Сплошные гармоники

В физике и математике твердые гармоники являются решениями уравнения Лапласа в сферических полярных координатах , которые считаются (гладкими) функциями . Существует два вида: регулярные твердые гармоники , которые четко определены в начале координат, и нерегулярные твердые гармоники , которые сингулярны в начале координат. Оба набора функций играют важную роль в теории потенциала и получаются путем соответствующего перемасштабирования сферических гармоник : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}}$$

Вывод, отношение к сферическим гармоникам

Вводя r , θ и φ для сферических полярных координат 3-вектора r и предполагая, что ^{является} (гладкой) функцией , мы можем записать уравнение Лапласа в следующем виде , где l2 — квадрат безразмерного оператора углового момента , ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}r-{\frac {{\hat {l}}^{2}}{r^{2}}}\right)\Phi (\mathbf {r} )=0,\qquad \mathbf {r} \neq \mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {l}} =-i\,(\mathbf {r} \times \mathbf {\nabla } ).}$$

Известно , что сферические гармоники Y^м
_лявляются собственными функциями l ² : $${\displaystyle {\hat {l}}^{2}Y_{\ell }^{m}\equiv \left[{{\hat {l}}_{x}}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}\right]Y_{\ell }^{m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}.}$$

Подстановка Φ( r ) = F ( r ) Y^м
_лв уравнение Лапласа дает после разделения сферической гармонической функции следующее радиальное уравнение и его общее решение:

$${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}rF(r)={\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}F(r)\Longrightarrow F(r)=Ar^{\ell }+Br^{-\ell -1}.}$$

Частными решениями полного уравнения Лапласа являются регулярные сплошные гармоники : и нерегулярные сплошные гармоники : Регулярные сплошные гармоники соответствуют гармоническим однородным многочленам , т.е. однородным многочленам, которые являются решениями уравнения Лапласа . $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}\;{\frac {Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}{r^{\ell +1}}}.}$$

Нормализация Рака

Нормализация Рака (также известная как полунормализация Шмидта) применяется к обеим функциям (и аналогично для нерегулярной сплошной гармоники) вместо нормализации к единице. Это удобно, поскольку во многих приложениях фактор нормализации Рака оказывается неизменным на протяжении всех выводов. $${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta \int _{0}^{2\pi }d\varphi \;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )^{*}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}r^{2\ell }}$$

Теоремы сложения

Перевод регулярной сплошной гармоники дает конечное разложение, где коэффициент Клебша–Гордана определяется выражением $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\ell }{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )R_{\ell -\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ,}$$ $${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell -\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle ={\binom {\ell +m}{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell -m}{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell }{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

Аналогичное разложение для нерегулярных сплошных гармоник дает бесконечный ряд, с . Величина между заостренными скобками снова является коэффициентом Клебша-Гордана , $${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {r} +\mathbf {a} )=\sum _{\lambda =0}^{\infty }{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{1/2}\sum _{\mu =-\lambda }^{\lambda }R_{\lambda }^{\mu }(\mathbf {r} )I_{\ell +\lambda }^{m-\mu }(\mathbf {a} )\;\langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle }$$ ${\displaystyle |r|\leq |a|\,}$ $${\displaystyle \langle \lambda ,\mu ;\ell +\lambda ,m-\mu |\ell m\rangle =(-1)^{\lambda +\mu }{\binom {\ell +\lambda -m+\mu }{\lambda +\mu }}^{1/2}{\binom {\ell +\lambda +m-\mu }{\lambda -\mu }}^{1/2}{\binom {2\ell +2\lambda +1}{2\lambda }}^{-1/2}.}$$

Теоремы сложения были доказаны разными способами несколькими авторами. ^{[1] [2]}

Сложная форма

Регулярные сплошные гармоники являются однородными, полиномиальными решениями уравнения Лапласа . Разделяя неопределенность и записывая , легко видеть, что уравнение Лапласа эквивалентно рекурсивной формуле , так что любой выбор полиномов степени и степени дает решение уравнения. Одним из частных базисов пространства однородных полиномов (от двух переменных) степени является . Обратите внимание, что это (единственный с точностью до нормализации) базис собственных векторов группы вращения : Вращение плоскости на действует как умножение на на базисном векторе . ${\displaystyle \Delta R=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\textstyle R=\sum _{a}p_{a}(x,y)z^{a}}$ $${\displaystyle p_{a+2}={\frac {-\left(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}\right)p_{a}}{\left(a+2\right)\left(a+1\right)}}}$$ ${\displaystyle p_{0}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle p_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left\{(x^{2}+y^{2})^{m}(x\pm iy)^{k-2m}\mid 0\leq m\leq k/2\right\}}$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle \rho _{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle e^{\pm i(k-2m)\alpha }}$ ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{m}(x+iy)^{k-2m}}$

