Песчаный счетовод ( греч . Ψαμμίτης , Псаммит ) — труд Архимеда , древнегреческого математика III в. до н. э. , в котором он намеревался определить верхнюю границу числа песчинок, которые помещаются во Вселенной . Чтобы сделать это, Архимеду пришлось оценить размер Вселенной в соответствии с современной ему моделью и придумать способ говорить о чрезвычайно больших числах.
Работа, также известная на латыни как Arenarius , в переводе составляет около восьми страниц и адресована сиракузскому царю Гелону II (сыну Гиерона II ). Она считается наиболее доступной работой Архимеда. [1]
Во-первых, Архимеду пришлось придумать систему наименования больших чисел . Система счисления, использовавшаяся в то время, могла выражать числа вплоть до мириады (μυριάς — 10 000), и, используя само слово мириада , можно было немедленно расширить это, назвав все числа вплоть до мириады мириадами (10 8 ). [3] Архимед назвал числа до 10 8 «первым порядком», а само 10 8 назвал «единицей второго порядка». Кратные этой единице затем стали вторым порядком, вплоть до этой единицы, взятой мириаду-мириаду раз, 10 8 ·10 8 =10 16 . Это стало «единицей третьего порядка», чьи кратные были третьим порядком, и так далее. Архимед продолжал называть числа таким образом до мириады-мириады раз больше единицы 10 8 -го порядка, т. е. (10 8 )^(10 8 )
Сделав это, Архимед назвал определенные им порядки «порядками первого периода», а последний, , «единицей второго периода». Затем он построил порядки второго периода, взяв кратные этой единицы способом, аналогичным способу, которым были построены порядки первого периода. Продолжая таким образом, он в конце концов пришел к порядкам периода мириады-мириады. Наибольшее число, названное Архимедом, было последним числом в этом периоде, которое равно
Другой способ описания этого числа — единица, за которой следуют ( короткая шкала ) восемьдесят квадриллионов (80·10 15 ) нулей.
Система Архимеда напоминает позиционную систему счисления с основанием 108 , что примечательно, поскольку древние греки использовали очень простую систему записи чисел , в которой для единиц от 1 до 9, десятков от 10 до 90 и сотен от 100 до 900 использовались 27 различных букв алфавита.
Архимед также открыл и доказал закон степеней , необходимый для манипулирования степенями числа 10.
Затем Архимед оценил верхнюю границу числа песчинок, необходимых для заполнения Вселенной. Для этого он использовал гелиоцентрическую модель Аристарха Самосского . Оригинальная работа Аристарха была утеряна. Однако эта работа Архимеда является одной из немногих сохранившихся ссылок на его теорию, [4] согласно которой Солнце остается неподвижным, пока Земля вращается вокруг Солнца. По словам самого Архимеда:
Его [Аристарха] гипотезы заключаются в том, что неподвижные звезды и Солнце остаются неподвижными, что Земля вращается вокруг Солнца по окружности, причем Солнце лежит в середине орбиты, и что сфера неподвижных звезд, расположенная примерно в том же центре, что и Солнце, настолько велика, что окружность, по которой, как он предполагает, вращается Земля, находится в такой же пропорции к расстоянию до неподвижных звезд, в какой центр сферы находится к ее поверхности. [5]
Причина большого размера этой модели заключается в том, что греки не могли наблюдать звездный параллакс с помощью имеющихся методов, а это означает, что любой параллакс чрезвычайно мал, и поэтому звезды должны быть расположены на больших расстояниях от Земли (предполагая, что гелиоцентризм верен).
По мнению Архимеда, Аристарх не указал, насколько далеко звезды находятся от Земли. Поэтому Архимеду пришлось сделать следующие предположения:
Это предположение можно также выразить, сказав, что звездный параллакс, вызванный движением Земли по ее орбите, равен солнечному параллаксу, вызванному движением вокруг Земли. Подставим в соотношение:
Чтобы получить верхнюю границу, Архимед сделал следующие предположения относительно их размеров:
Затем Архимед пришел к выводу, что диаметр Вселенной не превышает 10 14 стадий (в современных единицах измерения около 2 световых лет ), и что для ее заполнения потребуется не более 10 63 песчинок. При таких измерениях каждая песчинка в мысленном эксперименте Архимеда имела бы диаметр приблизительно 19 мкм (0,019 мм).
