Субриманово многообразие

Тип обобщения риманова многообразия

В математике субриманово многообразие — это определенный тип обобщения риманова многообразия . Грубо говоря, для измерения расстояний в субримановом многообразии разрешено двигаться только по кривым, касающимся так называемых горизонтальных подпространств .

Субримановы многообразия (и, тем более , римановы многообразия) несут естественную внутреннюю метрику , называемую метрикой Карно – Каратеодори . Хаусдорфова размерность таких метрических пространств всегда является целым числом и больше, чем их топологическая размерность (если только это на самом деле не риманово многообразие).

Субримановы многообразия часто встречаются при изучении систем со связями в классической механике , таких как движение транспортных средств по поверхности, движение манипуляторов роботов и орбитальная динамика спутников. Геометрические величины, такие как фаза Берри , можно понимать на языке субримановой геометрии. Группа Гейзенберга , важная для квантовой механики , имеет естественную субриманову структуру.

Определения

Под распределением на мы понимаем подрасслоение касательного расслоения к (см. также распределение ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Учитывая распределение, векторное поле в называется горизонтальным . Кривая на называется горизонтальной, если для любого . ${\displaystyle H(M)\subset T(M)}$ ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)\in H_{\gamma (t)}(M)}$ ${\displaystyle t}$

Распределение на называется вполне неинтегрируемым или скобочно-порождающим, если для любого имеем, что любой касательный вектор можно представить в виде линейной комбинации скобок Ли горизонтальных полей, т. е. векторов вида ${\displaystyle H(M)}$ ${\displaystyle x\in M}$

$${\displaystyle A(x),\ [A,B](x),\ [A,[B,C]](x),\ [A,[B,[C,D]]](x),\dotsc \in T_{x}(M)}$$

условие Хёрмандера ${\displaystyle A,B,C,D,\dots }$

Субримановым многообразием называется тройка , где – дифференцируемое многообразие , – вполне неинтегрируемое «горизонтальное» распределение и представляет собой гладкое сечение положительно определенных квадратичных форм на . ${\displaystyle (M,H,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$

Любое (связное) субриманово многообразие несет естественную внутреннюю метрику , называемую метрикой Карно-Каратеодори, определяемую как

${\displaystyle d(x,y)=\inf \int _{0}^{1}{\sqrt {g({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt,}$

где нижняя грань берется вдоль всех горизонтальных кривых таких, что , . Горизонтальные кривые могут быть взяты либо липшицевыми , абсолютно непрерывными , либо в пространстве Соболева , дающими во всех случаях одну и ту же метрику. ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle H^{1}([0,1],M)}$

Тот факт, что расстояние между двумя точками всегда конечно (т.е. любые две точки соединены горизонтальной кривой), является следствием условия Хёрмандера, известного как теорема Чоу – Рашевского .

Примеры

Положение автомобиля на плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами и углом , описывающим ориентацию автомобиля. Следовательно, положение автомобиля можно описать точкой многообразия. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Можно спросить, какое минимальное расстояние нужно проехать, чтобы добраться из одной позиции в другую? Это определяет метрику Карно–Каратеодори на многообразии

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times S^{1}.}$

Близкий пример субримановой метрики можно построить на группе Гейзенберга : возьмите два элемента и в соответствующей алгебре Ли такие, что ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \{\alpha ,\beta ,[\alpha ,\beta ]\}}$

охватывает всю алгебру. Горизонтальное распределение, охватываемое сдвигами влево и, совершенно неинтегрируемо . Тогда выбор любой гладкой положительной квадратичной формы на группе дает субриманову метрику. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H}$

Характеристики

Для каждого субриманова многообразия существует гамильтониан , называемый субримановым гамильтонианом , построенный на основе метрики многообразия. Обратно, каждый такой квадратичный гамильтониан индуцирует субриманово многообразие.

Решения соответствующих уравнений Гамильтона – Якоби для субриманова гамильтониана называются геодезическими и обобщают римановы геодезические .

Смотрите также

• Группа Карно — класс групп Ли , образующих субримановы многообразия.
• Распределение
• Состояние Хёрмандера
• Оптимальное управление

Рекомендации

• Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак, ред. (1996), Субриманова геометрия, Progress in Mathematics, vol. 144, Биркхойзер Верлаг, ISBN 978-3-7643-5476-3, МР  1421821
• Громов, Михаил (1996), «Пространства Карно-Каратеодори, видимые изнутри», в Беллаиш, Андре; Рислер, Жан-Жак (ред.), Субриманова геометрия (PDF) , Progr. Матем., вып. 144, Базель, Бостон, Берлин: Биркхойзер, стр. 79–323, ISBN. 3-7643-5476-3, MR  1421823, заархивировано из оригинала (PDF) 9 июля 2015 г.
• Ле Донн, Энрико, Конспекты лекций по субримановой геометрии (PDF)
• Монтгомери, Ричард (2002), Экскурсия по субримановой геометрии, их геодезии и приложениям , Математические обзоры и монографии, том. 91, Американское математическое общество, ISBN. 0-8218-1391-9