы о трех геодезических , которое позже было признано ошибочным. Доказательство было завершено Вернером Баллманом примерно 50 лет спустя.
• Правило Литтлвуда–Ричардсона . Робинсон опубликовал неполное доказательство в 1938 году, хотя пробелы не были замечены в течение многих лет. Первые полные доказательства были даны Марселем-Полем Шютценбергером в 1977 году и Томасом в 1974 году.
• Числа классов мнимых квадратичных полей . В 1952 году Хегнер опубликовал решение этой проблемы. Его работа не была принята как полное доказательство, поскольку содержала пробел, и первые полные доказательства были даны примерно в 1967 году Бейкером и Старком . В 1969 году Старк показал, как заполнить пробел в работе Хегнера.
• В 1954 году Игорь Шафаревич опубликовал доказательство того, что каждая конечная разрешимая группа является группой Галуа над рациональными числами . Однако Шмидт ^{[ кто? ]} указал на пробел в рассуждении в области простого числа 2, который Шафаревич исправил в 1989 году.
• Проблема реализации Нильсена . Кравец заявил, что решил ее в 1959 году, впервые показав, что пространство Тейхмюллера имеет отрицательную кривизну, но в 1974 году Мазур показал, что оно не имеет отрицательной кривизны. Проблема реализации Нильсена была окончательно решена в 1980 году Керкгоффом .
• Проблема Ямабэ . Ямабэ заявил о решении в 1960 году, но Трудингер обнаружил пробел в 1968 году, и полное доказательство было дано только в 1984 году.
• Гипотеза Морделла над функциональными полями . Манин опубликовал доказательство в 1963 году, но Коулман (1990) нашел и исправил пробел в доказательстве.
• В 1973 году Бриттон опубликовал 282-страничную попытку решения проблемы Бернсайда . В своем доказательстве он предположил существование набора параметров, удовлетворяющих некоторым неравенствам, но Адиан указал, что эти неравенства были противоречивы. Новиков и Адиан ранее нашли правильное решение около 1968 года.
• Классификация конечных простых групп . В 1983 году Горенштейн объявил, что доказательство классификации завершено, но он был дезинформирован о статусе доказательства классификации квазитонких групп , в котором имелся серьезный пробел. Полное доказательство для этого случая было опубликовано Ашбахером и Смитом в 2004 году.
• В 1986 году Спенсер Блох опубликовал статью «Алгебраические циклы и высшая K-теория», в которой была введена высшая группа Чжоу , предшественница мотивных когомологий . В статье использовалась неверная лемма о перемещении; позже лемма была заменена 30 страницами сложных аргументов, которые «потребовались многие годы, чтобы быть принятыми как правильные». ^[1]
• Гипотеза Кеплера . Сян опубликовал неполное доказательство этого в 1993 году. В 1998 году Хейлс опубликовал доказательство, основанное на длительных компьютерных вычислениях.

