Ускорение

Скорость изменения скорости

Дрэг-рейсинг — это вид спорта, в котором специально сконструированные автомобили соревнуются за самое быстрое ускорение с места.

В механике ускорение — это скорость изменения скорости объекта по отношению ко времени. Ускорение — один из нескольких компонентов кинематики , науки о движении . Ускорения — это векторные величины (в том смысле, что они имеют величину и направление ). ^[1] [ ^2] Ориентация ускорения объекта задается ориентацией чистой силы, действующей на этот объект. Величина ускорения объекта, как описано во Вторым законе Ньютона , ^[3] является совместным эффектом двух причин:

• чистый баланс всех внешних сил , действующих на этот объект — величина прямо пропорциональна этой чистой результирующей силе;
• масса этого объекта , зависящая от материалов, из которых он сделан — величина обратно пропорциональна массе объекта.

Единицей измерения ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате ( м⋅с ⁻² ) . ${\displaystyle \mathrm {\tfrac {m}{s^{2}}} }$

Например, когда транспортное средство начинает движение с места (нулевая скорость в инерциальной системе отсчета ) и движется по прямой с увеличивающейся скоростью, оно ускоряется в направлении движения. Если транспортное средство поворачивает, происходит ускорение в новом направлении и изменяется вектор его движения. Ускорение транспортного средства в текущем направлении движения называется линейным (или тангенциальным при круговых движениях ) ускорением, реакция на которое пассажиры на борту ощущают как силу, толкающую их обратно в свои сиденья. При изменении направления действующее ускорение называется радиальным (или центростремительным при круговых движениях) ускорением, реакция на которое пассажиры ощущают как центробежную силу . Если скорость транспортного средства уменьшается, это ускорение в противоположном направлении вектора скорости (математически отрицательное , если движение одномерное, а скорость положительная), иногда называемое замедлением ^{[4] [5]} или ретардацией , и пассажиры ощущают реакцию на замедление как инерционную силу, толкающую их вперед. Такие отрицательные ускорения часто достигаются за счет сжигания тормозных ракетных двигателей в космических кораблях . ^[6] И ускорение, и замедление рассматриваются одинаково, поскольку оба являются изменениями скорости. Каждое из этих ускорений (тангенциальное, радиальное, замедление) ощущается пассажирами до тех пор, пока их относительная (дифференциальная) скорость не нейтрализуется по отношению к ускорению, вызванному изменением скорости.

Определение и свойства

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Среднее ускорение

Ускорение — это скорость изменения скорости. В любой точке траектории величина ускорения определяется скоростью изменения скорости как по величине, так и по направлению в этой точке. Истинное ускорение в момент времени t находится в пределе как временной интервал Δ t → 0 от Δ v /Δ t .

Среднее ускорение объекта за период времени — это изменение его скорости , , деленное на продолжительность периода, . Математически, ${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \Delta t}$ $${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$

Мгновенное ускорение

Снизу вверх :

• функция ускорения a ( t ) ;
• интеграл ускорения — это функция скорости v ( t ) ;
• а интеграл скорости — это функция расстояния s ( t ) .

Между тем, мгновенное ускорение является пределом среднего ускорения за бесконечно малый интервал времени. В терминах исчисления мгновенное ускорение является производной вектора скорости по времени: Поскольку ускорение определяется как производная скорости v по времени t, а скорость определяется как производная положения x по времени, ускорение можно рассматривать как вторую производную x по t : $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}.}$$ $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}.}$$

(Здесь и далее, если движение происходит по прямой , векторные величины можно заменить скалярами в уравнениях.)

По основной теореме исчисления можно видеть, что интеграл функции ускорения a ( t ) является функцией скорости v ( t ) ; то есть площадь под кривой графика ускорения от времени ( a от t ) соответствует изменению скорости. Δ v = ∫ a d t . {\displaystyle \mathbf {\Delta v} =\int \mathbf {a} \,dt.}

Аналогично, интеграл функции рывка j ( t ) , производной функции ускорения, можно использовать для нахождения изменения ускорения в определенный момент времени: $${\displaystyle \mathbf {\Delta a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

Единицы

Ускорение имеет размерность скорости (L/T), деленной на время, т. е. L T ⁻² . Единицей ускорения в системе СИ является метр на секунду в квадрате (мс ⁻² ); или «метр в секунду за секунду», поскольку скорость в метрах в секунду изменяется на величину ускорения каждую секунду.

