В математике проблема Суслина — это вопрос о полностью упорядоченных множествах, поставленный Михаилом Яковлевичем Суслиным (1920) и опубликованный посмертно. Было показано, что она не зависит от стандартной аксиоматической системы теории множеств , известной как ZFC ; Соловей и Тенненбаум (1971) показали, что это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть на основе этих аксиом, если предположить, что ZF непротиворечив.
(Суслин также иногда пишется с французской транслитерацией как Суслин , от кириллицы Суслин .)
Un ансамбль ordonné (lineairement) без пробелов и пробелов и tel que весь ансамбль de ses Intervals (contenant plus qu'un élément) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus dénumerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire) ?
Является ли (линейно) упорядоченным набором без скачков и пробелов и таким, что каждый набор его интервалов (содержащий более одного элемента), не перекрывающихся друг с другом, является не более чем счетным, обязательно (обычным) линейным континуумом?
Оригинальная постановка проблемы Суслина из (Суслин, 1920).
Проблема Суслина спрашивает: дано непустое полностью упорядоченное множество R с четырьмя свойствами
обязательно ли R по порядку изоморфен вещественной прямой R ?
Если требование условия счетной цепи заменить требованием того, чтобы R содержал счетное плотное подмножество (т. е. R является сепарабельным пространством ), то ответ действительно будет положительным: любое такое множество R обязательно по порядку изоморфно R (доказано по Кантору ).
Условие топологического пространства , согласно которому каждая совокупность непустых непересекающихся открытых множеств не более чем счетна, называется свойством Суслина .
Любое полностью упорядоченное множество, не изоморфное R , но удовлетворяющее свойствам 1–4, называется линией Суслина . Гипотеза Суслина утверждает, что линий Суслина не существует: что каждый плотный полный линейный порядок со счетными цепями без концов изоморфен реальной линии. Эквивалентное утверждение состоит в том, что каждое дерево высоты ω 1 имеет либо ветвь длины ω 1 , либо антицепь мощности .
Обобщенная гипотеза Суслина гласит, что для любого бесконечного регулярного кардинала κ каждое дерево высоты κ имеет либо ветвь длины κ, либо антицепь мощности κ. Существование линий Суслина эквивалентно существованию деревьев Суслина и алгебр Суслина .
Гипотеза Суслина не зависит от ZFC. Джех (1967) и Тенненбаум (1968) независимо использовали методы воздействия для построения моделей ZFC, в которых существуют линии Суслина. Позже Йенсен доказал, что линии Суслина существуют, если предполагается принцип ромба , следствие аксиомы конструктивности V = L. (Результат Дженсена был неожиданным, поскольку ранее предполагалось, что V = L подразумевает отсутствие линий Суслина на том основании, что V = L подразумевает, что существует «немного» множеств.) С другой стороны, Соловей и Тенненбаум ( 1971) использовал принуждение для построения модели ZFC без линий Суслина; точнее, они показали, что аксиома Мартина плюс отрицание гипотезы континуума влечет за собой гипотезу Суслина.
Гипотеза Суслина также независима как от обобщенной гипотезы континуума (доказанной Рональдом Дженсеном ), так и от отрицания гипотезы континуума . Неизвестно, согласуется ли обобщенная гипотеза Суслина с обобщенной гипотезой континуума; однако, поскольку эта комбинация подразумевает отрицание принципа квадратов для особого сильного предельного кардинала — фактически, для всех сингулярных кардиналов и всех регулярных кардиналов-последователей — из этого следует, что аксиома детерминированности выполняется в L(R) и считается, что это влечет за собой существование внутренней модели со сверхсильным кардиналом .
