Топологическая группа

Группа, которая является топологическим пространством с непрерывным групповым действием

Действительные числа образуют топологическую группу при сложении

В математике топологические группы представляют собой комбинацию групп и топологических пространств , т.е. они являются группами и топологическими пространствами одновременно, так что условие непрерывности для групповых операций связывает эти две структуры вместе и, следовательно, они не являются независимыми друг от друга. ^[1]

Топологические группы широко изучались в период с 1925 по 1940 год. Хаар и Вейль (соответственно в 1933 и 1940 годах) показали, что интегралы и ряды Фурье являются частными случаями очень широкого класса топологических групп. ^[2]

Топологические группы, наряду с непрерывными действиями групп , используются для изучения непрерывных симметрий , которые имеют множество приложений, например, в физике . В функциональном анализе каждое топологическое векторное пространство является аддитивной топологической группой с дополнительным свойством, что скалярное умножение непрерывно; следовательно, многие результаты из теории топологических групп могут быть применены к функциональному анализу.

Формальное определение

Топологическая группа G — это топологическое пространство , которое также является группой, такой что групповая операция (в данном случае произведение):

⋅ : грамм × грамм → грамм , ( Икс , у ) ↦ ху

и карта инверсии:

⁻¹  : G → G , х ↦ х ⁻¹

непрерывны . ^{[примечание 1]} Здесь G × G рассматривается как топологическое пространство с топологией произведения . Такая топология называется совместимой с групповыми операциями и называется групповой топологией .

Проверка непрерывности

Отображение произведения непрерывно тогда и только тогда, когда для любых x , y ∈ G и любой окрестности W точки xy в G существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ V ⊆ W , где U ⋅ V  := { u ⋅ v  : u ∈ U , v ∈ V }. Отображение инверсии непрерывно тогда и только тогда, когда для любых x ∈ G и любой окрестности V точки x ⁻¹ в G существует окрестность U точки x в G такая, что U ⁻¹ ⊆ V , где U ⁻¹  := { u ⁻¹  : u ∈ U }.

Чтобы показать, что топология совместима с групповыми операциями, достаточно проверить, что отображение

грамм × грамм → грамм , ( Икс , y ) ↦ ху ^-1

является непрерывным. Явно это означает, что для любых x , y ∈ G и любой окрестности W в G точки xy ⁻¹ существуют окрестности U точки x и V точки y в G такие, что U ⋅ ( V ⁻¹ ) ⊆ W .

Аддитивная нотация

В этом определении использовались обозначения для мультипликативных групп; эквивалентом для аддитивных групп было бы то, что следующие две операции являются непрерывными:

+ : G × G → G , ( x , y ) ↦ x + y

− : G → G , x ↦ − x .

Хаусдорфовость

Хотя это и не является частью этого определения, многие авторы ^[3] требуют, чтобы топология на G была хаусдорфовой . Одной из причин этого является то, что любая топологическая группа может быть канонически связана с хаусдорфовой топологической группой путем взятия соответствующего канонического фактора; однако это часто все еще требует работы с исходной нехаусдорфовой топологической группой. Другие причины и некоторые эквивалентные условия обсуждаются ниже.

В данной статье не предполагается, что топологические группы обязательно являются хаусдорфовыми.

Категория

На языке теории категорий топологические группы можно кратко определить как групповые объекты в категории топологических пространств , таким же образом, как обычные группы являются групповыми объектами в категории множеств . Обратите внимание, что аксиомы даны в терминах отображений (бинарное произведение, унарная обратная и нуль-тождественная функция), следовательно, являются категориальными определениями.

Гомоморфизмы

Гомоморфизм топологических групп означает непрерывный групповой гомоморфизм G → H. Топологические группы вместе со своими гомоморфизмами образуют категорию . Групповой гомоморфизм между топологическими группами непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в некоторой точке. ^[4]

Изоморфизм топологических групп — это групповой изоморфизм , который также является гомеоморфизмом базовых топологических пространств. Это сильнее, чем просто требование непрерывного группового изоморфизма — обратное также должно быть непрерывным. Существуют примеры топологических групп, которые изоморфны как обычные группы, но не как топологические группы. Действительно, любая недискретная топологическая группа также является топологической группой, если рассматривать ее с дискретной топологией. Базовые группы те же самые, но как топологические группы изоморфизма нет.

