Субэкспоненциальное распределение (с легким хвостом)

В теории вероятностей одно из определений субэкспоненциального распределения — это распределение вероятностей , хвосты которого затухают с экспоненциальной скоростью или быстрее: вещественное распределение называется субэкспоненциальным, если для случайной величины ${\cal {D}}$ $X\sim {\cal {D}}$

{\mathbb {P}}(|X|\geq x)=O(e^{-Kx})

, для больших и некоторой постоянной .

x

K>0

Субэкспоненциальная норма случайной величины определяется как $\|\cdot \|_{\psi _{1}}$

\|X\|_{\psi _{1}}:=\inf \ \{K>0\mid {\mathbb {E}}(e^{|X|/K})\leq 2\},

где инфимум принимается равным, если такового не существует.

+\infty

K

Это пример нормы Орлича . Эквивалентное условие для того, чтобы распределение было субэкспоненциальным, заключается в следующем ^[1]^{: §2.7} ${\cal {D}}$ $\|X\|_{\psi _{1}}<\infty .$

Субэкспоненциальность также может быть выражена следующими эквивалентными способами: ^[1]^{: §2.7}

${\mathbb {P}}(|X|\geq x)\leq 2e^{-Kx},$ для всех и некоторой константы . $x\geq 0$ $K>0$
${\mathbb {E}}(|X|^{p})^{1/p}\leq Kp,$ для всех и некоторой константы . $p\geq 1$ $K>0$
Для некоторой константы , для всех . $K>0$ ${\mathbb {E}}(e^{\lambda |X|})\leq e^{K\lambda }$ $0\leq \lambda \leq 1/K$
${\mathbb {E}}(X)$ существует и для некоторой константы , для всех . $K>0$ ${\mathbb {E}}(e^{\lambda (X-{\mathbb {E}}(X))})\leq e^{K^{2}\lambda ^{2}}$ $-1/K\leq \lambda \leq 1/K$
${\sqrt {|X|}}$ является субгауссовым .

Ссылки

^ ab Высокоразмерная вероятность: введение с приложениями в науке о данных, Роман Вершинин, Калифорнийский университет в Ирвайне, 9 июня 2020 г.

Многомерная статистика: неасимптотическая точка зрения , Мартин Дж. Уэйнрайт, Cambridge University Press, 2019, ISBN 9781108498029 .