Строительство Витхоффа

В геометрии - метод построения однородного многогранника или плоской мозаики.

Витоффовы конструкции из трех зеркал, образующих прямоугольный треугольник.

В геометрии конструкция Витгофа , названная в честь математика Виллема Абрахама Витгофа , представляет собой метод построения однородного многогранника или плоской мозаики . Ее часто называют калейдоскопической конструкцией Витхоффа.

Процесс строительства

Метод основан на идее замощения сферы сферическими треугольниками – см. Треугольники Шварца . Эта конструкция располагает три зеркала по сторонам треугольника, как в калейдоскопе . Однако, в отличие от калейдоскопа, зеркала не параллельны, а пересекаются в одной точке. Таким образом, они заключают сферический треугольник на поверхности любой сферы с центром в этой точке, и повторяющиеся отражения создают множество копий треугольника. Если углы сферического треугольника выбраны правильно, треугольники покроют сферу плиткой один или несколько раз.

Если поместить вершину в подходящую точку внутри сферического треугольника, окруженного зеркалами, можно гарантировать, что отражения от этой точки образуют однородный многогранник. Для сферического треугольника ABC у нас есть четыре возможности создать однородный многогранник:

1. Вершина помещена в точку А. В результате получается многогранник с символом Витхоффа a | b  c , где a равно π, разделенному на угол треугольника в точке A , и аналогично для b и c .
2. Вершина расположена в точке на прямой AB так, что она делит угол C пополам . В результате получается многогранник с символом Витхоффа a  b | в .
3. Вершина размещается так, чтобы она находилась в центре ABC . В результате получается многогранник с символом Витхоффа a b c |.  
4. Вершина находится в такой точке, что при повороте ее вокруг любого из углов треугольника на двойной угол в этой точке она смещается на одинаковое расстояние для каждого угла. Используются только четные отражения исходной вершины. Многогранник имеет символ Витгофа | а  б  в .

Этот процесс в целом также применим для правильных многогранников более высокой размерности , включая 4-мерные однородные 4-многогранники .

Невитоффовы конструкции

Однородные многогранники , которые не могут быть созданы с помощью зеркальной конструкции Витгофа, называются невитоффовыми. Обычно их можно получить из форм Витоффа либо путем чередования (удаления альтернативных вершин), либо путем вставки чередующихся слоев частичных фигур. Оба этих типа фигур будут содержать вращательную симметрию. Иногда курносые формы считают витоффовыми, хотя они могут быть построены только путем чередования всеусеченных форм.

Смотрите также

• Символ Витгофа — обозначение конструкции Витгофа из однородных многогранников и однородных мозаик .
• Диаграмма Кокстера – Дынкина - обобщенный символ конструкции Витгофа однородных многогранников и сот.

Рекомендации

• Правильные многогранники Кокстера , третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
• Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников) 
• Хар'Эл, З. Единообразное решение для однородных многогранников. , Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [1] (Раздел 4: Калейдоскоп)
• В. А. Витхофф , Связь между многогранниками семейства C600 , Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the Sciences, 20 (1918) 966–970.

Внешние ссылки

• Апплет Грега Игана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Витхоффа.
• Рендеринг метода строительства Витхоффа в Shadertoy.
• Дженн, программное обеспечение, которое генерирует виды (сферических) многогранников и многохор на основе групп симметрии.