Примеры

Любую группу можно тривиально превратить в топологическую группу, рассматривая ее с дискретной топологией ; такие группы называются дискретными группами . В этом смысле теория топологических групп включает в себя теорию обычных групп. Недискретная топология (т. е. тривиальная топология) также превращает каждую группу в топологическую группу.

Действительные числа с обычной топологией образуют топологическую группу относительно сложения. Евклидово n -пространство n ^также является топологической группой относительно сложения, и, в более общем смысле, каждое топологическое векторное пространство образует (абелеву) топологическую группу. Некоторые другие примеры абелевых топологических групп - это группа окружностей S ¹ или тор ( S ¹ ) ⁿ для любого натурального числа n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Классические группы являются важными примерами неабелевых топологических групп. Например, общая линейная группа GL( n , ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ всех обратимых матриц n на n с действительными элементами может рассматриваться как топологическая группа с топологией, определяемой путем рассмотрения GL( n , ) как подпространства евклидова пространства ^{n × n} . Другая классическая группа — это ортогональная группа O( n ) , группа всех линейных отображений из ⁿ в себя, которые сохраняют длину всех векторов. Ортогональная группа компактна как топологическое пространство. Большая часть евклидовой геометрии может рассматриваться как ^{изучение} структуры ортогональной группы или тесно связанной группы O ( n ) ⋉ ⁿ изометрий n . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Все упомянутые до сих пор группы являются группами Ли , то есть они являются гладкими многообразиями , так что групповые операции являются гладкими , а не просто непрерывными. Группы Ли являются наиболее изученными топологическими группами; многие вопросы о группах Ли можно преобразовать в чисто алгебраические вопросы об алгебрах Ли и затем решить.

Примером топологической группы, которая не является группой Ли, является аддитивная группа рациональных чисел с топологией, унаследованной от . Это счетное пространство, и оно не имеет дискретной топологии. Важным примером для теории чисел является группа _p целых p -адических чисел для простого числа p , что означает обратный предел конечных групп / p ⁿ при n, стремящемся к бесконечности. Группа _p ведет себя хорошо, поскольку она компактна (фактически, гомеоморфна множеству Кантора ), но отличается от (действительных) групп Ли тем, что она полностью несвязна . В более общем смысле, существует теория p -адических групп Ли , включая компактные группы, такие как GL( n , _p ), а также локально компактные группы , такие как GL( n , _p ) , где _p — локально компактное поле p -адических чисел . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Группа _p является про-конечной группой ; она изоморфна подгруппе произведения таким образом, что ее топология индуцируется топологией произведения, где конечные группы задаются дискретной топологией. Другим большим классом про-конечных групп, важным в теории чисел, являются абсолютные группы Галуа . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \prod _{n\geq 1}\mathbb {Z} /p^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}}$

Некоторые топологические группы можно рассматривать как бесконечномерные группы Ли ; эта фраза лучше всего понимается неформально, чтобы включить несколько различных семейств примеров. Например, топологическое векторное пространство , такое как банахово пространство или гильбертово пространство , является абелевой топологической группой по сложению. Некоторые другие бесконечномерные группы, которые были изучены с разной степенью успеха, — это группы петель , группы Каца–Муди , группы диффеоморфизмов , группы гомеоморфизмов и калибровочные группы .

В каждой банаховой алгебре с мультипликативным тождеством множество обратимых элементов образует топологическую группу относительно умножения. Например, группа обратимых ограниченных операторов в гильбертовом пространстве возникает таким образом.

