Стандартная карта

Сохраняющее площадь хаотическое отображение квадрата со стороной 2π на себя

Фазовое пространство стандартной карты с изменением параметра от 0 до 5,19 ( по осям y, по осям x). Обратите внимание на появление «пунктирной» зоны, признака хаотического поведения . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$

Орбиты стандартной карты для K  = 0,6.

Орбиты стандартной карты для K  = 0,971635.

Орбиты стандартной карты для K  = 1,2.

Орбиты стандартной карты для K  = 2.0. Большая зеленая область — основная хаотическая область карты.

Одна орбита стандартной карты для K = 2,0. Увеличенный крупный план с центром в , p  = 0,666, общей шириной/высотой 0,02. Обратите внимание на чрезвычайно равномерное распределение орбиты. ${\displaystyle \theta =0.282}$

Стандартное отображение (также известное как отображение Чирикова–Тейлора или стандартное отображение Чирикова ) — это сохраняющее площадь хаотическое отображение квадрата со стороной на себя. ^[1] Оно строится с помощью поверхности Пуанкаре сечения вращающегося с толчком вращателя и определяется следующим образом: ${\displaystyle 2\pi }$

${\displaystyle p_{n+1}=p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n+1}}$

где и берутся по модулю . ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Свойства хаоса стандартного отображения были установлены Борисом Чириковым в 1969 году.

Физическая модель

Эта карта описывает поверхность Пуанкаре сечения движения простой механической системы, известной как пинковый ротатор . Пинковый ротатор состоит из палки, свободной от силы тяжести, которая может вращаться без трения в плоскости вокруг оси, расположенной на одном из ее концов, и которая периодически пинается на другом конце.

Стандартная карта представляет собой поверхность сечения, нанесенную стробоскопической проекцией на переменные толчкового ротатора. ^[1] Переменные и соответственно определяют угловое положение палки и ее угловой момент после n -го толчка. Константа K измеряет интенсивность толчков толчкового ротатора. ${\displaystyle \theta _{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$

Ротор с толчками аппроксимирует системы, изучаемые в области механики частиц, физики ускорителей , физики плазмы и физики твердого тела . Например, кольцевые ускорители частиц ускоряют частицы, применяя периодические толчки, когда они циркулируют в лучевой трубке. Таким образом, структура пучка может быть аппроксимирована ротором с толчками. Однако эта карта интересна с фундаментальной точки зрения в физике и математике, поскольку она является очень простой моделью консервативной системы, которая отображает гамильтонов хаос . Поэтому полезно изучать развитие хаоса в такого рода системах.

Основные свойства

Поскольку отображение линейно, и возможны только периодические и квазипериодические орбиты . При построении в фазовом пространстве (плоскость θ– p ) периодические орбиты выглядят как замкнутые кривые, а квазипериодические орбиты — как ожерелья замкнутых кривых, центры которых лежат в другой большей замкнутой кривой. Какой тип орбиты наблюдается, зависит от начальных условий отображения. ${\displaystyle K=0}$

Нелинейность карты увеличивается с K , а вместе с ней и возможность наблюдать хаотическую динамику для соответствующих начальных условий. Это проиллюстрировано на рисунке, который показывает набор различных орбит, разрешенных стандартной карте для различных значений . Все показанные орбиты являются периодическими или квазипериодическими, за исключением зеленой, которая является хаотичной и развивается в большой области фазового пространства как, по-видимому, случайный набор точек. Особенно примечательна чрезвычайная однородность распределения в хаотической области, хотя это может быть обманчивым: даже внутри хаотических областей существует бесконечное число уменьшающихся малых островов, которые никогда не посещаются во время итерации, как показано на крупном плане. ${\displaystyle K>0}$

Круговая карта

Стандартная карта связана с картой окружности , которая имеет одно похожее итеративное уравнение:

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+\Omega -K\sin(\theta _{n})}$

по сравнению с

${\displaystyle \theta _{n+1}=\theta _{n}+p_{n}+K\sin(\theta _{n})}$

${\displaystyle p_{n+1}=\theta _{n+1}-\theta _{n}}$

для стандартной карты уравнения переупорядочены, чтобы подчеркнуть сходство. По сути, карта круга заставляет импульс быть постоянным.

Смотрите также

• Теорема Ушики

Примечания

1. Ott, Edward (2002). Хаос в динамических системах . Cambridge University Press New, York. ISBN 0-521-01084-5.

Ссылки

• Чириков, Б. В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности . Препринт № 267, Институт ядерной физики, Новосибирск (1969). [Перевод на английский язык: CERN Trans. 71 - 40, Женева, октябрь (1971).связь
• Чириков, Б.В. Универсальная неустойчивость многомерных осцилляторных систем . Phys. Rep. т.52. стр.263 (1979) Elsevier, Амстердам.
• Лихтенберг, А.Дж. и Либерман, Массачусетс (1992). Регулярная и хаотическая динамика . Шпрингер, Берлин. ISBN 978-0-387-97745-4.ссылка на Springer
• Отт, Эдвард (2002). Хаос в динамических системах . Cambridge University Press, Нью-Йорк. ISBN 0-521-01084-5.
• Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Oxford University Press. ISBN 0-19-850840-9.

Внешние ссылки

• Стандартная карта в MathWorld
• Стандартная карта Чирикова на Scholarpedia
• Сайт, посвященный Борису Чирикову
• Интерактивный Java-апплет, визуализирующий орбиты Стандартной карты, Ахим Лун
• Приложение Mac для стандартной карты, Джеймс Мейсс
• Интерактивная стандартная карта апплета Javascript на сайте experiences.math.cnrs.fr