Средний диапазон

Среднее арифметическое максимума и минимума

В статистике средний диапазон или средний экстремум — это мера центральной тенденции выборки , определяемая как среднее арифметическое максимального и минимального значений набора данных : ^[1]

${\displaystyle M={\frac {\max x+\min x}{2}}.}$

Средний диапазон тесно связан с диапазоном , мерой статистической дисперсии, определяемой как разница между максимальным и минимальным значениями. Эти две меры являются взаимодополняющими в том смысле, что если известен средний диапазон и диапазон, можно найти максимальные и минимальные значения выборки.

Средний диапазон редко используется в практическом статистическом анализе, поскольку он неэффективен в качестве оценщика для большинства интересующих распределений , поскольку игнорирует все промежуточные точки, и не обладает надежностью, поскольку выбросы значительно его изменяют. Действительно, для многих распределений это одна из наименее эффективных и наименее надежных статистик. Тем не менее, он находит некоторое применение в особых случаях: это максимально эффективный оценщик для центра равномерного распределения, усеченные средние диапазоны учитывают надежность, и как L-оценщик он прост для понимания и вычисления.

Надежность

Средний диапазон очень чувствителен к выбросам и игнорирует все, кроме двух точек данных. Поэтому это очень ненадежная статистика , имеющая точку разбивки 0, что означает, что одно наблюдение может изменить ее произвольно. Кроме того, на нее сильно влияют выбросы: увеличение максимума выборки или уменьшение минимума выборки на x изменяет средний диапазон на , в то время как это изменяет выборочное среднее, которое также имеет точку разбивки 0, только на Таким образом, он малопригоден для практической статистики, если выбросы уже не обработаны. ${\displaystyle x/2,}$ ${\displaystyle x/n.}$

Обрезанный средний диапазон известен какmidsummary –n% усеченный средний диапазон является средним значениемn% и (100−n)% процентилей и является более надежным, имеяточкуразбивкиn%. Посередине между ними находитсяmidhinge, который является 25% средним значением.Медиануможно интерпретировать как полностью усеченный (50%) средний диапазон; это соответствует соглашению, что медиана четного числа точек является средним значением двух средних точек.

Эти усеченные средние значения также представляют интерес как описательная статистика или как L-оценки центрального положения или асимметрии : разности средних значений, такие как средний угол минус медиана, дают показатели асимметрии в различных точках хвоста. ^[2]

Эффективность

Несмотря на свои недостатки, в некоторых случаях он полезен: среднечастотный диапазон является высокоэффективным оценщиком μ при наличии небольшой выборки достаточно плоскокуртового распределения, но он неэффективен для мезокуртовых распределений, таких как нормальное.

Например, для непрерывного равномерного распределения с неизвестными максимумом и минимумом, средний диапазон является оценкой равномерно минимальной дисперсии несмещенной оценки (UMVU) для среднего значения. Максимум и минимум выборки вместе с размером выборки являются достаточной статистикой для максимума и минимума совокупности — распределение других выборок, обусловленное заданным максимумом и минимумом, является просто равномерным распределением между максимумом и минимумом и, таким образом, не добавляет никакой информации. См. задачу о немецком танке для дальнейшего обсуждения. Таким образом, средний диапазон, который является несмещенной и достаточной оценкой среднего значения совокупности, на самом деле является UMVU: использование среднего выборки просто добавляет шум, основанный на неинформативном распределении точек в пределах этого диапазона.

Наоборот, для нормального распределения выборочное среднее является оценкой UMVU среднего. Таким образом, для распределений платикуртика, которые часто можно рассматривать как промежуточные между равномерным и нормальным распределениями, информативность средних точек выборки по сравнению с экстремальными значениями варьируется от «равной» для нормального до «неинформативной» для равномерного, и для различных распределений одно или другое (или их комбинация) может быть наиболее эффективным. Надежным аналогом является тримеан , который усредняет середину (25% усеченного среднего диапазона) и медиану.

Небольшие образцы

Для небольших размеров выборки ( n от 4 до 20), взятых из достаточно платикуртического распределения (отрицательный избыточный эксцесс , определяемый как γ ₂ = (μ ₄ /(μ ₂ )²) − 3), средний диапазон является эффективной оценкой среднего μ . В следующей таблице суммированы эмпирические данные, сравнивающие три оценки среднего для распределений с различным эксцессом; модифицированное среднее является усеченным средним , где максимум и минимум исключены. ^{[3] [4]}

Для n = 1 или 2 средний диапазон и среднее равны (и совпадают с медианой) и являются наиболее эффективными для всех распределений. Для n = 3 модифицированное среднее является медианой, а вместо этого среднее является наиболее эффективной мерой центральной тенденции для значений γ ₂ от 2,0 до 6,0, а также от −0,8 до 2,0.

Свойства выборки

Для выборки размера n из стандартного нормального распределения средний диапазон M является несмещенным и имеет дисперсию, определяемую следующим образом: ^[5]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{24\ln(n)}}.}$

Для выборки размера n из стандартного распределения Лапласа средний диапазон M является несмещенным и имеет дисперсию, определяемую следующим образом: ^[6]

${\displaystyle \operatorname {var} (M)={\frac {\pi ^{2}}{12}}}$

и, в частности, дисперсия не уменьшается до нуля по мере увеличения размера выборки.

Для выборки размера n из равномерного распределения с центром на нуле средний диапазон M является несмещенным, nM имеет асимптотическое распределение , которое является распределением Лапласа . ^[7]

Отклонение

В то время как среднее значение набора значений минимизирует сумму квадратов отклонений , а медиана минимизирует среднее абсолютное отклонение , середина диапазона минимизирует максимальное отклонение (определяемое как ): это решение вариационной задачи . ${\displaystyle \max \left|x_{i}-m\right|}$

Смотрите также

• Диапазон (статистика)
• Мидхинг

Ссылки

1. Додж 2003.
2. Веллеман и Хоглин 1981.
3. Винсон, Уильям Дэниел (1951). Исследование мер центральной тенденции, используемых в контроле качества (магистратура). Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Таблица (4.1), стр. 32–34.
4. Коуден, Дадли Джонстон (1957). Статистические методы в контроле качества . Prentice-Hall. С. 67–68.
5. Кендалл и Стюарт 1969, Пример 14.4.
6. Кендалл и Стюарт 1969, Пример 14.5.
7. Кендалл и Стюарт 1969, Пример 14.12.

• Додж, И. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . Oxford University Press. ISBN 0-19-920613-9.
• Кендалл, МГ; Стюарт, А. (1969). Продвинутая теория статистики, том 1. Гриффин. ISBN 0-85264-141-9.
• Velleman, PF; Hoaglin, DC (1981). Applications, Basics and Computing of Exploratory Data Analysis . Duxbury Press. ISBN 0-87150-409-X.