Характеристики

Инвариантность перевода

Топология каждой топологической группыинвариант трансляции , что по определению означает, что если для любоголевого или правого умножения на этот элемент дает гомеоморфизм Следовательно, для любогоиподмножествооткрыто(соотв.замкнуто) втогда и только тогда, когда это верно для его левого переносаи правого переноса Еслиявляетсябазисом соседстваединичного элемента в топологической группе, то для всехявляетсябазисом соседствав^[4] В частности, любая топология группы на топологической группе полностью определяется любым базисом соседства единичного элемента. Еслиявляется любым подмножествомиявляется открытым подмножеством, тоявляется открытым подмножеством^[4] ${\displaystyle a\in G,}$ ${\displaystyle G\to G.}$ ${\displaystyle a\in G}$ ${\displaystyle S\subseteq G,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle aS:=\{as:s\in S\}}$ ${\displaystyle Sa:=\{sa:s\in S\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x{\mathcal {N}}:=\{xN:N\in {\mathcal {N}}\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle SU:=\{su:s\in S,u\in U\}}$ ${\displaystyle G.}$

Симметричные кварталы

Операция инверсии в топологической группе — это гомеоморфизм из нее в себя. ${\displaystyle g\mapsto g^{-1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Подмножество называется симметричным , если где Замыкание каждого симметричного множества в коммутативной топологической группе симметрично. ^[4] Если S — любое подмножество коммутативной топологической группы G , то следующие множества также симметричны: S ⁻¹ ∩ S , S ⁻¹ ∪ S и S ⁻¹ S . ^[4] ${\displaystyle S\subseteq G}$ ${\displaystyle S^{-1}=S,}$ ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}.}$

Для любой окрестности N в коммутативной топологической группе G единичного элемента существует симметричная окрестность M единичного элемента такая, что M ⁻¹ M ⊆ N , где заметим, что M ⁻¹ M обязательно является симметричной окрестностью единичного элемента. ^[4] Таким образом, каждая топологическая группа имеет базис окрестностей в единичном элементе, состоящий из симметричных множеств.

Если G — локально компактная коммутативная группа, то для любой окрестности N в G единичного элемента существует симметричная относительно компактная окрестность M единичного элемента такая, что cl M ⊆ N (где cl M также симметричен). ^[4]

Равномерное пространство

Каждая топологическая группа может рассматриваться как однородное пространство двумя способами: левая однородность превращает все левые умножения в равномерно непрерывные отображения, в то время как правая однородность превращает все правые умножения в равномерно непрерывные отображения. ^[5] Если G не абелева, то эти два понятия не обязательно совпадают. Однородные структуры позволяют говорить о таких понятиях, как полнота , равномерная непрерывность и равномерная сходимость на топологических группах.

Разделительные свойства

Если U — открытое подмножество коммутативной топологической группы G и U содержит компактное множество K , то существует окрестность N единичного элемента такая, что KN ⊆ U. ^[4 ]

Как однородное пространство, каждая коммутативная топологическая группа является вполне регулярной . Следовательно, для мультипликативной топологической группы G с единичным элементом 1 следующие условия эквивалентны: ^[4]

1. G — T ₀ -пространство ( Колмогоров );
2. G является T2 _- пространством ( хаусдорфовым );
3. G — это T _{3 1 ⁄ 2} ( Тихонов );
4. { 1 } замкнуто в G ;
5. { 1 } :=∩N ∈ 𝒩 N , где 𝒩 — базис окрестности единичного элемента в G ;
6. для любого такого, что существует окрестность U в G единичного элемента такая, что ${\displaystyle x\in G}$ ${\displaystyle x\neq 1,}$ ${\displaystyle x\not \in U.}$

Подгруппа коммутативной топологической группы дискретна тогда и только тогда, когда она имеет изолированную точку . ^[4]

Если G не является хаусдорфовой, то можно получить хаусдорфову группу, перейдя к факторгруппе G / K , где K — замыкание единицы. ^[6] Это эквивалентно взятию частного Колмогорова от G.

