В алгебре теорема Веддерберна –Артина является теоремой классификации для полупростых колец и полупростых алгебр . Теорема утверждает, что (артиново) [a] полупростое кольцо R изоморфно произведению конечного числа матричных колец размера n i на n i над телом D i для некоторых целых чисел n i , оба из которых определены однозначно с точностью до перестановки индекса i . В частности, любое простое левое или правое артиново кольцо изоморфно матричному кольцу размера n на n над телом D , где и n, и D определены однозначно. [1]
Пусть R — (артиново) полупростое кольцо . Тогда теорема Веддерберна–Артина утверждает, что R изоморфно произведению конечного числа матричных колец размера n i на n i над телами D i для некоторых целых чисел n i , оба из которых определены однозначно с точностью до перестановки индекса i .
Существует также версия теоремы Веддерберна–Артина для алгебр над полем k . Если R — конечномерная полупростая k -алгебра, то каждая D i в приведенном выше утверждении — конечномерная алгебра с делением над k . Центр каждой D i не обязательно должен быть k ; он может быть конечным расширением k .
Обратите внимание, что если R — конечномерная простая алгебра над телом E , то D не обязательно содержится в E. Например, матричные кольца над комплексными числами являются конечномерными простыми алгебрами над действительными числами .
Существуют различные доказательства теоремы Веддерберна–Артина. [2] [3] Распространенное современное доказательство [4] использует следующий подход.
Предположим, что кольцо полупростое. Тогда правый -модуль изоморфен конечной прямой сумме простых модулей (которые совпадают с минимальными правыми идеалами ) . Запишем эту прямую сумму как
где - взаимно неизоморфные простые правые -модули, i -й появляется с кратностью . Это дает изоморфизм колец эндоморфизмов
и мы можем идентифицировать себя с кольцом матриц
где кольцо эндоморфизмов является телом по лемме Шура , поскольку является простым. Поскольку мы заключаем
Здесь мы использовали правые модули, потому что ; если бы мы использовали левые модули, то они были бы изоморфны противоположной алгебре , но доказательство все равно прошло бы. Чтобы увидеть это доказательство в более широком контексте, см. Разложение модуля . Для доказательства важного особого случая см. Простое артиново кольцо .
Поскольку конечномерная алгебра над полем является артиновой, теорема Веддерберна–Артина подразумевает, что каждая конечномерная простая алгебра над полем изоморфна кольцу матриц размера n на n над некоторой конечномерной алгеброй с делением D над , где и n , и D определены однозначно. [1] Это было показано Джозефом Веддерберном . Эмиль Артин позднее обобщил этот результат на случай простых левых или правых артиновых колец .
Поскольку единственной конечномерной алгеброй с делением над алгебраически замкнутым полем является само поле, теорема Веддерберна–Артина имеет в этом случае сильные следствия. Пусть R — полупростое кольцо , являющееся конечномерной алгеброй над алгебраически замкнутым полем . Тогда R — конечное произведение , где — положительные целые числа, а — алгебра матриц над .
Более того, теорема Веддерберна–Артина сводит задачу классификации конечномерных центральных простых алгебр над полем к задаче классификации конечномерных центральных алгебр с делением над : то есть алгебр с делением над , центром которых является . Из нее следует, что любая конечномерная центральная простая алгебра над изоморфна матричной алгебре, где — конечномерная центральная алгебра с делением над .