Счастливое число

Числа с определенным свойством, включающим рекурсивное суммирование

Дерево, на котором показаны все счастливые числа до 100, где 130 встречается вместе с 13 и 31.

В теории чисел счастливое число — это число, которое в конечном итоге достигает 1 при замене суммой квадратов каждой цифры. Например, 13 — счастливое число, потому что , и . С другой стороны, 4 — не счастливое число, потому что последовательность, начинающаяся с и , в конечном итоге достигает , числа, с которого началась последовательность, и поэтому процесс продолжается в бесконечном цикле, так и не достигая 1. Число, которое не является счастливым, называется грустным или несчастным . ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}=10}$ ${\displaystyle 1^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 4^{2}=16}$ ${\displaystyle 1^{2}+6^{2}=37}$ ${\displaystyle 2^{2}+0^{2}=4}$

В более общем смысле, счастливое число — это натуральное число в заданной системе счисления , которое в конечном итоге достигает 1 при итерации по идеальной цифровой инвариантной функции для . ^[1] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p=2}$

Происхождение счастливых чисел неясно. Счастливые числа были представлены вниманию Рега Алленби (британского автора и старшего преподавателя чистой математики в Университете Лидса ) его дочерью, которая узнала о них в школе. Однако они «могли возникнуть в России» (Guy 2004:§E34).

Счастливые числа и идеальные цифровые инварианты

Формально, пусть будет натуральным числом. Дана совершенная цифровая инвариантная функция ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }{\left({\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}\right)}^{p}}$.

для базы число является -счастливым, если существует такое, что , где представляет -ю итерацию , и -несчастным в противном случае. Если число является нетривиальным совершенным цифровым инвариантом , то оно является -несчастным. ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F_{2,b}^{j}(n)=1}$ ${\displaystyle F_{2,b}^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle b}$

Например, 19 — это 10-счастливое число, т.к.

${\displaystyle F_{2,10}(19)=1^{2}+9^{2}=82}$

${\displaystyle F_{2,10}^{2}(19)=F_{2,10}(82)=8^{2}+2^{2}=68}$

${\displaystyle F_{2,10}^{3}(19)=F_{2,10}(68)=6^{2}+8^{2}=100}$

${\displaystyle F_{2,10}^{4}(19)=F_{2,10}(100)=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1}$

Например, 347 — это число 6-happy, т.к.

${\displaystyle F_{2,6}(347)=F_{2,6}(1335_{6})=1^{2}+3^{2}+3^{2}+5^{2}=44}$

${\displaystyle F_{2,6}^{2}(347)=F_{2,6}(44)=F_{2,6}(112_{6})=1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

${\displaystyle F_{2,6}^{3}(347)=F_{2,6}(6)=F_{2,6}(10_{6})=1^{2}+0^{2}=1}$

Существует бесконечно много -счастливых чисел, так как 1 является -счастливым числом, и для каждого , ( в базе ) является -счастливым, так как его сумма равна 1. Счастье числа сохраняется путем удаления или вставки нулей по желанию, так как они не вносят вклад в перекрестную сумму. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Естественная плотностьб-счастливые числа

При рассмотрении первого миллиона или около того 10-счастливых чисел, оказывается, что они имеют естественную плотность около 0,15. Возможно, удивительно, что 10-счастливые числа не имеют асимптотической плотности. Верхняя плотность счастливых чисел больше 0,18577, а нижняя плотность меньше 0,1138. ^[2]

Счастливые базы

Нерешенная задача по математике :

Являются ли счастливыми только базы 2 и 4 ?

(еще нерешенные проблемы по математике)

Счастливое основание — это числовое основание , где каждое число является -счастливым. Единственные счастливые целые основания меньше ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$5 × 10 ⁸ имеют основание 2 и основание 4. [ ^3]

Специфическийб-счастливые числа

4-счастливые числа

Для единственный положительный совершенный цифровой инвариант для — это тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, и других циклов нет. Поскольку все числа являются предпериодическими точками для , все числа ведут к 1 и являются счастливыми. В результате основание 4 является счастливым основанием. ${\displaystyle b=4}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

6-счастливые числа

Для единственным положительным совершенным цифровым инвариантом для является тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, а единственным циклом является восьмизначный цикл ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

и поскольку все числа являются предпериодическими точками для , все числа либо ведут к 1 и являются счастливыми, либо ведут к циклу и являются несчастными. Поскольку основание 6 не имеет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, никакое положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов своих собственных цифр. ${\displaystyle F_{2,b}}$

В десятичной системе счисления 74 счастливых числа с числом 6 до 1296 = 6 ⁴ (записаны в десятичной системе счисления):

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 0, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 12 77, 1292, 1295

10-счастливые числа

Для единственным положительным совершенным цифровым инвариантом для является тривиальный совершенный цифровой инвариант 1, а единственным циклом является восьмизначный цикл ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

и поскольку все числа являются предпериодическими точками для , все числа либо приводят к 1 и являются счастливыми, либо ведут к циклу и являются несчастными. Поскольку основание 10 не имеет других совершенных цифровых инвариантов, кроме 1, никакое положительное целое число, кроме 1, не является суммой квадратов своих собственных цифр. ${\displaystyle F_{2,b}}$

В десятичной системе счисления 143 счастливых числа до 1000 следующие:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 0, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 6, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (последовательность A007770 в OEIS ).

Отдельные комбинации цифр, которые образуют десятичные счастливые числа ниже 1000, следующие (остальные представляют собой просто перестановки и/или вставки нулевых цифр):

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (последовательность A124095 в OEIS ).