Метризуемость

Пусть G — топологическая группа. Как и в случае любого топологического пространства, мы говорим, что G метризуемо тогда и только тогда, когда существует метрика d на G , которая индуцирует ту же топологию на . Метрика d на G называется ${\displaystyle G}$

• левоинвариантен (соответственно правоинвариантен ) тогда и только тогда, когда (соответственно ) для всех (эквивалентно, является левоинвариантным только в случае, если отображение является изометрией из в себя для каждого ). ${\displaystyle d(ax_{1},ax_{2})=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle d(x_{1}a,x_{2}a)=d(x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle a,x_{1},x_{2}\in G}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\displaystyle (G,d)}$ ${\displaystyle a\in G}$
• правильно тогда и только тогда, когда все открытые шары, для , являются предкомпактными. ${\displaystyle B(r)=\{g\in G\mid d(g,1)<r\}}$ ${\displaystyle r>0}$

Теорема Биркгофа–Какутани (названная в честь математиков Гаррета Биркгофа и Сидзуо Какутани ) утверждает, что следующие три условия для топологической группы G эквивалентны: ^[7]

1. G является ( хаусдорфовым и) удовлетворяет первой аксиоме счетности (эквивалентно: единичный элемент 1 замкнут в G , и в G существует счетный базис окрестностей для 1 ).
2. G метризуемо (как топологическое пространство).
3. На G существует левоинвариантная метрика , которая индуцирует заданную топологию на G.
4. На G существует правоинвариантная метрика , которая индуцирует заданную топологию на G.

Более того, следующие условия эквивалентны для любой топологической группы G :

1. G — локально компактное (хаусдорфово) пространство, удовлетворяющее второй аксиоме счетности .
2. G — польское локально компактное (хаусдорфово) пространство.
3. G является собственно метризуемым (как топологическое пространство).
4. Существует левоинвариантная, собственная метрика на G , которая индуцирует заданную топологию на G.

Примечание: Как и в остальной части статьи, мы предполагаем здесь топологию Хаусдорфа. Импликации 4 3 2 1 справедливы в любом топологическом пространстве. В частности, 3 2 справедлива, поскольку, в частности, любое собственно метризуемое пространство является счетным объединением компактных метризуемых и, таким образом, сепарабельных ( ср. свойства компактных метрических пространств ) подмножеств. Нетривиальная импликация 1 4 была впервые доказана Раймондом Струблом в 1974 году. ^[8] Альтернативный подход был предложен Уффе Хаагерупом и Агатой Пшибышевской в ​​2006 году, ^[9] идея которого заключается в следующем: мы опираемся на конструкцию левоинвариантной метрики, , как в случае пространств с первой счетностью . В силу локальной компактности замкнутые шары достаточно малых радиусов компактны, и, нормализуя, мы можем предположить, что это справедливо для радиуса 1. Закрытие открытого шара U радиуса 1 при умножении дает замкнуто-открыто подгруппу H группы G , на которой метрика является собственной. Поскольку H открыта, а G является второй счетной , подгруппа имеет не более счетного числа смежных классов. Теперь можно использовать эту последовательность смежных классов и метрику на H для построения собственной метрики на G. ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$

Подгруппы

Каждая подгруппа топологической группы сама является топологической группой, если задана топология подпространства . Каждая открытая подгруппа H также замкнута в G , поскольку дополнение H является открытым множеством, заданным объединением открытых множеств gH для g ∈ G \ H . Если H является подгруппой G , то замыкание H также является подгруппой. Аналогично, если H является нормальной подгруппой G , то замыкание H нормально в G .