Если мы объединим базис степени и базис степени с рекурсивной формулой, мы получим базис пространства гармонических однородных многочленов (на этот раз от трех переменных) степени , состоящий из собственных векторов для (обратите внимание, что рекурсивная формула совместима с -действием, поскольку оператор Лапласа инвариантен относительно вращения). Это комплексные сплошные гармоники: и в общем случае для . ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell -1}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle SO(2)}$ ${\displaystyle SO(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\ell }^{\pm \ell }&=(x\pm iy)^{\ell }z^{0}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -1)}&=(x\pm iy)^{\ell -1}z^{1}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -2)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -2}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -3)}&=(x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})(x\pm iy)^{\ell -3}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -4)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}z^{0}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2}}z^{2}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -4}\right)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}z^{4}\\R_{\ell }^{\pm (\ell -5)}&=(x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}z^{1}+{\frac {-(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3}}z^{3}+{\frac {(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{2}\left((x^{2}+y^{2})^{2}(x\pm iy)^{\ell -5}\right)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}z^{5}\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle R_{\ell }^{\pm m}={\begin{cases}\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}&\ell -m{\text{ is even}}\\\sum _{k}(\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2})^{k}\left((x^{2}+y^{2})^{(\ell -1-m)/2}(x\pm iy)^{m}\right){\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\ell -m{\text{ is odd}}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle 0\leq m\leq \ell }$

Подставляя сферические координаты , и используя , находим обычную связь со сферическими гармониками с многочленом , который является (с точностью до нормализации) соответствующим многочленом Лежандра , и так далее (опять же, с точностью до конкретного выбора нормализации). ${\displaystyle x=r\cos(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle y=r\sin(\theta )\sin(\varphi )}$ ${\displaystyle z=r\cos(\varphi )}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}\sin(\varphi )^{2}=r^{2}(1-\cos(\varphi )^{2})}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }e^{im\phi }P_{\ell }^{m}(\cos(\vartheta ))}$ ${\displaystyle P_{\ell }^{m}}$ ${\displaystyle R_{\ell }^{m}=r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

Действительная форма

Простым линейным сочетанием твердых гармоник ± m эти функции преобразуются в действительные функции, т.е. функции . Действительные регулярные твердые гармоники, выраженные в декартовых координатах, являются действительными однородными полиномами порядка по x , y , z . Явная форма этих полиномов имеет некоторое значение. Они появляются, например, в форме сферических атомных орбиталей и действительных мультипольных моментов . Сейчас будет получено явное декартово выражение действительных регулярных гармоник. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ell }$

Линейная комбинация

Запишем в соответствии с предыдущим определением с где — полином Лежандра порядка ℓ . Зависящая от m фаза известна как фаза Кондона–Шортли . $${\displaystyle R_{\ell }^{m}(r,\theta ,\varphi )=(-1)^{(m+|m|)/2}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{|m|}(\cos \theta )e^{im\varphi },\qquad -\ell \leq m\leq \ell ,}$$ $${\displaystyle \Theta _{\ell }^{m}(\cos \theta )\equiv \left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\,\sin ^{m}\theta \,{\frac {d^{m}P_{\ell }(\cos \theta )}{d\cos ^{m}\theta }},\qquad m\geq 0,}$$ ${\displaystyle P_{\ell }(\cos \theta )}$

Следующее выражение определяет действительные регулярные сплошные гармоники: и для m = 0 : Поскольку преобразование осуществляется с помощью унитарной матрицы, нормализация действительных и комплексных сплошных гармоник одинакова. $${\displaystyle {\begin{pmatrix}C_{\ell }^{m}\\S_{\ell }^{m}\end{pmatrix}}\equiv {\sqrt {2}}\;r^{\ell }\;\Theta _{\ell }^{m}{\begin{pmatrix}\cos m\varphi \\\sin m\varphi \end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}(-1)^{m}&\quad 1\\-(-1)^{m}i&\quad i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}R_{\ell }^{m}\\R_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.}$$ $${\displaystyle C_{\ell }^{0}\equiv R_{\ell }^{0}.}$$

