Уравнение Стейнхарта–Харта

Модель сопротивления полупроводника

Уравнение Стейнхарта–Харта — это модель, связывающая изменяющееся электрическое сопротивление полупроводника с его изменяющимися температурами . Уравнение имеет вид

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln R+C(\ln R)^{3},}$

где

${\displaystyle T}$это температура (в кельвинах ),

${\displaystyle R}$сопротивление (в Омах), ${\displaystyle T}$

${\displaystyle A}$, и — коэффициенты Стейнхарта–Харта , которые являются характеристиками, характерными для объемного полупроводникового материала в заданном интересующем диапазоне температур. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Приложение

При использовании термисторного устройства для измерения температуры уравнение связывает измеренное сопротивление с температурой устройства, или наоборот.

Определение температуры по сопротивлению и характеристикам

Модель уравнения преобразует сопротивление, фактически измеренное в термисторе, в его теоретическую объемную температуру с более близким приближением к фактической температуре, чем более простые модели, и действительна во всем рабочем диапазоне температур датчика. Коэффициенты Стейнхарта–Харта для конкретных коммерческих устройств обычно сообщаются производителями термисторов как часть характеристик устройства.

Нахождение характеристик по измерениям сопротивления при известных температурах

Наоборот, когда три коэффициента Стейнхарта–Харта образца устройства неизвестны, их можно вывести экспериментально с помощью процедуры подгонки кривой , примененной к трем измерениям при различных известных температурах. Учитывая три наблюдения за температурой и сопротивлением, коэффициенты решаются из трех одновременных уравнений .

Обратное уравнение

Чтобы найти сопротивление полупроводника при заданной температуре, необходимо использовать обратное уравнение Стейнхарта–Харта. См. Application Note, "A, B, C Coefficients for Steinhart–Hart Equation".

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-x/2}}-{\sqrt[{3}]{y+x/2}}\right),}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({\frac {B}{3C}}\right)^{3}+{\frac {x^{2}}{4}}}}.\end{aligned}}}$

Коэффициенты Стейнхарта–Харта

Для нахождения коэффициентов Стейнхарта–Харта нам необходимо знать как минимум три рабочие точки. Для этого мы используем три значения данных сопротивления для трех известных температур.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\ln R_{1}&\ln ^{3}R_{1}\\1&\ln R_{2}&\ln ^{3}R_{2}\\1&\ln R_{3}&\ln ^{3}R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

Имея , и значения сопротивления при температурах , и , можно выразить , и (все расчеты): ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\ln R_{1},\quad L_{2}=\ln R_{2},\quad L_{3}=\ln R_{3}\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\quad Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\quad Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\quad \gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

История

Уравнение было разработано Джоном С. Стейнхартом и Стэнли Р. Хартом , которые впервые опубликовали его в 1968 году. ^[1]

Вывод и альтернативы

Наиболее общую форму уравнения можно получить путем расширения уравнения параметра B до бесконечного ряда:

${\displaystyle R=R_{0}e^{B\left({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T_{0}}}\right)}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {1}{T_{0}}}+{\frac {1}{B}}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}\ln {\frac {R}{R_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)^{n}}$

${\displaystyle R_{0}}$является опорным (стандартным) значением сопротивления. Уравнение Стейнхарта–Харта предполагает, что это 1 Ом. Подгонка кривой гораздо менее точна, когда это предполагается и используется другое значение, например 1 кОм. Однако использование полного набора коэффициентов позволяет избежать этой проблемы, поскольку это просто приводит к смещенным параметрам. ^[2] ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle a_{2}=0}$ ${\displaystyle R_{0}}$

В оригинальной статье Стейнхарт и Харт отмечают, что разрешение ухудшило соответствие. ^[1] Это удивительно, так как разрешение большей свободы обычно улучшает соответствие. Возможно, это связано с тем, что авторы подгоняли вместо , и, таким образом, ошибка в увеличилась из-за дополнительной свободы. ^[3] Последующие статьи обнаружили большую пользу в разрешении . ^[4] ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$

Уравнение было разработано путем проб и ошибок тестирования многочисленных уравнений и выбрано из-за его простой формы и хорошего соответствия. ^[1] Однако в своей первоначальной форме уравнение Стейнхарта–Харта недостаточно точно для современных научных измерений. Для интерполяции с использованием небольшого количества измерений было обнаружено, что разложение ряда с имеет точность в пределах 1 мК в калиброванном диапазоне. Некоторые авторы рекомендуют использовать . ^[4] Если имеется много точек данных, стандартная полиномиальная регрессия также может генерировать точные подгонки кривой. Некоторые производители начали предоставлять коэффициенты регрессии в качестве альтернативы коэффициентам Стейнхарта–Харта. ^[5] ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=5}$

Ссылки

1. Джон С. Стейнхарт, Стэнли Р. Харт, Калибровочные кривые для термисторов, Deep-Sea Research and Oceanographic Abstracts, том 15, выпуск 4, август 1968 г., страницы 497–503, ISSN 0011-7471, doi :10.1016/0011-7471(68)90057-0.
2. Матус, Михаэль (октябрь 2011 г.). Измерение температуры в размерной метрологии – почему уравнение Стейнхарта–Харта работает так хорошо (PDF) . MacroScale 2011. Ваберн, Швейцария.
3. Хоге, Гарольд Дж. (1 июня 1988 г.). «Полезная процедура в методе наименьших квадратов и тесты некоторых уравнений для термисторов». Review of Scientific Instruments . 59 (6): 975–979. doi :10.1063/1.1139762. ISSN  0034-6748.
4. Rudtsch, Steffen; von Rohden, Christoph (1 декабря 2015 г.). «Калибровка и самопроверка термисторов для высокоточных измерений температуры». Measurement . 76 : 1–6. doi :10.1016/j.measurement.2015.07.028. ISSN  0263-2241 . Получено 8 июля 2020 г. .
5. "Комментарии к уравнению Стейнхарта–Харта" (PDF) . Building Automation Products Inc. 11 ноября 2015 г. . Получено 8 июля 2020 г. .

Внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор коэффициента Стейнхарта-Харта
• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта Java