Другие формы

Объект, движущийся по круговой траектории, например, спутник, вращающийся вокруг Земли, ускоряется из-за изменения направления движения, хотя его скорость может быть постоянной. В этом случае говорят, что он испытывает центростремительное (направленное к центру) ускорение.

Собственное ускорение , ускорение тела относительно состояния свободного падения, измеряется прибором, называемым акселерометром .

В классической механике для тела с постоянной массой (векторное) ускорение центра масс тела пропорционально вектору чистой силы (т. е. сумме всех сил), действующих на него ( второй закон Ньютона ): F = m a ⟹ a = F m , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \implies \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},} где F — чистая сила, действующая на тело, m — масса тела, a — ускорение центра масс. По мере того, как скорости приближаются к скорости света , релятивистские эффекты становятся все более значительными.

Тангенциальное и центростремительное ускорение

Колеблющийся маятник, на котором обозначены скорость и ускорение. Он испытывает как тангенциальное, так и центростремительное ускорение.

Компоненты ускорения для криволинейного движения. Тангенциальный компонент a _t обусловлен изменением скорости перемещения и указывает вдоль кривой в направлении вектора скорости (или в противоположном направлении). Нормальный компонент (также называемый центростремительным компонентом для кругового движения) a _c обусловлен изменением направления вектора скорости и является нормальным к траектории, указывая на центр кривизны пути.

Скорость частицы, движущейся по криволинейной траектории, как функцию времени можно записать как: с v ( t ) , равной скорости движения по траектории, и единичным вектором, касательным к траектории, указывающим направление движения в выбранный момент времени. Принимая во внимание как изменяющуюся скорость v ( t ), так и изменяющееся направление u _t , ускорение частицы, движущейся по криволинейной траектории, можно записать с помощью цепного правила дифференцирования ^[7] для произведения двух функций времени как: $${\displaystyle \mathbf {v} (t)=v(t){\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}=v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(t),}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} }={\frac {\mathbf {v} (t)}{v(t)}}\,,}$$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}\mathbf {a} &={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+v(t){\frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} }}{dt}}\\&={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }+{\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }\ ,\end{alignedat}}}$$

где u _n — единичный (внутренний) нормальный вектор к траектории частицы (также называемый главной нормалью ), а r — ее мгновенный радиус кривизны, основанный на соприкасающейся окружности в момент времени t . Компоненты

${\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {t} }={\frac {dv}{dt}}\mathbf {u} _{\mathrm {t} }\quad {\text{and}}\quad \mathbf {a} _{\mathrm {c} }={\frac {v^{2}}{r}}\mathbf {u} _{\mathrm {n} }}$

называются тангенциальным ускорением и нормальным или радиальным ускорением (или центростремительным ускорением при круговом движении, см. также круговое движение и центростремительная сила ) соответственно.

Геометрический анализ кривых трехмерного пространства, объясняющий касательную, (главную) нормаль и бинормаль, описывается формулами Френе–Серре . ^{[8] [9]}

Особые случаи

Равномерное ускорение

Расчет разности скоростей при равномерном ускорении

Равномерное или постоянное ускорение — это тип движения, при котором скорость объекта изменяется на одинаковую величину за каждый равный промежуток времени.

Часто цитируемый пример равномерного ускорения — это свободное падение объекта в однородном гравитационном поле. Ускорение падающего тела при отсутствии сопротивления движению зависит только от напряженности гравитационного поля g (также называемого ускорением под действием силы тяжести ). По второму закону Ньютона сила , действующая на тело, определяется по формуле: ${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$ $${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

Ввиду простых аналитических свойств случая постоянного ускорения существуют простые формулы, связывающие перемещение , начальную и зависящую от времени скорость , а также ускорение с прошедшим временем : ^[10] $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {s} (t)&=\mathbf {s} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}=\mathbf {s} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {v} (t)\right)t\\\mathbf {v} (t)&=\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf {a\cdot } [\mathbf {s} (t)-\mathbf {s} _{0}],\end{aligned}}}$$

где

• ${\displaystyle t}$это прошедшее время,
• ${\displaystyle \mathbf {s} _{0}}$— начальное смещение от начала координат,
• ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$это смещение от начала координат в момент времени , ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$начальная скорость,
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$это скорость в момент времени , и ${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$равномерная скорость ускорения.