Неверные результаты

• В 1759 году Эйлер утверждал, что на шахматной доске с тремя рядами нет замкнутых конных туров , но в 1917 году Эрнест Берггольт обнаружил туры на досках 3 на 10 и 3 на 12. ^[8]
• Гипотеза Эйлера о греко-латинских квадратах . В 1780-х годах Эйлер предположил, что таких квадратов не существует для любого нечетно-четного числа n ≡ 2 (mod 4). В 1959 году RC Bose и SS Shrikhande построили контрпримеры порядка 22. Затем ET Parker нашел контрпример порядка 10, используя одночасовой компьютерный поиск. Наконец, Паркер, Бозе и Шрикханде показали, что эта гипотеза ложна для всех n ≥ 10.
• В 1798 году А. М. Лежандр утверждал, что 6 не является суммой 2 рациональных кубов, ^[9] что, как указал Ламе в 1865 году, является ложным, поскольку 6 = (37/21) ³  + (17/21) ³ .
• В 1803 году Джан Франческо Малфатти заявил, что доказал, что определенное расположение трех кругов покроет максимально возможную площадь внутри прямоугольного треугольника. Однако, чтобы сделать это, он сделал некоторые необоснованные предположения о конфигурации кругов. В 1930 году было показано, что круги в другой конфигурации могут покрыть большую площадь, а в 1967 году — что конфигурация Малфатти никогда не была оптимальной. См. круги Малфатти .
• В 1806 году Андре-Мари Ампер заявил, что доказал, что непрерывная функция дифференцируема в большинстве точек (хотя не совсем ясно, что именно он утверждал, поскольку он не дал точного определения функции). Однако в 1872 году Вейерштрасс привел пример непрерывной функции, которая нигде не была дифференцируема: Функция Вейерштрасса .
• Теория пересечений . В 1848 году Штейнер утверждал, что число коник, касающихся 5 данных коник, равно 7776 = 6 ⁵ , но позже понял, что это неверно. Правильное число 3264 было найдено Бернером в 1865 году, Эрнестом де Жонкьером около 1859 года и Шалем в 1864 году с использованием его теории характеристик. Однако эти результаты, как и многие другие в классической теории пересечений, похоже, не были полностью доказаны до работы Фултона и Макферсона около 1978 года.
• Принцип Дирихле . Он был использован Риманом в 1851 году, но Вейерштрасс нашел контрпример к одной из версий этого принципа в 1870 году, а Гильберт сформулировал и доказал правильную версию в 1900 году.
• Кэли  (1878) ошибочно утверждал, что существуют три различные группы порядка 6. Эта ошибка странна, поскольку в более ранней статье 1854 года он правильно утверждал, что существуют только две такие группы.
• Основы математики, изложенные Фреге в его книге 1879 года «Begriffsschrift», оказались противоречивыми из-за парадокса Рассела , открытого в 1901 году.
• В 1885 году Евграф Федоров классифицировал выпуклые многогранники с конгруэнтными ромбическими гранями, но пропустил один случай. Станко Билински в 1960 году заново открыл додекаэдр Билински (забытый после его предыдущей публикации 1752 года) и доказал, что с добавлением этой формы классификация была полной. ^[10]
• Вронскианы . В 1887 году Мансион утверждал в своем учебнике, что если вронскиан некоторых функций обращается в нуль всюду, то функции линейно зависимы. В 1889 году Пеано указал на контрпример x ² и x | x |. Результат верен, если функции аналитические .
• Вален  (1891) опубликовал предполагаемый пример алгебраической кривой в 3-мерном проективном пространстве , которая не могла быть определена как нули 3 многочленов, но в 1941 году Перрон нашел 3 уравнения, определяющие кривую Валена. В 1961 году Кнезер показал, что любая алгебраическая кривая в проективном 3-пространстве может быть задана как нули 3 многочленов. ^[11]
• В 1898 году Миллер опубликовал статью, в которой ошибочно утверждал, что доказал, что группа Матье M ₂₄ не существует, хотя в 1900 году он указал, что его доказательство неверно.
• Литтл утверждал в 1900 году, что завихрение редуцированной диаграммы узла является инвариантом. Однако в 1974 году Перко обнаружил контрпример, названный парой Перко , парой узлов, которые в течение многих лет числились в таблицах как различные, но на самом деле являются одним и тем же.
• Двадцать первая проблема Гильберта . В 1908 году Племель заявил, что доказал существование фуксовых дифференциальных уравнений с любой заданной группой монодромии , но в 1989 году Болибрух открыл контрпример.
• В 1925 году Аккерман опубликовал доказательство того, что слабая система может доказать непротиворечивость версии анализа, но фон Нейман нашел в нем явную ошибку несколько лет спустя. Теоремы Гёделя о неполноте показали, что невозможно доказать непротиворечивость анализа с использованием более слабых систем.
• Группы порядка 64. В 1930 году Миллер опубликовал статью, в которой утверждал, что существует 294 группы порядка 64. В 1964 году Холл и Сениор показали, что правильное число — 267.