Частные и нормальные подгруппы

Если H является подгруппой G , множество левых смежных классов G / H с топологией фактора называется однородным пространством для G. Фактор-отображение всегда открыто . Например, для положительного целого числа ⁿ сфера Sn является однородным пространством для группы вращений SO ( n +1) ^по n ^{+ 1} , причем Sn = SO( n +1)/SO( n ) . Однородное пространство G / H является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда H замкнуто в G. ^[10] Отчасти по этой причине естественно сосредоточиться на замкнутых подгруппах при изучении топологических групп. ${\displaystyle q:G\to G/H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Если H — нормальная подгруппа группы G , то фактор-группа G / H становится топологической группой при задании топологии фактор-группы. Она хаусдорфова тогда и только тогда, когда H замкнута в G. Например, фактор-группа ^{изоморфна} группе окружности S1 . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$

В любой топологической группе компонент тождества (т. е. связный компонент , содержащий элемент тождества) является замкнутой нормальной подгруппой. Если C является компонентом тождества, а a является любой точкой G , то левый смежный класс aC является компонентом G , содержащим a . Таким образом, совокупность всех левых смежных классов (или правых смежных классов) C в G равна совокупности всех компонентов G. Из этого следует, что фактор-группа G / C полностью несвязна . [ ^11]

Закрытость и компактность

В любой коммутативной топологической группе произведение (предполагая, что группа мультипликативна) KC компактного множества K и замкнутого множества C является замкнутым множеством. ^[4] Более того, для любых подмножеств R и S группы G , (cl R )(cl S ) ⊆ cl ( RS ) . ^[4]

Если H — подгруппа коммутативной топологической группы G и если N — окрестность в G единичного элемента такая, что H ∩ cl N замкнуто, то H замкнуто. ^[4] Каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой коммутативной топологической группы замкнута. ^[4]

Теоремы изоморфизма

Теоремы изоморфизма из обычной теории групп не всегда верны в топологической обстановке. Это происходит потому, что биективный гомоморфизм не обязательно должен быть изоморфизмом топологических групп.

Например, собственная версия первой теоремы об изоморфизме неверна для топологических групп: если — морфизм топологических групп (то есть непрерывный гомоморфизм), то не обязательно верно, что индуцированный гомоморфизм является изоморфизмом топологических групп; он будет биективным, непрерывным гомоморфизмом, но не обязательно будет гомеоморфизмом. Другими словами, он не обязательно будет допускать обратное в категории топологических групп. ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:G/\ker f\to \mathrm {Im} (f)}$

Существует версия первой теоремы об изоморфизме для топологических групп, которая может быть сформулирована следующим образом: если — непрерывный гомоморфизм, то индуцированный гомоморфизм из G /ker( f ) в im( f ) является изоморфизмом тогда и только тогда, когда отображение f открыто на свой образ. ^[12] ${\displaystyle f:G\to H}$

Однако третья теорема об изоморфизме верна более или менее дословно для топологических групп, как можно легко проверить.

Пятая проблема Гильберта

Существует несколько сильных результатов о связи между топологическими группами и группами Ли. Во-первых, каждый непрерывный гомоморфизм групп Ли является гладким. Из этого следует, что топологическая группа имеет единственную структуру группы Ли, если таковая существует. Кроме того, теорема Картана утверждает, что каждая замкнутая подгруппа группы Ли является подгруппой Ли, в частности, гладким подмногообразием . ${\displaystyle G\to H}$

Пятая проблема Гильберта спрашивала, должна ли топологическая группа G , являющаяся топологическим многообразием , быть группой Ли. Другими словами, имеет ли G структуру гладкого многообразия, делая групповые операции гладкими? Как показали Эндрю Глисон , Дин Монтгомери и Лео Зиппин , ответ на эту проблему — да. ^[13] На самом деле, G имеет реальную аналитическую структуру. Используя гладкую структуру, можно определить алгебру Ли группы G , объект линейной алгебры , который определяет связную группу G с точностью до покрытия пространств . В результате решение пятой проблемы Гильберта сводит классификацию топологических групп, являющихся топологическими многообразиями, к алгебраической задаче, хотя и сложной в целом.

