Стохастический коэффициент дисконтирования

Понятие стохастического коэффициента дисконтирования (SDF) используется в финансовой экономике и математических финансах . Название происходит от цены актива, которую можно вычислить путем «дисконтирования» будущего денежного потока с помощью стохастического фактора и затем принятия ожиданий. ^[1] Это определение имеет фундаментальное значение в ценообразовании активов . ${\displaystyle {\tilde {x}}_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

Если имеется n активов с начальными ценами в начале периода и выплатами в конце периода (все x — случайные (стохастические) переменные ), то SDF — это любая случайная величина, удовлетворяющая ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{for }}i=1,\ldots ,n.}$

Стохастический коэффициент дисконтирования иногда называют ядром ценообразования , поскольку, если математическое ожидание записано в виде интеграла, его можно интерпретировать как функцию ядра в интегральном преобразовании . ^[2] Другие названия, иногда используемые для SDF, - это « предельная норма замещения » (отношение полезностей состояний , когда полезность является разделимой и аддитивной, хотя и дисконтируется нейтральной к риску ставкой), «изменение меры», « дефлятор государственных цен » или « плотность государственных цен ». ^[2] ${\displaystyle E({\tilde {m}}\,{\tilde {x}}_{i})}$ ${\displaystyle {\tilde {m}}}$

Характеристики

Существование ФСР эквивалентно закону одной цены ; ^[1] Аналогично, существование строго положительного SDF эквивалентно отсутствию арбитражных возможностей (см. Фундаментальную теорему ценообразования активов ). В этом случае, если оно положительное, используя для обозначения возврата, мы можем переписать определение как ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}}$

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,}$

и это подразумевает

${\displaystyle E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.}$

Кроме того, если имеется портфель , состоящий из активов, то SDF удовлетворяет

${\displaystyle E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.}$

Используя простое стандартное тождество о ковариациях , мы имеем

${\displaystyle 1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).}$

Предположим, существует безрисковый актив. Тогда подразумевается . Подстановка этого значения в последнее выражение и перестановка дают следующую формулу для премии за риск любого актива или портфеля с доходностью : ${\displaystyle {\tilde {R}}=R_{f}}$ ${\displaystyle E({\tilde {m}})=1/R_{f}}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}}$

${\displaystyle E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).}$

Это показывает, что премии за риск определяются ковариациями с любым SDF. ^[1]

Смотрите также

Дорога Хансен – Джаганнатан

Рекомендации

1. Керри Э. Бэк (2010). Теория ценообразования активов и выбора портфеля . Издательство Оксфордского университета.
2. Кокрейн, Джон Х. (2001). Оценка активов . Издательство Принстонского университета. п. 9.