В теории операторов теорема Аткинсона (названная в честь Фредерика Валентина Аткинсона ) дает характеристику операторов Фредгольма .
Пусть H — гильбертово пространство , а L ( H ) — множество ограниченных операторов на H. Ниже приводится классическое определение оператора Фредгольма : оператор T ∈ L ( H ) называется оператором Фредгольма, если ядро Ker( T ) конечномерно, Ker( T* ) конечномерно (где T* обозначает сопряженный оператор T ) , а область значений Ran( T ) замкнута.
Теорема Аткинсона гласит:
Другими словами, оператор T ∈ L ( H ) является фредгольмовым в классическом смысле тогда и только тогда, когда его проекция в алгебре Калкина обратима.
Схема доказательства такова. Для ⇒ импликации выразите H как ортогональную прямую сумму
Ограничение T : Ker( T ) ⊥ → Ran( T ) является биекцией и, следовательно, обратимо по теореме об открытом отображении . Расширим это обратное отображение на 0 на Ran( T ) ⊥ = Ker( T* ) до оператора S, определенного на всем H . Тогда I − TS является проекцией конечного ранга на Ker( T* ), а I − ST является проекцией на Ker( T ). Это доказывает часть теоремы «только если».
Для обратного предположим теперь, что ST = I + C 2 для некоторого компактного оператора C 2 . Если x ∈ Ker( T ), то STx = x + C 2 x = 0. Таким образом, Ker( T ) содержится в собственном пространстве C 2 , которое конечномерно (см. спектральную теорию компактных операторов ). Следовательно, Ker( T ) также конечномерен. Тот же аргумент показывает, что Ker( T* ) также конечномерен.
Чтобы доказать, что Ran( T ) замкнуто, мы используем свойство аппроксимации : пусть F — оператор конечного ранга, такой что || F − C 2 || < r . Тогда для каждого x в Ker( F ),
Таким образом , T ограничен снизу на Ker( F ), что означает, что T (Ker( F )) замкнуто. С другой стороны, T (Ker( F ) ⊥ ) конечномерно, поскольку Ker( F ) ⊥ = Ran( F* ) конечномерно. Следовательно, Ran( T ) = T (Ker( F )) + T (Ker( F ) ⊥ ) замкнуто, и это доказывает теорему.
Более полное рассмотрение теоремы Аткинсона содержится в ссылке Арвесона: она показывает, что если B — банахово пространство, оператор фредгольмов тогда и только тогда, когда он обратим по модулю оператора конечного ранга (и что последнее эквивалентно обратимости по модулю компактного оператора, что важно ввиду примера Энфло сепарабельного рефлексивного банахова пространства с компактными операторами, которые не являются пределами нормы операторов конечного ранга). Для банаховых пространств фредгольмов оператор — это оператор с конечномерным ядром и областью значений конечной коразмерности (эквивалентной конечномерности ядра его сопряженного оператора). Обратите внимание, что гипотеза о замкнутости Ran( T ) излишня, поскольку пространство конечной коразмерности, которое также является областью значений ограниченного оператора, всегда замкнуто (см. ссылку Арвесона ниже); это является следствием теоремы об открытом отображении (и неверно, если пространство не является областью значений ограниченного оператора, например, ядром разрывного линейного функционала).