• Первоначальная опубликованная попытка Чёрча в 1932 году определить формальную систему была непоследовательной, как и его исправление в 1933 году. Последовательной частью его системы позже стало лямбда-исчисление .
• Курт Гёдель доказал в 1933 году, что истинность определенного класса предложений арифметики первого порядка , известного в литературе как [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* ,  all , (0)], разрешима . То есть, существовал метод для правильного определения того, является ли любое утверждение этой формы истинным. В последнем предложении этой статьи он утверждал, что то же самое доказательство будет работать для разрешимости большего класса [∃ ^* ∀ ² ∃ ^* ,  all , (0)] ₌ , который также включает формулы, содержащие предикат равенства. Однако в середине 1960-х годов Стол Аандера показал, что доказательство Гёделя не будет проходить для большего класса, а в 1982 году Уоррен Голдфарб показал, что действительность формул из большего класса на самом деле неразрешима. ^{[12] [13]}
• Теорема Грюнвальда–Вана . Вильгельм Грюнвальд опубликовал неверное доказательство в 1933 году неверной теоремы, а Джордж Уэйплс позже опубликовал еще одно неверное доказательство. Шанхао Ван нашел контрпример в 1948 году и опубликовал исправленную версию теоремы в 1950 году.
• В 1934 году Севери утверждал, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но Мамфорд (1968) показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода.
• Куайн опубликовал свое первоначальное описание системы «Математическая логика» в 1940 году, но в 1942 году Россер показал, что оно несостоятельно. В 1950 году Ван нашел исправление; несостоятельность этой пересмотренной системы до сих пор неясна.
• Один из многочисленных примеров из алгебраической геометрии первой половины 20-го века: Севери (1946) утверждал, что поверхность степени n в трехмерном проективном пространстве имеет не более (^{н +2}
  ₃)−4 узла, Б. Сегре указал, что это неверно; например, для степени 6 максимальное число узлов составляет 65, что достигается секстикой Барта , что больше максимума в 52, заявленного Севери.
• Инвариант Рохлина . Рохлин ошибочно утверждал в 1951 году, что третий устойчивый стебель гомотопических групп сфер имеет порядок 12. В 1952 году он обнаружил свою ошибку: на самом деле он является циклическим порядка 24. Разница имеет решающее значение, поскольку приводит к существованию инварианта Рохлина, фундаментального инструмента в теории 3- и 4-мерных многообразий .
• В 1961 году Ян-Эрик Роос опубликовал неверную теорему об исчезновении первого производного функтора обратного предела при некоторых общих условиях. ^[14] Однако в 2002 году Амнон Ниман построил контрпример. ^[15] В 2006 году Роос показал, что теорема верна, если добавить предположение, что категория имеет набор генераторов . ^[16]
• Множитель Шура группы Матье M ₂₂ особенно известен, поскольку он был неправильно рассчитан более одного раза: Бергойн и Фонг (1966) сначала заявили, что он имеет порядок 3, затем в исправлении 1968 года заявили, что он имеет порядок 6; его порядок на самом деле (в настоящее время считается) равен 12. Это привело к ошибке в названии статьи Янко «Новая конечная простая группа порядка 86 775 570 046 077 562 880, которая обладает M ₂₄ и полной покрывающей группой M ₂₂ в качестве подгруппы в J4» : она не имеет полной покрывающей группы в качестве подгруппы, поскольку полная покрывающая группа больше, чем предполагалось в то время.
• Первоначальное описание классификации N-групп, сделанное Томпсоном в 1968 году, случайно упустило группу Титса , хотя он вскоре это исправил.
• В 1967 году Рейнхардт предложил кардиналы Рейнхардта , которые, как показал Кюнен в 1971 году, несовместимы с ZFC, хотя их несовместимость с ZF неизвестна .
• Первоначальная версия интуиционистской теории типов Пера Мартина-Лёфа , предложенная в 1971 году, была признана противоречивой Жаном-Ивом Жираром в 1972 году и заменена исправленной версией.
• В 1975 году Лейтцель, Мадан и Куин ошибочно утверждали, что существует только 7 полей функций над конечными полями с родом > 0 и числом классов 1, но в 2013 году Стирпе нашел еще одно; на самом деле их ровно 8.
• Проблема Буземана–Петти ^. Чжан опубликовал две статьи в Annals of Mathematics в 1994 и 1999 годах, в первой из которых он доказал, что проблема Буземана–Петти в R4 имеет отрицательное решение, а во второй — что она имеет положительное решение.
• Алгебраические стеки . В книге Laumon & Moret-Bailly (2000) об алгебраических стеках ошибочно утверждалось, что морфизмы алгебраических стеков индуцируют морфизмы lisse-étale topoi . Результаты, зависящие от этого, были исправлены Olsson (2007).

