Телескопическая серия

Ряды, частичные суммы которых в конечном итоге имеют только фиксированное число членов после сокращения

В математике телескопический ряд — это ряд , общий член которого имеет вид , т. е. разность двух последовательных членов последовательности . ^[1] ${\displaystyle t_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}=a_{n+1}-a_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

В результате частичные суммы состоят только из двух членов после сокращения. ^{[2] [3]} Метод сокращения, при котором часть каждого члена сокращается с частью следующего члена, известен как метод разностей . ${\displaystyle (a_{n})}$

Например, сериал

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}$

(ряд обратных пронических чисел ) упрощается как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}$

Раннее утверждение формулы для суммы или частичных сумм телескопического ряда можно найти в работе Эванджелиста Торричелли 1644 года « О размерах парабол» . ^[4]

Определение

Телескопический ряд степеней. Обратите внимание , что в знаке суммы индекс n изменяется от 1 до m . Между n и m нет никакой связи, кроме того, что оба являются натуральными числами . ${\textstyle \sum }$

Телескопические суммы — это конечные суммы, в которых пары последовательных членов отменяют друг друга, оставляя только начальный и конечный члены. ^[5] Пусть — последовательность чисел. Тогда, поскольку сходится к 0, результирующая сумма дает: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=a_{N}-a_{0}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=-a_{0}.}$$

Еще примеры

• Многие тригонометрические функции также допускают представление в виде разности, что позволяет производить телескопическое сокращение между последовательными членами. $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$
• Некоторые суммы вида , где f и g — полиномиальные функции , частное которых можно разбить на простейшие дроби , не будут допускать суммирования этим методом. В частности, проблема в том, что члены не сокращаются. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}$$
• Пусть k — положительное целое число. Тогда где H _k — k-й гармонический номер . Все члены после 1/( k − 1) сокращаются. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H_{k}}{k}}}$$
• Пусть k,m, где k m — положительные целые числа. Тогда ${\displaystyle \neq }$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)(n+k+1)\dots (n+m-1)(n+m)}}={\frac {1}{m-k}}\cdot {\frac {k!}{m!}}}$$

Приложения

В теории вероятностей процесс Пуассона — это стохастический процесс, простейший случай которого включает «появления» в случайные моменты времени, время ожидания до следующего появления имеет экспоненциальное распределение без памяти , а число «появлений» в любом временном интервале имеет распределение Пуассона , ожидаемое значение которого пропорционально длине временного интервала. Пусть X _t — число «появлений» до момента времени t , а T _x — время ожидания до x -го «появления». Мы ищем функцию плотности вероятности случайной величины T _x . Мы используем функцию массы вероятности для распределения Пуассона, которая говорит нам, что

${\displaystyle \Pr(X_{t}=x)={\frac {(\lambda t)^{x}e^{-\lambda t}}{x!}},}$

где λ — среднее число событий в любом временном интервале длиной 1. Заметьте, что событие { X _t ≥ x} такое же, как и событие { T _x ≤ t }, и, таким образом, они имеют одинаковую вероятность. Интуитивно понятно, что если что-то происходит по крайней мере раз до времени , нам придется ждать максимум до события. Поэтому искомая нами функция плотности равна ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle xth}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&{}={\frac {d}{dt}}\Pr(T_{x}\leq t)={\frac {d}{dt}}\Pr(X_{t}\geq x)={\frac {d}{dt}}(1-\Pr(X_{t}\leq x-1))\\\\&{}={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}\Pr(X_{t}=u)\right)={\frac {d}{dt}}\left(1-\sum _{u=0}^{x-1}{\frac {(\lambda t)^{u}e^{-\lambda t}}{u!}}\right)\\\\&{}=\lambda e^{-\lambda t}-e^{-\lambda t}\sum _{u=1}^{x-1}\left({\frac {\lambda ^{u}t^{u-1}}{(u-1)!}}-{\frac {\lambda ^{u+1}t^{u}}{u!}}\right)\end{aligned}}}$

Сумма телескопов, оставляя

${\displaystyle f(t)={\frac {\lambda ^{x}t^{x-1}e^{-\lambda t}}{(x-1)!}}.}$

Для других приложений см.:

• Серия Гранди ;
• Доказательство того, что сумма обратных величин простых чисел расходится , где одно из доказательств использует телескопическую сумму;
• Основная теорема исчисления , непрерывный аналог телескопического ряда;
• Порядковая статистика , где телескопическая сумма возникает при выводе функции плотности вероятности;
• Теорема Лефшеца о неподвижной точке , где в алгебраической топологии возникает телескопическая сумма ;
• Теория гомологии , снова в алгебраической топологии;
• Афера Эйленберга–Мазура , где происходит телескопическая сумма узлов;
• Алгоритм Фаддеева–Леверье .

Связанные концепции

Телескопическое произведение — это конечное произведение (или частичное произведение бесконечного произведения), которое можно сократить методом частных, чтобы в конечном итоге получить только конечное число множителей. ^{[6] [7]} Это конечные произведения, в которых последовательные члены сокращают знаменатель с числителем, оставляя только начальный и конечный члены. Пусть — последовательность чисел. Тогда, если сходится к 1, то полученное произведение дает: ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{N}{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}={\frac {a_{0}}{a_{N}}}.}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}=a_{0}}$$

Например, бесконечное произведение ^[6] упрощается как $${\displaystyle \prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{n=2}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)&=\prod _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)(n+1)}{n^{2}}}\\&=\lim _{N\to \infty }\prod _{n=2}^{N}{\frac {n-1}{n}}\times \prod _{n=2}^{N}{\frac {n+1}{n}}\\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {{\frac {1}{2}}\times {\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{4}}\times \cdots \times {\frac {N-1}{N}}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{\frac {3}{2}}\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{4}}\times \cdots \times {\frac {N}{N-1}}\times {\frac {N+1}{N}}}\right\rbrack \\&=\lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {1}{2}}\right\rbrack \times \left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N+1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}\times \lim _{N\to \infty }\left\lbrack {\frac {N}{N}}+{\frac {1}{N}}\right\rbrack \\&={\frac {1}{2}}.\end{aligned}}}$$

Ссылки

1. Апостол, Том (1967). Исчисление, том 1 (второе изд.). John Wiley & Sons. стр. 386.
2. Том М. Апостол , Calculus, том 1, Blaisdell Publishing Company, 1962, страницы 422–423.
3. Брайан С. Томсон и Эндрю М. Брукнер, Элементарный вещественный анализ, второе издание , CreateSpace, 2008, стр. 85
4. Weil, André (1989). «Предыстория дзета-функции». В Aubert, Karl Egil ; Bombieri, Enrico ; Goldfeld, Dorian (ред.). Теория чисел, формулы следов и дискретные группы: симпозиум в честь Атле Сельберга, Осло, Норвегия, 14–21 июля 1987 г. . Бостон, Массачусетс: Academic Press. стр. 1–9. doi :10.1016/B978-0-12-067570-8.50009-3. MR  0993308.
5. Weisstein, Eric W. "Телескопическая сумма". MathWorld . Wolfram.
6. "Telescoping Series - Product". Brilliant Math & Science Wiki . Brilliant.org . Получено 9 февраля 2020 г. .
7. Богомольный, Александр. «Телескопические суммы, ряды и произведения». Cut the Knot . Получено 9 февраля 2020 г.