Среднее квазиарифметическое

Обобщение средств

В математике и статистике квазиарифметическое среднее или обобщенное f -среднее или среднее Колмогорова-Нагумо-де Финетти ^[1] является одним из обобщений более известных средних, таких как среднее арифметическое и среднее геометрическое , с использованием функции . Его также называют средним Колмогорова в честь советского математика Андрея Колмогорова . Это более широкое обобщение, чем обычное обобщенное среднее . ${\displaystyle f}$

Определение

Если f — функция, которая отображает интервал действительной прямой в действительные числа , и является одновременно непрерывной и инъективной , то f -среднее число определяется как , что также можно записать ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$ ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

${\displaystyle M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}$

Мы требуем, чтобы f была инъективной для того, чтобы существовала обратная функция . Поскольку определена на интервале, лежит в области . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

Поскольку f инъективна и непрерывна, то f является строго монотонной функцией , и, следовательно, f -среднее не больше наибольшего числа в кортеже и не меньше наименьшего числа в . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

• Если , действительная прямая , и , (или любая линейная функция , не равная 0), то f -среднее соответствует среднему арифметическому . ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x\mapsto a\cdot x+b}$ ${\displaystyle a}$
• Если , положительные действительные числа и , то f -среднее соответствует геометрическому среднему . Согласно свойствам f -среднего, результат не зависит от основания логарифма, пока оно положительно и не равно 1. ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)=\log(x)}$
• Если и , то f -среднее соответствует гармоническому среднему . ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$
• Если и , то f -среднее соответствует степенному среднему с показателем . ${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ ${\displaystyle p}$
• Если и , то f -среднее является средним в логарифмическом полукольце , которое является сдвинутой на константу версией функции LogSumExp (LSE) (которая является логарифмической суммой), . Соответствует делению на n , поскольку логарифмическое деление является линейным вычитанием. Функция LogSumExp является гладким максимумом : гладким приближением к максимальной функции. ${\displaystyle I=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$ ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)}$ ${\displaystyle -\log(n)}$

Характеристики

Следующие свойства справедливы для любой одиночной функции : ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Симметрия: значение не изменится, если поменять местами его аргументы. ${\displaystyle M_{f}}$

Идемпотентность: для всех x , . ${\displaystyle M_{f}(x,\dots ,x)=x}$

Монотонность : монотонна по каждому из своих аргументов (так как является монотонной ). ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Непрерывность : непрерывна по каждому из своих аргументов (так как непрерывна). ${\displaystyle M_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Замена : Подмножества элементов могут быть усреднены априори, без изменения среднего значения, при условии сохранения множественности элементов. При этом выполняется: ${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

Разбиение : вычисление среднего значения можно разделить на вычисления подблоков одинакового размера: ${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

Самораспределяемость : Для любого квазиарифметического среднего двух переменных: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$

Медиальность : Для любого квазиарифметического среднего двух переменных: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$

Балансировка : Для любого квазиарифметического среднего двух переменных: . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}$

Центральная предельная теорема  : При условиях регулярности, для достаточно большой выборки,приблизительно нормально. ^[2] Аналогичный результат доступен для средних значений Байрактаревича и средних отклонений, которые являются обобщениями квазиарифметических средних. ^{[3] [4]} ${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}$

Масштабная инвариантность : Квазиарифметическое среднее инвариантно относительно смещений и масштабирования : . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$

Характеристика

Существует несколько различных наборов свойств, характеризующих квазиарифметическое среднее (т.е. каждая функция, удовлетворяющая этим свойствам, является f -средним для некоторой функции f ).

• Медиальность по существу достаточна для характеристики квазиарифметических средних. ^{[5] : глава 17}
• Самораспределяемость по существу достаточна для характеристики квазиарифметических средних. ^{[5] : глава 17}
• Замена : Колмогоров доказал, что пять свойств: симметрия, неподвижная точка, монотонность, непрерывность и замена полностью характеризуют квазиарифметические средние. ^[6]
• Непрерывность излишня в характеристике квазиарифметических средних двух переменных. Подробности см. в [10].
• Балансировка : Интересная проблема заключается в том, подразумевает ли это условие (вместе со свойствами симметрии, неподвижной точки, монотонности и непрерывности), что среднее значение является квазиарифметическим. Георг Ауманн показал в 1930-х годах, что ответ в общем случае отрицательный ^[7], но если дополнительно предположить, что является аналитической функцией , то ответ будет положительным ^{[8] .} ${\displaystyle M}$

Однородность

Средние значения обычно однородны , но для большинства функций f - среднее значение не является таковым. Действительно, единственными однородными квазиарифметическими средними являются степенные средние (включая геометрическое среднее ); см. Hardy–Littlewood–Pólya, стр. 68. ${\displaystyle f}$

Свойство однородности может быть достигнуто путем нормализации входных значений некоторым (однородным) средним значением . ${\displaystyle C}$

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

Однако эта модификация может нарушить монотонность и свойство разбиения среднего значения.

