Сюръекция пространств Фреше

Характеристика сюръективности

Теорема о сюръекции пространств Фреше является важной теоремой Стефана Банаха ^[1] , которая характеризует, когда непрерывный линейный оператор между пространствами Фреше является сюръективным.

Важность этой теоремы связана с теоремой об открытом отображении , которая утверждает, что непрерывное линейное сюръективное отображение между пространствами Фреше является открытым отображением . Часто на практике кто-то знает, что у него есть непрерывное линейное отображение между пространствами Фреше, и хочет показать, что оно сюръективно, чтобы использовать теорему об открытом отображении для вывода, что оно также является открытым отображением. Эта теорема может помочь достичь этой цели.

Предварительные сведения, определения и обозначения

Пусть — непрерывное линейное отображение между топологическими векторными пространствами . ${\displaystyle L:X\to Y}$

Непрерывное двойственное пространство обозначается как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

Транспонирование — это отображение, определяемое соотношением Если является сюръективным, то будет инъективным , но обратное в общем случае неверно. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$ ${\displaystyle L\left(y^{\prime }\right):=y^{\prime }\circ L.}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$

Слабая топология на (соотв. ) обозначается как (соотв. ). Множество, наделенное этой топологией, обозначается как Топология является слабейшей топологией на , делающей все линейные функционалы непрерывными. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right).}$ ${\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Если тогда полярность in обозначается как ${\displaystyle S\subseteq Y}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle S^{\circ }.}$

Если является полунормой на , то будет обозначаться векторное пространство, наделенное самой слабой топологией TVS, делающей непрерывным. ^[1] Базис соседства в начале координат состоит из множеств как диапазонов по положительным действительным числам. Если не является нормой, то не является хаусдорфовым и является линейным подпространством . Если является непрерывным, то тождественное отображение непрерывно, поэтому мы можем идентифицировать непрерывное сопряженное пространство как подмножество посредством транспонирования тождественного отображения , которое является инъективным . ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle \left\{x\in X:p(x)<r\right\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle \ker p:=\left\{x\in X:p(x)=0\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} :X\to X_{p}}$ ${\displaystyle X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{p}}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle {}^{t}\operatorname {Id} :X_{p}^{\prime }\to X^{\prime },}$

Сюръекция пространств Фреше

Теорема ^[1]  (Банах)  —  Если — непрерывное линейное отображение между двумя пространствами Фреше, то оно сюръективно тогда и только тогда, когда выполняются оба следующих условия: ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$

1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$является инъективным , и
2. образ , обозначенный как , слабо замкнут в (т.е. замкнут, когда наделен слабой-* топологией). ${\displaystyle {}^{t}L,}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L,}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Расширения теоремы

Теорема ^[1]  —  Если — непрерывное линейное отображение между двумя пространствами Фреше, то следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle L:X\to Y}$

1. ${\displaystyle L:X\to Y}$является сюръективным.
2. Выполняются следующие два условия:
   1. ${\displaystyle {}^{t}L:Y^{\prime }\to X^{\prime }}$является инъекционным ;
   2. изображение слабо замкнуто в ${\displaystyle \operatorname {Im} {}^{t}L}$ ${\displaystyle {}^{t}L}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$
3. Для каждой непрерывной полунормы на существует непрерывная полунорма на такая, что выполняются следующие условия: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle Y}$
   1. для каждого существует такое , что ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle q(L(x)-y)=0}$
   2. для каждого если тогда ${\displaystyle y^{\prime }\in Y,}$ ${\displaystyle {}^{t}L\left(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in Y_{q}^{\prime }.}$
4. Для каждой непрерывной полунормы на существует линейное подпространство такое , что выполняются следующие условия: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Y}$
   1. для каждого существует такое , что ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)-y\in N}$
   2. для каждого если тогда ${\displaystyle y^{\prime }\in Y^{\prime },}$ ${\displaystyle {}^{t}L\left(y^{\prime }\right)\in X_{p}^{\prime }}$ ${\displaystyle y^{\prime }\in N^{\circ }.}$
5. Существует невозрастающая последовательность замкнутых линейных подпространств, пересечение которых равно и такое, что выполняются следующие условия: ${\displaystyle N_{1}\supseteq N_{2}\supseteq N_{3}\supseteq \cdots }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$
   1. для каждого положительного целого числа существует такое , что ; ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)-y\in N_{k}}$
   2. для каждой непрерывной полунормы на существует целое число такое, что любое удовлетворяющее является пределом, в смысле полунормы , последовательности элементов из такой, что для всех ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle L(x)\in N_{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L\left(x_{i}\right)=0}$ ${\displaystyle i.}$

Леммы

Следующие леммы используются для доказательства теорем о сюръективности пространств Фреше. Они полезны и сами по себе.

Теорема ^[1]  —  Пусть — пространство Фреше и — линейное подпространство. Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X^{\prime }.}$

1. ${\displaystyle Z}$слабо замкнут в ; ${\displaystyle X^{\prime }}$
2. Существует базис окрестностей начала координат такой, что для каждого является слабо замкнутым; ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle B^{\circ }\cap Z}$
3. Пересечение с каждым равностепенно непрерывным подмножеством относительно замкнуто в (где задана слабая топология, индуцированная , а задана топология подпространства, индуцированная ). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

Теорема ^[1]  —  На сопряженном к пространству Фреше топология равномерной сходимости на компактных выпуклых подмножествах совпадает с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах . ${\displaystyle X^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Теорема ^[1]  —  Пусть — линейное отображение между хаусдорфовыми локально выпуклыми TVS, причем также метризуемо . Если отображение непрерывно, то непрерывно (где и несут свои исходные топологии). ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L:\left(X,\sigma \left(X,X^{\prime }\right)\right)\to \left(Y,\sigma \left(Y,Y^{\prime }\right)\right)}$ ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Приложения

Теорема Бореля о разложении степенных рядов

Теорема ^[2]  (Э. Борель)  —  Зафиксируем положительное целое число . Если — произвольный формальный степенной ряд от неопределенных с комплексными коэффициентами, то существует функция, разложение Тейлора которой в начале координат идентично . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle P}$

То есть, предположим, что для каждого -кортежа неотрицательных целых чисел нам дано комплексное число (без ограничений). Тогда существует функция такая, что для каждого -кортежа ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ ${\displaystyle a_{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{p}=\left(\partial /\partial x\right)^{p}f{\bigg \vert }_{x=0}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p.}$

Линейные частные дифференциальные операторы

Теорема ^[3]  —  Пусть — линейный оператор частного дифференциала с коэффициентами в открытом подмножестве. Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}.}$

1. Для каждого существует такое , что ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle u\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle Du=f.}$
2. ${\displaystyle U}$является -выпуклым и полуглобально разрешимым. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D}$полуглобальная разрешимость в ${\displaystyle U}$ означает, что для любого относительно компактного открытого подмножества выполняется следующее условие: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

для каждого есть некоторые такие, что в . ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle Dg=f}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle U}$Быть -выпуклым означает, что для каждого компактного подмножества и каждого целого числа существует компактное подмножество такое , что для любого распределения с компактным носителем в выполняется следующее условие: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U}$

если это в порядке и если тогда ${\displaystyle {}^{t}Dd}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} {}^{t}Dd\subseteq K,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} d\subseteq C_{n}.}$

Смотрите также

• Эпиморфизм  – Сюръективный гомоморфизм
• Экспоненциальная формула
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)  – Условие открытости линейного оператора

Ссылки

1. Trèves 2006, стр. 378–384.
2. Трев 2006, стр. 390.
3. Трев 2006, стр. 392.

Библиография

• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.