Уравнение Стейнхарта – Харта

Модель сопротивления полупроводника

Уравнение Стейнхарта-Харта представляет собой модель, связывающую изменяющееся электрическое сопротивление полупроводника с его меняющимися температурами . Уравнение

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=A+B\ln R+C(\ln R)^{3},}$

где

${\displaystyle T}$температура (в кельвинах ),

${\displaystyle R}$сопротивление при (в Омах), ${\displaystyle T}$

${\displaystyle A}$, , и являются коэффициентами Стейнхарта-Харта , которые являются характеристиками, специфичными для объемного полупроводникового материала в заданном интересующем диапазоне температур. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Приложение

При применении термисторного устройства для измерения температуры уравнение связывает измеренное сопротивление с температурой устройства или наоборот.

Нахождение температуры по сопротивлению и характеристикам

Модель уравнения преобразует сопротивление, фактически измеренное в термисторе, в его теоретическую объемную температуру с более близким приближением к фактической температуре, чем более простые модели, и действует во всем диапазоне рабочих температур датчика. Коэффициенты Стейнхарта-Харта для конкретных коммерческих устройств обычно указываются производителями термисторов как часть характеристик устройства.

Нахождение характеристик по измерениям сопротивления при известных температурах

И наоборот, когда три коэффициента Стейнхарта-Харта образца устройства неизвестны, их можно получить экспериментально с помощью процедуры аппроксимации кривой , примененной к трем измерениям при различных известных температурах. Учитывая три наблюдения за температурным сопротивлением, коэффициенты решаются из трех одновременных уравнений .

Обратное уравнение

Чтобы найти сопротивление полупроводника при заданной температуре, необходимо использовать обратное уравнение Стейнхарта – Харта. См. указания по применению «Коэффициенты A, B, C для уравнения Стейнхарта – Харта».

${\displaystyle R=\exp \left({\sqrt[{3}]{y-x/2}}-{\sqrt[{3}]{y+x/2}}\right),}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{C}}\left(A-{\frac {1}{T}}\right),\\y&={\sqrt {\left({\frac {B}{3C}}\right)^{3}+{\frac {x^{2}}{4}}}}.\end{aligned}}}$

Коэффициенты Стейнхарта – Харта

Чтобы найти коэффициенты Стейнхарта–Харта, нам нужно знать как минимум три рабочие точки. Для этого мы используем три значения данных сопротивления для трех известных температур.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\ln R_{1}&\ln ^{3}R_{1}\\1&\ln R_{2}&\ln ^{3}R_{2}\\1&\ln R_{3}&\ln ^{3}R_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{T_{1}}}\\{\frac {1}{T_{2}}}\\{\frac {1}{T_{3}}}\end{bmatrix}}}$

При , и значениях сопротивления при температурах , и , можно выразить , и (все расчеты): ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{3}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=\ln R_{1},\quad L_{2}=\ln R_{2},\quad L_{3}=\ln R_{3}\\Y_{1}&={\frac {1}{T_{1}}},\quad Y_{2}={\frac {1}{T_{2}}},\quad Y_{3}={\frac {1}{T_{3}}}\\\gamma _{2}&={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{L_{2}-L_{1}}},\quad \gamma _{3}={\frac {Y_{3}-Y_{1}}{L_{3}-L_{1}}}\\\Rightarrow C&=\left({\frac {\gamma _{3}-\gamma _{2}}{L_{3}-L_{2}}}\right)\left(L_{1}+L_{2}+L_{3}\right)^{-1}\\\Rightarrow B&=\gamma _{2}-C\left(L_{1}^{2}+L_{1}L_{2}+L_{2}^{2}\right)\\\Rightarrow A&=Y_{1}-\left(B+L_{1}^{2}C\right)L_{1}\end{aligned}}}$

История

Уравнение было разработано Джоном С. Стейнхартом и Стэнли Р. Хартом , которые впервые опубликовали его в 1968 году. ^[1]

Вывод и альтернативы

Наиболее общую форму уравнения можно получить путем расширения уравнения параметра B до бесконечного ряда:

${\displaystyle R=R_{0}e^{B\left({\frac {1}{T}}-{\frac {1}{T_{0}}}\right)}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}={\frac {1}{T_{0}}}+{\frac {1}{B}}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)=a_{0}+a_{1}\ln {\frac {R}{R_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T}}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(\ln {\frac {R}{R_{0}}}\right)^{n}}$

${\displaystyle R_{0}}$— эталонное (стандартное) значение сопротивления. Уравнение Стейнхарта-Харта предполагает, что сопротивление составляет 1 Ом. Подбор кривой оказывается гораздо менее точным, если предполагается, что используется другое значение, например 1 кОм. Однако использование полного набора коэффициентов позволяет избежать этой проблемы, поскольку это просто приводит к сдвигу параметров. ^[2] ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle a_{2}=0}$ ${\displaystyle R_{0}}$

В оригинальной статье Стейнхарт и Харт отмечают, что разрешение ухудшило соответствие. ^[1] Это удивительно, поскольку предоставление большей свободы обычно улучшает посадку. Возможно, это связано с тем, что авторы подогнали вместо , и, таким образом, ошибка увеличилась из-за дополнительной свободы. ^[3] Последующие статьи обнаружили большую пользу в разрешении . ^[4] ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle 1/T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a_{2}\neq 0}$

Уравнение было разработано методом проб и ошибок множества уравнений и выбрано из-за его простой формы и хорошего соответствия. ^[1] Однако в своей первоначальной форме уравнение Стейнхарта-Харта недостаточно точно для современных научных измерений. Было обнаружено, что при интерполяции с использованием небольшого количества измерений точность разложения в ряд составляет не более 1 мК в калиброванном диапазоне. Некоторые авторы рекомендуют использовать . ^[4] Если имеется много точек данных, стандартная полиномиальная регрессия также может обеспечить точную аппроксимацию кривой. Некоторые производители начали предоставлять коэффициенты регрессии в качестве альтернативы коэффициентам Стейнхарта – Харта. ^[5] ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle n=5}$

Рекомендации

1. Джон С. Стейнхарт, Стэнли Р. Харт, Калибровочные кривые для термисторов, Резюме глубоководных исследований и океанографии, том 15, выпуск 4, август 1968 г., страницы 497–503, ISSN 0011-7471, doi : 10.1016/0011- 7471(68)90057-0.
2. Матус, Майкл (октябрь 2011 г.). Измерение температуры в размерной метрологии - почему уравнение Стейнхарта-Харта работает так хорошо (PDF) . MacroScale 2011. Ваберн, Швейцария.
3. Хоге, Гарольд Дж. (1 июня 1988 г.). «Полезная процедура метода наименьших квадратов и проверка некоторых уравнений для термисторов». Обзор научных инструментов . 59 (6): 975–979. дои : 10.1063/1.1139762. ISSN  0034-6748.
4. Рудч, Штеффен; фон Роден, Кристоф (1 декабря 2015 г.). «Калибровка и самопроверка термисторов для высокоточных измерений температуры». Измерение . 76 : 1–6. doi :10.1016/j.measurement.2015.07.028. ISSN  0263-2241 . Проверено 8 июля 2020 г.
5. «Комментарии к уравнению Стейнхарта-Харта» (PDF) . Building Automation Products Inc., 11 ноября 2015 г. Проверено 8 июля 2020 г.

Внешние ссылки

• Онлайн-калькулятор коэффициента Стейнхарта-Харта
• Калькулятор коэффициентов Стейнхарта-Харта Java