Архимед утверждает, что сорок маковых зерен, положенных рядом, будут равны одному греческому пальцу (ширине пальца), что составляет приблизительно 19 мм (3/4 дюйма) в длину. Поскольку объем рассматривается как куб линейного измерения («Ибо было доказано, что сферы имеют утроенное отношение друг к другу своих диаметров»), то сфера диаметром в один дактиль будет содержать (используя нашу современную систему счисления) 40 3 , или 64 000 маковых зерен.
Затем он заявил (без доказательств), что каждое маковое семя может содержать мириады (10 000) песчинок. Перемножив эти две цифры, он предложил 640 000 000 как число гипотетических песчинок в сфере диаметром в один дактиль.
Чтобы облегчить дальнейшие вычисления, он округлил 640 миллионов до одного миллиарда, отметив только, что первое число меньше второго, и что поэтому число песчинок, вычисленное впоследствии, превысит фактическое число песчинок. Напомним, что мета-цель Архимеда в этом эссе состояла в том, чтобы показать, как производить вычисления с тем, что ранее считалось нереально большими числами, а не просто точно вычислить число песчинок, которые поместились бы во вселенной.
Греческий стадий имел длину 600 греческих футов, а каждый фут был длиной 16 дактилей, так что в стадии было 9600 дактилей. Архимед округлил это число до 10 000 (мириада), чтобы упростить вычисления, опять же, отметив, что полученное число превысит фактическое количество песчинок.
Куб 10 000 равен триллиону (10 12 ); а умножение миллиарда (количества песчинок в дактиль-сфере) на триллион (количество дактиль-сфер в стадион-сфере) дает 10 21 , количество песчинок в стадион-сфере.
Архимед подсчитал, что диаметр Аристарховой Вселенной составляет 10 14 стадий, поэтому во Вселенной будет (10 14 ) 3 стадионных сферы, или 10 42 . Умножение 10 21 на 10 42 дает 10 63 , число песчинок во Вселенной Аристарха. [6]
Следуя оценке Архимеда о мириадах (10 000) песчинок в маковом семени; 64 000 маковых семян в дактиль-сфере; длине стадиона в 10 000 дактилей; и приняв 19 мм за ширину дактиля, диаметр типичной песчинки Архимеда составит 18,3 мкм, что сегодня мы назвали бы крупинкой ила . В настоящее время наименьшая песчинка определяется как имеющая диаметр 50 мкм.
Архимед провел несколько интересных экспериментов и вычислений по пути. Один эксперимент заключался в оценке углового размера Солнца, как он виден с Земли. Метод Архимеда особенно интересен, поскольку он учитывает конечный размер зрачка глаза, [7] и, следовательно, может быть первым известным примером эксперимента в психофизике , разделе психологии, занимающемся механикой человеческого восприятия , развитие которого обычно приписывается Герману фон Гельмгольцу . Другое интересное вычисление учитывает солнечный параллакс и различные расстояния между наблюдателем и Солнцем, независимо от того, наблюдается ли он из центра Земли или с поверхности Земли на восходе солнца. Это может быть первым известным вычислением, имеющим дело с солнечным параллаксом. [1]
Некоторые, царь Гелон, думают, что число песков бесконечно во множестве; и я подразумеваю под песком не только то, что существует около Сиракуз и остальной части Сицилии, но также и то, что находится в каждой области, будь то обитаемой или необитаемой. Опять же, есть некоторые, которые, не считая его бесконечным, все же думают, что не было названо ни одного числа, которое было бы достаточно большим, чтобы превзойти его величину. И ясно, что те, кто придерживается этого взгляда, если бы они представили себе массу, состоящую из песка в других отношениях, такую же большую, как масса Земли, включая в нее все моря и впадины Земли, заполненные до высоты, равной высоте самых высоких гор, были бы во много раз дальше от признания того, что можно выразить какое-либо число, которое превышает множество таким образом взятого песка.
Но я постараюсь показать вам посредством геометрических доказательств, которым вы сможете следовать, что из чисел, названных мной и приведенных в работе, которую я послал Зевксиппу, некоторые превышают не только число массы песка, равной по величине Земле, заполненной описанным способом, но и число массы, равной по величине Вселенной. [8]
— Архимед Сиракузани, Аренариус и Пространство Циркули
{{cite book}}: CS1 maint: другие ( ссылка )