В конформной геометрии объемная конструкция относится к конструкции Чарльза Феффермана и Робина Грэма [1], для которой конформное многообразие размерности n реализуется ( объемно ) как граница определенного многообразия Пуанкаре или, альтернативно, как небесная сфера определенного псевдориманова многообразия.
Конструкция окружающего пространства является канонической в том смысле, что она выполняется только с использованием конформного класса метрики: она конформно инвариантна. Однако конструкция работает только асимптотически , до определенного порядка приближения . В общем случае существует препятствие для продолжения этого расширения за пределы критического порядка. Само препятствие имеет тензорный характер и известно как (конформный) тензор препятствия . Он является, наряду с тензором Вейля , одним из двух примитивных инвариантов в конформной дифференциальной геометрии.
Помимо тензора препятствия, конструкция окружения может быть использована для определения класса конформно-инвариантных дифференциальных операторов, известных как операторы GJMS . [2]
Родственная конструкция — тракторный жгут .
Модель плоской геометрии для построения окружающего пространства — это будущий нулевой конус в пространстве Минковского с удаленным началом координат. Небесная сфера на бесконечности — это конформное многообразие M , а нулевые лучи в конусе определяют линейное расслоение над M. Более того, нулевой конус несет метрику, которая вырождается в направлении образующих конуса.
Затем окружающее построение в этом плоском модельном пространстве задается вопросом: если нам предоставлено такое линейное расслоение вместе с его вырожденной метрикой, в какой степени возможно расширить метрику за пределы нулевого конуса каноническим образом, тем самым восстановив окружающее пространство Минковского? Формально вырожденная метрика предоставляет граничное условие Дирихле для задачи расширения, и, как это часто бывает, естественным условием для расширенной метрики является то, чтобы она была плоской по Риччи (из-за нормализации нормальной конформной связности ).
Конструкция окружения обобщает это на случай, когда M конформно искривлено, сначала путем построения естественного нулевого линейного расслоения N с вырожденной метрикой, а затем путем решения связанной задачи Дирихле на N × (-1,1).
В этом разделе дается обзор конструкции сначала нулевого линейного пучка, а затем его окружающего расширения.
Предположим, что M — конформное многообразие, и что [ g ] обозначает конформную метрику, определенную на M . Пусть π : N → M обозначает тавтологическое подрасслоение T * M ⊗ T * M , определенное всеми представителями конформной метрики. В терминах фиксированной фоновой метрики g 0 , N состоит из всех положительных кратных ω 2 g 0 метрики. Существует естественное действие R + на N , заданное как
Более того, все пространство N несет тавтологическую вырожденную метрику, поскольку если p — точка слоя π : N → M, соответствующая конформному представителю g p , то пусть
Эта метрика вырождается вдоль вертикальных направлений. Более того, она однородна степени 2 относительно действия R + на N :
Пусть X — вертикальное векторное поле, генерирующее масштабирующее действие. Тогда следующие свойства очевидны:
Пусть N ~ = N × (-1,1) с естественным включением i : N → N ~ . Расширения δ ω естественным образом продолжаются до N ~ , и, следовательно, то же самое происходит с генератором X расширения.
Метрика окружения на N ~ — это лоренцева метрика h ~ такая, что
Предположим, что на M выбраны фиксированный представитель конформной метрики g и локальная система координат x = ( x i ) . Они индуцируют координаты на N путем идентификации точки в слое N с ( x , t 2 g ( x )), где t > 0 — координата слоя. (В этих координатах X = t ∂ t .) Наконец, если ρ — определяющая функция N в N ~ , которая однородна степени 0 относительно растяжений, то ( x , t ,ρ) — координаты N ~ . Более того, любая метрика расширения, которая однородна степени 2, может быть записана в этих координатах в виде:
где g ij — это n 2 функций с g ( x ,0) = g ( x ), заданным конформным представителем.
После некоторых вычислений можно показать, что плоскость Риччи эквивалентна следующему дифференциальному уравнению, где штрих — это дифференцирование по ρ:
Затем можно формально решить это уравнение как степенной ряд по ρ, чтобы получить асимптотическую разработку метрики окружения вне нулевого конуса. Например, подстановка ρ = 0 и решение дает
где P — тензор Схоутена . Далее, снова дифференцируя и подставляя известное значение g ij ′ ( x ,0) в уравнение, можно найти, что вторая производная является кратной тензору Баха . И так далее.