з-зависимая часть

После записи u = cos θ m -я производная полинома Лежандра может быть записана в виде следующего разложения по u с Поскольку z = r cos θ, то эта производная, умноженная на соответствующую степень r , является простым полиномом по z , $${\displaystyle {\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;u^{\ell -2k-m}}$$ $${\displaystyle \gamma _{\ell k}^{(m)}=(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}.}$$ $${\displaystyle \Pi _{\ell }^{m}(z)\equiv r^{\ell -m}{\frac {d^{m}P_{\ell }(u)}{du^{m}}}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }\gamma _{\ell k}^{(m)}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.}$$

(х,у)-зависимая часть

Рассмотрим далее, вспоминая, что x = r sin θ cos φ и y = r sin θ sin φ , Аналогично далее и $${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \cos m\varphi ={\frac {1}{2}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}+(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]}$$ $${\displaystyle r^{m}\sin ^{m}\theta \sin m\varphi ={\frac {1}{2i}}\left[(r\sin \theta e^{i\varphi })^{m}-(r\sin \theta e^{-i\varphi })^{m}\right]={\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right].}$$ $${\displaystyle A_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2}}\left[(x+iy)^{m}+(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos(m-p){\frac {\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle B_{m}(x,y)\equiv {\frac {1}{2i}}\left[(x+iy)^{m}-(x-iy)^{m}\right]=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin(m-p){\frac {\pi }{2}}.}$$

Всего

$${\displaystyle C_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;A_{m}(x,y),\qquad m=0,1,\ldots ,\ell }$$ $${\displaystyle S_{\ell }^{m}(x,y,z)=\left[{\frac {2(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z)\;B_{m}(x,y),\qquad m=1,2,\ldots ,\ell .}$$

Список самых низких функций

Мы явно перечислим самые низкие функции до ℓ = 5 включительно . Здесь ${\displaystyle {\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)\equiv \left[{\tfrac {(2-\delta _{m0})(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\Pi _{\ell }^{m}(z).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\Pi }}_{0}^{0}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{1}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {6}}(5z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{4}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {35}}\\{\bar {\Pi }}_{1}^{0}&=z&{\bar {\Pi }}_{3}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {15}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{0}&={\frac {1}{8}}z(63z^{4}-70z^{2}r^{2}+15r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{1}^{1}&=1&{\bar {\Pi }}_{3}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {10}}&{\bar {\Pi }}_{5}^{1}&={\frac {1}{8}}{\sqrt {15}}(21z^{4}-14z^{2}r^{2}+r^{4})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}(3z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{0}&={\frac {1}{8}}(35z^{4}-30r^{2}z^{2}+3r^{4})&{\bar {\Pi }}_{5}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {105}}(3z^{2}-r^{2})z\\{\bar {\Pi }}_{2}^{1}&={\sqrt {3}}z&{\bar {\Pi }}_{4}^{1}&={\frac {\sqrt {10}}{4}}z(7z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{3}&={\frac {1}{16}}{\sqrt {70}}(9z^{2}-r^{2})\\{\bar {\Pi }}_{2}^{2}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\bar {\Pi }}_{4}^{2}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {5}}(7z^{2}-r^{2})&{\bar {\Pi }}_{5}^{4}&={\frac {3}{8}}{\sqrt {35}}z\\{\bar {\Pi }}_{3}^{0}&={\frac {1}{2}}z(5z^{2}-3r^{2})&{\bar {\Pi }}_{4}^{3}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {70}}\;z&{\bar {\Pi }}_{5}^{5}&={\frac {3}{16}}{\sqrt {14}}\\\end{aligned}}}$$

Низшие функции и есть: ${\displaystyle A_{m}(x,y)\,}$ ${\displaystyle B_{m}(x,y)\,}$

Ссылки

1. RJA Tough и AJ Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10 , стр. 1261 (1977)
2. MJ Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11 , стр. L23 (1978)

• Steinborn, EO; Ruedenberg, K. (1973). "Вращение и трансляция регулярных и нерегулярных твердых сферических гармоник". В Lowdin, Per-Olov (ред.). Advances in quantum chemistry . Vol. 7. Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320.
• Томпсон, Уильям Дж. (2004). Угловой момент: иллюстрированное руководство по вращательным симметриям для физических систем . Weinheim: Wiley-VCH. стр. 143–148. ISBN 9783527617838.