Статус неясен

• Равномерная сходимость . В своем Cours d'Analyse 1821 года Коши «доказал», что если сумма непрерывных функций сходится поточечно , то ее предел также непрерывен. Однако Абель заметил три года спустя, что это не так. Чтобы вывод был верным, «точечная сходимость» должна быть заменена на « равномерная сходимость ». Не совсем ясно, был ли первоначальный результат Коши неверным, потому что его определение точечной сходимости было немного расплывчатым и могло быть сильнее того, которое используется в настоящее время, и есть способы интерпретировать его результат так, чтобы он был правильным. ^[17] Существует много контрпримеров, использующих стандартное определение точечной сходимости. Например, ряд Фурье функций синуса и косинуса , все непрерывные, может сходиться поточечно к разрывной функции, такой как ступенчатая функция .
• Гипотеза Кармайкла о функции тотиента была сформулирована как теорема Робертом Дэниелом Кармайклом в 1907 году, но в 1922 году он указал, что его доказательство было неполным. По состоянию на 2016 год проблема все еще остается открытой.
• Итальянская школа алгебраической геометрии . Большинство пробелов в доказательствах вызваны либо тонким техническим недосмотром, либо до 20 века отсутствием точных определений. Главным исключением из этого является итальянская школа алгебраической геометрии в первой половине 20 века, где более низкие стандарты строгости постепенно стали приемлемыми. Результатом стало то, что в этой области существует много работ, где доказательства неполны или теоремы не сформулированы точно. Этот список содержит несколько показательных примеров, где результат был не просто не полностью доказан, но и безнадежно неверен.
• В 1933 году Джордж Дэвид Биркгофф и Вальдемар Джозеф Тржицинский опубликовали очень общую теорему ^[18] об асимптотике последовательностей, удовлетворяющих линейным рекуррентам. Теорема была популяризирована Джетом Вимпом и Дороном Зейлбергером в 1985 году. ^[19] Однако, хотя результат, вероятно, верен, на данный момент (2021 год) доказательство Биркгоффа и Тржицинского не является общепринятым среди экспертов, и теорема (признанно) доказана только в частных случаях. ^[20]
• Гипотеза Якобиана . Келлер задал этот вопрос в 1939 году, и в последующие несколько лет было опубликовано несколько неполных доказательств, включая 3 от Б. Сегре, но Витушкин обнаружил пробелы во многих из них. Гипотеза Якобиана является (по состоянию на 2016 год) открытой проблемой, и регулярно объявляются новые неполные доказательства. Хайман Басс, Эдвин Х. Коннелл и Дэвид Райт (1982) обсуждают ошибки в некоторых из этих неполных доказательств.
• Усиление шестнадцатой проблемы Гильберта , спрашивающей, существует ли равномерная конечная верхняя граница для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей заданной степени n . В 1950-х годах Евгений Ландис и Иван Петровский опубликовали предполагаемое решение, но в начале 1960-х годов было показано, что оно неверно. ^[7]
• В 1954 году Заранкевич заявил, что решил задачу Турана о кирпичном заводе, касающуюся числа пересечений полных двудольных графов , но Кайнен и Рингель позже заметили пробел в его доказательстве.
• Комплексные структуры на 6-сфере. В 1969 году Альфред Адлер опубликовал статью в American Journal of Mathematics, в которой утверждал, что 6-сфера не имеет комплексной структуры. Его аргумент был неполным, и это (по состоянию на 2016 год) все еще является крупной открытой проблемой.
• Замкнутые геодезические . В 1978 году Вильгельм Клингенберг опубликовал доказательство того, что гладкие компактные многообразия без границы имеют бесконечно много замкнутых геодезических. Его доказательство было спорным, и в настоящее время (по состоянию на 2016 год) нет единого мнения о том, является ли его доказательство полным.
• В 1991 году Капранов и Воеводский опубликовали статью, в которой утверждали, что доказали версию гипотезы гомотопии . Позже Симпсон показал, что результат статьи неверен, но предположил, что вариант результата может быть верным, вариант, который теперь известен как гипотеза Симпсона.
• Гипотеза телескопа . Равенель объявил об опровержении этого в 1992 году, но позже отозвал его, и гипотеза до сих пор остается открытой.
• Матроидные расслоения. В 2003 году Дэниел Бисс опубликовал статью в Annals of Mathematics, в которой утверждал, что показал, что матроидные расслоения эквивалентны вещественным векторным расслоениям, но в 2009 году опубликовал исправление, указывающее на серьезный пробел в доказательстве. ^[21] Его исправление основывалось на статье Мнева 2007 года. ^[22]
• В 2012 году японский математик Шиничи Мочизуки опубликовал в сети ряд статей, в которых он утверждает, что доказал гипотезу abc . Несмотря на публикацию в рецензируемом журнале позже, его доказательство не было признано правильным в основном математическом сообществе. ^[23]