Обобщения

Рассмотрим строго выпуклую функцию типа Лежандра . Тогда градиентное отображение глобально обратимо, а взвешенное многомерное квазиарифметическое среднее ^[9] определяется как , где — нормализованный вектор веса ( по умолчанию для сбалансированного среднего). Из выпуклой двойственности мы получаем двойственное квазиарифметическое среднее, связанное с квазиарифметическим средним . Например, возьмем для симметричной положительно определенной матрицы. Пара матричных квазиарифметических средних дает матричное гармоническое среднее: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \nabla F}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}}$ ${\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}$

Смотрите также

• Обобщенное среднее
• Неравенство Йенсена

Ссылки

• Андрей Колмогоров (1930) «О понятии среднего», в «Математика и механика» (Клувер, 1991) — стр. 144–146.
• Андрей Колмогоров (1930) Sur la notion de la moyenne. Атти Аккад. Наз. Линчеи 12, стр. 388–391.
• Джон Бибби (1974) «Аксиоматизации среднего и дальнейшее обобщение монотонных последовательностей», Glasgow Mathematical Journal, т. 15, стр. 63–65.
• Харди, Г. Х.; Литтлвуд, Дж. Э.; Полиа, Г. (1952) Неравенства. 2-е изд. Cambridge Univ. Press, Кембридж, 1952.
• Б. Де Финетти, «Sul concetto di media», том. 3, с. 36996, 1931, итальянский институт искусства.

1. Нильсен, Франк; Нок, Ричард (июнь 2017 г.). «Обобщение косых расхождений Дженсена и расхождений Брегмана со сравнительной выпуклостью». IEEE Signal Processing Letters . 24 (8): 2. arXiv : 1702.04877 . Bibcode : 2017ISPL...24.1123N. doi : 10.1109/LSP.2017.2712195. S2CID  31899023.
2. де Карвальо, Мигель (2016). «Имеешь в виду, что ты имеешь в виду?». Американский статистик . 70 (3): 764‒776. doi : 10.1080/00031305.2016.1148632. hdl : 20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c . S2CID  219595024.
3. Барчи, Матьяш; Бурай, Пал (01 апреля 2022 г.). «Предельные теоремы для факторсредних Байрактаревича и Коши независимых одинаково распределенных случайных величин». Математические уравнения . 96 (2): 279–305. doi : 10.1007/s00010-021-00813-x. ISSN  1420-8903.
4. Барчи, Матьяс; Палес, Жолт (2023-09-01). «Предельные теоремы для средних отклонений независимых и одинаково распределенных случайных величин». Журнал теоретической вероятности . 36 (3): 1626–1666. doi :10.1007/s10959-022-01225-6. ISSN  1572-9230.
5. Aczél, J.; Dhombres, JG (1989). Функциональные уравнения с несколькими переменными. С приложениями к математике, теории информации и к естественным и социальным наукам. Энциклопедия математики и ее приложений, 31. Кембридж: Cambridge Univ. Press.
6. Грудкин, Антон (2019). «Характеристика квазиарифметического среднего». Math stackexchange .
7. Ауманн, Георг (1937). «Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften». Журнал для королевы и математики . 1937 (176): 49–55. дои : 10.1515/crll.1937.176.49. S2CID  115392661.
8. Ауманн, Георг (1934). «Основные положения аналитической теории». Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften : 45–81.
9. Нильсен, Франк (2023). «За пределами скалярных квазиарифметических средних: квазиарифметические средние и квазиарифметические смеси в информационной геометрии». arXiv : 2301.10980 [cs.IT].

[10] MR4355191 - Характеристика квазиарифметических средних без условия регулярности

Бурай, П.; Кисс, Г.; Сокол, П. Acta Math. Венгрия. 165 (2021), вып. 2, 474–485.

[11]

MR4574540 — Дихотомический результат для строго возрастающих бисимметричных отображений

Бурай, Пал; Поцелуй, Гергели; Сокол, Патрисия

J. Math. Anal. Appl. 526 (2023), № 2, Статья № 127269, 9 стр.