Первая пара последовательных 10-счастливых чисел — 31 и 32. ^[4] Первый набор из трех последовательных чисел — 1880, 1881 и 1882. ^[5] Было доказано, что существуют последовательности последовательных счастливых чисел любой натуральной длины. ^[6] Начало первой серии из по крайней мере n последовательных 10-счастливых чисел для n  = 1, 2, 3, ... — это ^[7]

1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 78999999999999959999999996, ...

Как выразился Роберт Стайер в своей статье, посвященной расчету этой серии: «Удивительно, но то же самое значение N, с которого начинается наименьшая последовательность из шести последовательных счастливых чисел, также начинает наименьшую последовательность из семи последовательных счастливых чисел». ^[8]

Число 10-счастливых чисел до 10 ⁿ для 1 ≤  n  ≤ 20 равно ^[9]

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770 853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

Счастливые простые числа

-Счастливое простое число — это число, которое является одновременно -счастливым и простым . В отличие от счастливых чисел, перестановка цифр -счастливого простого числа не обязательно создаст другое счастливое простое число. Например, в то время как 19 является 10-счастливым простым числом, 91 = 13 × 7 не является простым (но все еще 10-счастливым). ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Все простые числа являются счастливыми 2- и 4-простыми числами, поскольку основания 2 и 4 являются счастливыми.

6-счастливые простые числа

В системе счисления с основанием 6 6-счастливые простые числа ниже 1296 = 6 ⁴ равны

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10-счастливых простых чисел

В десятичной системе счисления 10-счастливые простые числа ниже 500:

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (последовательность A035497 в OEIS ).

Палиндромное простое число 10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ +7 426 247 × 10 ^{75 000} + 1 — это 10-счастливое простое число с150 007 цифр, потому что множество нулей не вносят вклад в сумму квадратов цифр, и 1 ² + 7 ² + 4 ² + 2 ² + 6 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 1 ² = 176, что является счастливым числом 10. Пол Джоблинг открыл простое число в 2005 году. ^[10]

По состоянию на 2010 год ^{[обновлять]}наибольшее известное 10-счастливое простое число — 2 ^42643801  − 1 ( простое число Мерсенна ). ^{[ сомнительно – обсудить ]} Его десятичное разложение имеет12 837 064 цифр. ^[11]

12-счастливых простых чисел

В системе счисления с основанием 12 не существует 12-счастливых простых чисел меньше 10000, первые 12-счастливые простые числа (буквы X и E представляют десятичные числа 10 и 11 соответственно)

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, Х5, 31011, 31101, 3123Е, 3132Е, 31677, 33Е21, 35295, 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67317, 67371, 67535, 6E60E, 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, 84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 8E2X5, 8E847, 92355, 93255, 93525, 95235, X1X87, X258E, X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...

Пример программирования

В приведенных ниже примерах многократно реализована идеальная цифровая инвариантная функция для и база по умолчанию, описанная в определении happy, приведенном в начале этой статьи; после каждого раза они проверяют оба условия останова: достижение 1 и повторение числа . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle b=10}$

Простой тест на Python для проверки того, является ли число счастливым:

def  pdi_function ( number ,  base :  int  =  10 ): """Идеальная цифровая инвариантная функция.""" total = 0 while number > 0 : total += pow ( number % base , 2 ) number = number // base return total                     def  is_happy ( number :  int )  ->  bool : """Определяет, является ли указанное число счастливым числом.""" seen_numbers = set () while number > 1 and number not in seen_numbers : seen_numbers . add ( number ) number = pdi_function ( number ) return number == 1                     

Смотрите также

• Арифметическая динамика
• Счастливое число
• Номер Харшада
• Счастливое число
• Совершенный цифровой инвариант

Ссылки

1. "Sad Number". Wolfram Research, Inc. Получено 16 сентября 2009 г.
2. Гилмер, Джастин (2013). «О плотности счастливых чисел». Целые числа . 13 (2): 2. arXiv : 1110.3836 . Bibcode : 2011arXiv1110.3836G.
3. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A161872 (Наименьшее несчастливое число в системе счисления с основанием n)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
4. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A035502 (нижняя из пары последовательных счастливых чисел)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . OEIS Foundation . Получено 8 апреля 2011 г.
5. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A072494 (первая из троек последовательных счастливых чисел)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 8 апреля 2011 г.
6. Пан, Хао (2006). «Последовательные счастливые числа». arXiv : math/0607213 .
7. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A055629 (Начало первой серии не менее n последовательных счастливых чисел)». Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
8. Стайер, Роберт (2010). «Наименьшие примеры строк последовательных счастливых чисел». Журнал целочисленных последовательностей . 13 : 5. 10.6.3 – через Университет Ватерлоо .Цитируется в Sloane "A055629".
9. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). "Последовательность A068571 (Число счастливых чисел <= 10^n)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
10. Крис К. Колдуэлл. "База данных Prime: 10150006 + 7426247 · 1075000 + 1". utm.edu .
11. Крис К. Колдуэлл. "База данных Prime: 242643801 − 1". utm.edu .

Литература

• Гай, Ричард (2004). Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.

Внешние ссылки

• Шнайдер, Вальтер: Мэтьюз: Счастливые числа.
• Вайсштейн, Эрик В. «Счастливое число». MathWorld .
• вычислить, является ли число счастливым Архивировано 25 января 2019 г. на Wayback Machine
• Счастливые числа на математическом форуме.
• 145 и Melancoil в Numberphile.
• Symonds, Ria. "7 and Happy Numbers". Numberphile . Brady Haran . Архивировано из оригинала 15 января 2018 года . Получено 2 апреля 2013 года .