Смотрите также

• Список длинных математических доказательств
• Список опровергнутых математических идей
• Вытесненные теории в науке

Примечания

1. Воеводский, Владимир (26 марта 2014 г.). "Унивалентные основания" (PDF) . Институт перспективных исследований .
2. Саати, Томас Л.; Кайнен , Пол К. (1986). Проблема четырех цветов: нападения и завоевания . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-65092-0.
3. Шредер, Эрнст (1898). Kaiserliche Leopoldino-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher (ред.). Ueber zwei Definitionen der Endlichkeit und G. Cantor'sche Sätze. Том. 71. Иоганн Амброзиус Барт Верлаг. стр. 303–376 (доказательство: стр. 336–344).
4. Корсельт, А. (июнь 1911 г.). Кляйн, Феликс; Вальтер фон Дейк; Дэвид Хилберт; Отто Блюменталь (ред.). «Über einen Beweis des Äquivalenzsatzes». Mathematische Annalen (на немецком языке). 70 (2). Лейпциг: Б. Г. Тойбнер: 294–296. дои : 10.1007/BF01461161. ISSN  0025-5831. S2CID  119757900.
5. Хаусдорф, Феликс ; Брискорн, Эгберт (2001). Gesammelte Werke: einschliesslich der под псевдонимом Поль Монгри erschienenen philosophischen und literarischen Schriften und ausgewählter Texte aus dem Nachlass (1-е изд.). Берлин ; Нью-Йорк: Спрингер. п. 587. ИСБН 978-3-642-25598-4. OCLC  57368353.– Оригинальное издание (1914)
6. Корсельт 1911, стр. 295
7. Юлий Ильяшенко (2002). "Столетняя история 16-й проблемы Гильберта" (PDF) . Бюллетень Американского математического общества . 39 (3): 301–354. doi : 10.1090/s0273-0979-02-00946-1 .
8. Зубков, А. М. (2011). «Эйлер и комбинаторное исчисление». Труды Математического института им. В. А. Стеклова РАН . 274 : 162–168. doi :10.1134/s0081543811070030. S2CID  121881906.
9. Лежандр, Адриен-Мари (1798). Эссе по теории чисел. Париж: Дюпра.
10. Грюнбаум, Бранко (2010), «Додекаэдр Билински и различные параллелоэдры, зоноэдры, моноэдры, изозоноэдры и другие эдры» (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5–15, doi :10.1007/s00283-010-9138-7, hdl : 1773/15593 , MR  2747698, S2CID  120403108, архивировано из оригинала (PDF) 2015-04-02.
11. «Обзор Ho.history — Широко принятые математические результаты, которые позже оказались ошибочными?».
12. Бургер, Эгон; Гредель, Эрих; Гуревич, Юрий (1997). Классическая проблема принятия решений . Спрингер. п. 188. ИСБН 3-540-42324-9.
13. Голдфарб, Уоррен (1986). Феферман, Соломон (ред.). Курт Гёдель: Собрание сочинений . Том 1. Oxford University Press. С. 229–231. ISBN 0-19-503964-5.
14. Роос, Ян-Эрик (1961). «Sur les fonteurs dérivés de lim. Приложения». ЧР акад. наук. Париж . 252 : 3702–3704. МР  0132091.
15. Ниман, Амнон (2002). «Контрпример к «теореме» 1961 года в гомологической алгебре». Математические изобретения . 148 (2): 397–420. Бибкод : 2002InMat.148..397N. дои : 10.1007/s002220100197. MR  1906154. S2CID  121186299.
16. Роос, Ян-Эрик (2006), «Пересмотр производных функторов обратных пределов», J. London Math. Soc. , Серия 2, 73 (1): 65–83, doi :10.1112/S0024610705022416, MR  2197371, S2CID  122666355
17. Портер, Рой (2003). Кембриджская история науки . Cambridge University Press. стр. 476. ISBN 0-521-57199-5.
18. GD Birkhoff и WJ Trjitzinsky (1933). «Аналитическая теория сингулярных разностных уравнений». Acta Math . 60 (1): 1–89. doi : 10.1007/BF02398269 . S2CID  121809579.
19. J. Wimp и D. Zeilberger (1985). «Воскрешение асимптотики линейных рекуррент». J. Math. Anal. Appl . 111 (1): 162–176. doi : 10.1016/0022-247X(85)90209-4 .
20. P. Flajolet и R. Sedgewick (2009). Аналитическая комбинаторика. Cambridge University Press. С. 582/683. ISBN 9780521898065.
21. «Геометрия — Кто-нибудь вообще видел эту работу Дэниела Бисса?».
22. Мнев, Н. (2007). «О работах Д.К. Бисса «Гомотопический тип матроидного грассманиана» и «Ориентированные матроиды, комплексные многообразия и комбинаторная модель для BU»". arXiv : 0709.1291 [math.CO].
23. Бордж, Энтони (декабрь 2021 г.). «Кризис репликации в математике?». The Mathematical Intelligencer . 43 (4): 48–52. doi :10.1007/s00283-020-10037-7. ISSN  0343-6993. PMC 8700325. PMID 34966193  . 