В частности, движение можно разложить на две ортогональные части, одну с постоянной скоростью и другую согласно приведенным выше уравнениям. Как показал Галилей , конечный результат — параболическое движение, которое описывает, например, траекторию снаряда в вакууме вблизи поверхности Земли. ^[11]

Круговое движение

Кинематические векторы в плоских полярных координатах . Обратите внимание, что настройка не ограничена двумерным пространством, а может представлять собой соприкасающуюся плоскость в точке произвольной кривой в любом более высоком измерении.

При равномерном круговом движении , то есть движении с постоянной скоростью по круговой траектории, частица испытывает ускорение, вызванное изменением направления вектора скорости, при этом его величина остается постоянной. Производная положения точки на кривой по времени, т.е. ее скорость, оказывается всегда точно касательной к кривой, соответственно ортогональной радиусу в этой точке. Поскольку при равномерном движении скорость в тангенциальном направлении не меняется, ускорение должно быть направлено в радиальном направлении, указывающем на центр окружности. Это ускорение постоянно меняет направление скорости на касательное в соседней точке, тем самым вращая вектор скорости по окружности.

• Для заданной скорости величина этого геометрически обусловленного ускорения (центростремительного ускорения) обратно пропорциональна радиусу окружности и увеличивается как квадрат этой скорости: a c = v 2 r . {\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r}$
• При заданной угловой скорости центростремительное ускорение прямо пропорционально радиусу . Это связано с зависимостью скорости от радиуса . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle v=\omega r.}$$

Выражая вектор центростремительного ускорения в полярных компонентах, где - вектор из центра окружности до частицы с величиной, равной этому расстоянию, и учитывая ориентацию ускорения к центру, получаем ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$

Как обычно при вращениях, скорость частицы может быть выражена как угловая скорость относительно точки на расстоянии ω = v r . {\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r}$

Таким образом ${\displaystyle \mathbf {a_{c}} =-\omega ^{2}\mathbf {r} \,.}$

Это ускорение и масса частицы определяют необходимую центростремительную силу , направленную к центру окружности, как результирующую силу, действующую на эту частицу, чтобы удерживать ее в этом равномерном круговом движении. Так называемая « центробежная сила », кажущаяся действующей наружу на тело, является так называемой псевдосилой, испытываемой в системе отсчета тела, совершающего круговое движение, из-за линейного импульса тела , вектора, касательного к окружности движения.

При неравномерном круговом движении, т. е. когда скорость вдоль криволинейной траектории меняется, ускорение имеет ненулевую составляющую, касательную к кривой, и не ограничивается главной нормалью , которая направлена ​​к центру соприкасающейся окружности, которая определяет радиус для центростремительного ускорения. Тангенциальная составляющая задается угловым ускорением , т. е. скоростью изменения угловой скорости, умноженной на радиус . То есть, ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

Знак тангенциальной составляющей ускорения определяется знаком углового ускорения ( ), причем касательная всегда направлена ​​под прямым углом к ​​радиус-вектору. ${\displaystyle \alpha }$

Системы координат

В многомерных декартовых системах координат ускорение разбивается на компоненты, которые соответствуют каждой размерной оси системы координат. В двумерной системе, где есть ось x и ось y, соответствующие компоненты ускорения определяются как ^[12] Двумерный вектор ускорения тогда определяется как . Величина этого вектора находится по формуле расстояния как В трехмерных системах, где есть дополнительная ось z, соответствующая компонента ускорения определяется как Трехмерный вектор ускорения определяется как , а его величина определяется как $${\displaystyle a_{x}=dv_{x}/dt=d^{2}x/dt^{2},}$$ $${\displaystyle a_{y}=dv_{y}/dt=d^{2}y/dt^{2}.}$$ ${\displaystyle {\textbf {a}}=<a_{x},a_{y}>}$ $${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}.}$$ $${\displaystyle a_{z}=dv_{z}/dt=d^{2}z/dt^{2}.}$$ ${\displaystyle {\textbf {a}}=<a_{x},a_{y},a_{z}>}$ $${\displaystyle |a|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}.}$$

Отношение к относительности

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности описывает поведение объектов, движущихся относительно других объектов со скоростями, приближающимися к скорости света в вакууме. Ньютоновская механика как раз и раскрывается как приближение к реальности, справедливое с большой точностью на более низких скоростях. По мере того, как соответствующие скорости увеличиваются в сторону скорости света, ускорение больше не следует классическим уравнениям.

