Сферический маятник

Сферический маятник: углы и скорости.

В физике сферический маятник — это более многомерный аналог маятника . Он состоит из массы m, движущейся без трения по поверхности сферы . Единственными силами, действующими на массу, являются реакция сферы и гравитация .

Ввиду сферической геометрии задачи для описания положения массы используются сферические координаты в терминах , где r фиксировано таким образом, что . ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle r=l}$

Лагранжева механика

Обычно для записи кинетической и потенциальной частей лагранжиана в произвольных обобщенных координатах положение массы выражается вдоль декартовых осей. Здесь, следуя соглашениям, показанным на схеме, ${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle x=l\sin \theta \cos \phi }$

${\displaystyle y=l\sin \theta \sin \phi }$

${\displaystyle z=l(1-\cos \theta )}$.

Далее берутся производные по времени от этих координат, чтобы получить скорости вдоль осей

${\displaystyle {\dot {x}}=l\cos \theta \cos \phi \,{\dot {\theta }}-l\sin \theta \sin \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {y}}=l\cos \theta \sin \phi \,{\dot {\theta }}+l\sin \theta \cos \phi \,{\dot {\phi }}}$

${\displaystyle {\dot {z}}=l\sin \theta \,{\dot {\theta }}}$.

Таким образом,

${\displaystyle v^{2}={\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

и

${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}mv^{2}={\tfrac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\phi }}^{2}\right)}$

${\displaystyle V=mg\,z=mg\,l(1-\cos \theta )}$

Лагранжиан, за исключением постоянных частей, имеет вид ^[1]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

Уравнение Эйлера –Лагранжа с полярным углом ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\theta }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \theta }}L=0}$

дает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}{\dot {\theta }}\right)-ml^{2}\sin \theta \cdot \cos \theta \,{\dot {\phi }}^{2}+mgl\sin \theta =0}$

и

${\displaystyle {\ddot {\theta }}=\sin \theta \cos \theta {\dot {\phi }}^{2}-{\frac {g}{l}}\sin \theta }$

Когда уравнение сводится к дифференциальному уравнению движения простого гравитационного маятника . ${\displaystyle {\dot {\phi }}=0}$

Аналогично, уравнение Эйлера–Лагранжа, включающее азимут , ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\phi }}}}L-{\frac {\partial }{\partial \phi }}L=0}$

дает

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(ml^{2}\sin ^{2}\theta \cdot {\dot {\phi }}\right)=0}$.

Последнее уравнение показывает, что угловой момент вокруг вертикальной оси сохраняется. Фактор будет играть роль в гамильтоновой формулировке ниже. ${\displaystyle |\mathbf {L} _{z}|=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle ml^{2}\sin ^{2}\theta }$

Дифференциальное уравнение второго порядка, определяющее эволюцию, таким образом, имеет вид ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\ddot {\phi }}\,\sin \theta =-2\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\phi }}\,\cos \theta }$.

Азимут , отсутствующий в лагранжиане, является циклической координатой , что подразумевает, что его сопряженный импульс является константой движения . ${\displaystyle \phi }$

Конический маятник относится к частным решениям, где и — постоянная, не зависящая от времени. ${\displaystyle {\dot {\theta }}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\phi }}}$

Гамильтонова механика

Гамильтониан — это

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

где сопряженные импульсы

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}\cdot {\dot {\theta }}}$

и

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \cdot {\dot {\phi }}}$.

В терминах координат и импульсов это выглядит так:

$${\displaystyle H=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$$

Уравнения Гамильтона дадут временную эволюцию координат и импульсов в четырех дифференциальных уравнениях первого порядка.

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$

Импульс – константа движения. Это следствие вращательной симметрии системы вокруг вертикальной оси. ^{[ сомнительно – обсудить ]} ${\displaystyle P_{\phi }}$

Траектория

Траектория сферического маятника.

Траекторию движения массы на сфере можно получить из выражения для полной энергии

${\displaystyle E=\underbrace {\left[{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\phi }}^{2}\right]} _{T}+\underbrace {{\bigg [}-mgl\cos \theta {\bigg ]}} _{V}}$

отметив, что горизонтальная составляющая момента импульса является константой движения, не зависящей от времени. ^[1] Это верно, поскольку ни гравитация, ни реакция со стороны сферы не действуют в направлениях, которые могли бы повлиять на эту составляющую момента импульса. ${\displaystyle L_{z}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}}$

Следовательно

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$

${\displaystyle \left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}={\frac {2}{ml^{2}}}\left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]}$

что приводит к эллиптическому интегралу первого рода ^[1] для ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle t(\theta )={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}ml^{2}}}\int \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$

и эллиптический интеграл третьего рода для ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\theta )={\frac {L_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int \sin ^{-2}\theta \left[E-{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta \right]^{-{\frac {1}{2}}}\,d\theta }$.

Угол лежит между двумя кругами широты, ^[1] где ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle E>{\frac {1}{2}}{\frac {L_{z}^{2}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}-mgl\cos \theta }$.

Смотрите также

• маятник Фуко
• Конический маятник
• Три закона движения Ньютона
• Маятник
• Маятник (математика)
• Рутианские механики

Ссылки

1. Ландау, Лев Давидович; Евгений Михайлович Лифшиц (1976). Курс теоретической физики: Том 1 Механика . Butterworth-Heinenann. С. 33–34. ISBN 0750628960.

Дальнейшее чтение

• Вайнштейн, Александр (1942). «Сферический маятник и комплексное интегрирование». The American Mathematical Monthly . 49 (8): 521–523. doi :10.1080/00029890.1942.11991275.
• Кон, Уолтер (1946). «Контурное интегрирование в теории сферического маятника и тяжелого симметричного волчка». Труды Американского математического общества . 59 (1): 107–131. doi : 10.2307/1990314 . JSTOR  1990314.
• Олссон, МГ (1981). «Сферический маятник снова». Американский журнал физики . 49 (6): 531–534. Bibcode : 1981AmJPh..49..531O. doi : 10.1119/1.12666.
• Хорозов, Эмиль (1993). «Об изоэнергетической невырожденности сферического маятника». Physics Letters A. 173 ( 3): 279–283. Bibcode : 1993PhLA..173..279H. doi : 10.1016/0375-9601(93)90279-9.
• Рихтер, Питер Х.; Дуллин, Хольгер Р.; Ваалкенс, Хольгер; Вирсиг, Ян (1996). «Сферический маятник, действия и вращение». Дж. Физ. Хим . 100 (49): 19124–19135. дои : 10.1021/jp9617128. S2CID  18023607.
• Ширяев, АС; Людвигсен, Х.; Эгеланд, О. (2004). «Раскачивание сферического маятника посредством стабилизации его первых интегралов». Automatica . 40 : 73–85. doi :10.1016/j.automatica.2003.07.009.
• Эссен, Ханно; Апазидис, Николас (2009). «Поворотные точки сферического маятника и золотое сечение». European Journal of Physics . 30 (2): 427–432. Bibcode : 2009EJPh...30..427E. doi : 10.1088/0143-0807/30/2/021. S2CID  121216295.
• Dullin, Holger R. (2013). «Полуглобальные симплектические инварианты сферического маятника». Журнал дифференциальных уравнений . 254 (7): 2942–2963. arXiv : 1108.4962 . Bibcode :2013JDE...254.2942D. doi : 10.1016/j.jde.2013.01.018 .