Ссылки

• Басс, Хайман ; Коннелл, Эдвин Х.; Райт, Дэвид (1982), «Гипотеза якобиана: понижение степени и формальное расширение обратной величины», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 7 (2): 287–330, doi : 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7 , ISBN 978-1-982150-32-7, МР  0663785
• Бергойн, Н.; Фонг, Пол (1966), «Множители Шура групп Матье», Nagoya Mathematical Journal , 27 (2): 733–745, doi : 10.1017/S0027763000026519 , ISSN  0027-7630, MR  0197542
• Кэли, А. (1878), «Желаемые и предложения: № 1. Теория групп», Am. J. Math. , 1 (1): 50–52, doi :10.2307/2369433, JSTOR  2369433
• Коулмен, Роберт Ф. (1990), «Доказательство Манина гипотезы Морделла над функциональными полями», L'Enseignement Mathématique , 2-я серия, 36 (3): 393–427, ISSN  0013-8584, MR  1096426
• Ломон, Жерар ; Море-Байи, Лоран (2000), Champs algébriques , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 39, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65761-3, г-н  1771927
• Мамфорд, Дэвид (1968), «Рациональная эквивалентность 0-циклов на поверхностях», Журнал математики Киотского университета , 9 (2): 195–204, doi : 10.1215/kjm/1250523940 , ISSN  0023-608X, MR  0249428
• Олссон, Мартин (2007), «Пучки на стопках Артина», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2007 (603): 55–112, doi : 10.1515/CRELLE.2007.012, ISSN  0075-4102, MR  2312554, S2CID  15445962
• Рохлин, В.А. (1951), «Классификация отображений (n+3)-мерной сферы в n-мерную», Доклады Академии наук СССР , Новая серия, 81 : 19–22, MR  0046043
• Севери, Франческо (1946), «Sul Massimo numero di nodi di una superficie di dato ordine dello spazio ordinario o di una forma di un operspazio», Annali di Matematica Pura ed Applicata , Series 4, 25 : 1–41, doi : 10.1007 /bf02418077 , ISSN  0003-4622, S2CID  122620694
• Вален, К.Т. (1891), "Bemerkung zur vollställndigen Darstellung алгебраишер Raumkurven", Дж. Рейне Ангью. Математика. , 108 : 346–347

Дальнейшее чтение

• Лекат, Морис (1935), Erreurs de mathématiciens des origines à nos jours , Брюссель – Лувен: Librairie Castaigne – Ém. Десбаракс— Перечисляет более ста страниц (в основном незначительных) опубликованных ошибок, допущенных математиками.

Внешние ссылки

• Письмо Дэвида Мамфорда об ошибках итальянской школы алгебраической геометрии при Севери
• На первых 9 страницах [1] приведены некоторые примеры неверных результатов в теории гомотопии.

Вопросы MathOverflow

• Илья Никокошев, Самая интересная математическая ошибка?
• Кевин Баззард, какие ошибки на самом деле допустили итальянские алгебраические геометры?
• Будет ли Джаги, широко признанные математические результаты, которые позже оказались неверными?
• Джон Стиллвелл, Какие правильные результаты были получены с помощью неверных доказательств (или без них)?
• Мориц. Теоремы понижены до предположений
• Мэй Чжан, Доказательства, оказавшиеся неверными после формализации с помощью помощника по доказательству

Вопросы StackExchange

• Стивен-Оуэн, Были ли когда-нибудь ошибки в истории математики?