По мере того, как скорость приближается к скорости света, ускорение, создаваемое данной силой, уменьшается, становясь бесконечно малым по мере приближения к скорости света; объект с массой может приближаться к этой скорости асимптотически , но никогда не достичь ее.

Общая теория относительности

Если состояние движения объекта неизвестно, невозможно различить, вызвана ли наблюдаемая сила гравитацией или ускорением — гравитация и инерционное ускорение оказывают одинаковые эффекты. Альберт Эйнштейн назвал это принципом эквивалентности и сказал, что только наблюдатели, которые вообще не чувствуют никакой силы — включая силу гравитации — имеют право заключить, что они не ускоряются. ^[13]

Конверсии

Смотрите также

• Ускорение (дифференциальная геометрия)
• Четырехвекторность : установление явной связи между пространством и временем
• Гравитационное ускорение
• Инерция
• Порядки величины (ускорение)
• Удар (механика)
• Регистратор данных ударов и вибрации,
  измеряющий ускорение по 3 осям
• Космические путешествия с постоянным ускорением
• Удельная сила

Ссылки

1. Бонди, Герман (1980). Относительность и здравый смысл. Courier Dover Publications. С. 3. ISBN 978-0-486-24021-3.
2. Лерман, Роберт Л. (1998). Физика легкий путь. Образовательная серия Баррона. С. 27. ISBN 978-0-7641-0236-3.
3. Crew, Henry (2008). Принципы механики . BiblioBazaar, LLC. стр. 43. ISBN 978-0-559-36871-4.
4. P. Smith; RC Smith (1991). Механика (2-е, иллюстрированное, переизданное изд.). John Wiley & Sons. стр. 39. ISBN 978-0-471-92737-2.Выдержка из страницы 39
5. Джон Д. Катнелл; Кеннет В. Джонсон (2014). Физика, Том первый: Главы 1-17, Том 1 (1-е, иллюстрированное издание). John Wiley & Sons. стр. 36. ISBN 978-1-118-83688-0.Выдержка из страницы 36
6. Рэймонд А. Сервэй; Крис Вюй; Джерри С. Фон (2008). College Physics, том 10. Cengage. стр. 32. ISBN 9780495386933.
7. Weisstein, Eric W. "Chain Rule". Wolfram MathWorld . Wolfram Research . Получено 2 августа 2016 г. .
8. Ларри К. Эндрюс; Рональд Л. Филлипс (2003). Математические методы для инженеров и ученых. SPIE Press. стр. 164. ISBN 978-0-8194-4506-3.
9. Ч. В. Рамана Мурти; Н. К. Шринивас (2001). Прикладная математика. Нью-Дели: S. Chand & Co. стр. 337. ISBN 978-81-219-2082-7.
10. Кит Джонсон (2001). Физика для вас: пересмотренное издание национальной учебной программы для GCSE (4-е изд.). Нельсон Торнс. стр. 135. ISBN 978-0-7487-6236-1.
11. Дэвид К. Кэссиди; Джеральд Джеймс Холтон; Ф. Джеймс Резерфорд (2002). Понимание физики. Биркхойзер. стр. 146. ISBN 978-0-387-98756-9.
12. "Лекции Фейнмана по физике. Том I. Гл. 9: Законы динамики Ньютона". www.feynmanlectures.caltech.edu . Получено 04.01.2024 .
13. Грин, Брайан . Ткань космоса: пространство, время и текстура реальности . Винтаж. стр. 67. ISBN 0-375-72720-5.

Внешние ссылки

• Калькулятор ускорения Простой конвертер единиц ускорения
• Калькулятор ускорения Калькулятор преобразования ускорения преобразует единицы измерения из метра в секунду в квадрате, километра в секунду в квадрате, миллиметра в секунду в квадрате и других с помощью метрической системы.