Теорема также имеет последствия для более широких классов топологических групп. Во-первых, каждая компактная группа (понимаемая как Хаусдорфова) является обратным пределом компактных групп Ли. (Один важный случай — обратный предел конечных групп, называемый проконечной группой . Например, группа _p целых p -адических чисел и абсолютная группа Галуа поля являются проконечными группами.) Более того, каждая связная локально компактная группа является обратным пределом связных групп Ли. ^[14] С другой стороны, полностью несвязная локально компактная группа всегда содержит компактную открытую подгруппу, которая обязательно является проконечной группой. ^[15] (Например, локально компактная группа GL( n , _p ) содержит компактную открытую подгруппу GL( n , _p ) , которая является обратным пределом конечных групп GL( n , / p ^r ) при r ' стремящемся к бесконечности.) ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Представления компактных или локально компактных групп

Действие топологической группы G на топологическом пространстве X — это групповое действие G на X , такое что соответствующая функция G × X → X непрерывна. Аналогично, представление топологической группы G на действительном или комплексном топологическом векторном пространстве V — это непрерывное действие G на V , такое что для каждого g ∈ G отображение v ↦ gv из V в себя является линейным.

Групповые действия и теория представлений особенно хорошо изучены для компактных групп, обобщая то, что происходит для конечных групп . Например, каждое конечномерное (действительное или комплексное) представление компактной группы является прямой суммой неприводимых представлений . Бесконечномерное унитарное представление компактной группы может быть разложено как прямая сумма неприводимых представлений в гильбертовом пространстве, которые все конечномерны; это часть теоремы Петера–Вейля . ^[16] Например, теория рядов Фурье описывает разложение унитарного представления группы окружности S ¹ на комплексном гильбертовом пространстве L ² ( S ¹ ) . Все неприводимые представления S ¹ являются одномерными и имеют вид z ↦ z ⁿ для целых чисел n (где S ¹ рассматривается как подгруппа мультипликативной группы *). Каждое из этих представлений встречается с кратностью 1 в L ² ( S ¹ ) . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Классифицированы неприводимые представления всех компактных связных групп Ли. В частности, характер каждого неприводимого представления задается формулой характера Вейля .

В более общем смысле локально компактные группы имеют богатую теорию гармонического анализа , поскольку они допускают естественное понятие меры и интеграла , заданного мерой Хаара . Каждое унитарное представление локально компактной группы может быть описано как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений. (Разложение по существу уникально, если G имеет тип I , который включает в себя наиболее важные примеры, такие как абелевы группы и полупростые группы Ли . ^[17] ) Основным примером является преобразование Фурье , которое разлагает действие аддитивной группы на гильбертовом пространстве L ² ( ) как прямой интеграл неприводимых унитарных представлений . Все неприводимые унитарные представления являются одномерными и имеют вид x ↦ e ^{2π iax} для a ∈ . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Неприводимые унитарные представления локально компактной группы могут быть бесконечномерными. Основная цель теории представлений, связанная с классификацией допустимых представлений Ленглендса , состоит в том, чтобы найти унитарное дуальное (пространство всех неприводимых унитарных представлений) для полупростых групп Ли. Унитарное дуальное известно во многих случаях, таких как SL(2, ) , но не во всех. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Для локально компактной абелевой группы G каждое неприводимое унитарное представление имеет размерность 1. В этом случае унитарное двойственное представление является группой, фактически другой локально компактной абелевой группой. Двойственность Понтрягина утверждает, что для локально компактной абелевой группы G двойственная группа является исходной группой G. Например, двойственная группа целых чисел является группой окружности S ¹ , в то время как группа действительных чисел изоморфна своей собственной двойственной группе. ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Каждая локально компактная группа G имеет хороший запас неприводимых унитарных представлений; например, достаточно представлений, чтобы различать точки G ( теорема Гельфанда–Райкова ). Напротив, теория представлений для топологических групп, которые не являются локально компактными, до сих пор была разработана только в особых ситуациях, и может быть неразумно ожидать общей теории. Например, существует много абелевых групп Банаха–Ли , для которых каждое представление в гильбертовом пространстве тривиально. ^[18]

Гомотопическая теория топологических групп

Топологические группы являются особыми среди всех топологических пространств, даже с точки зрения их гомотопического типа . Одним из основных моментов является то, что топологическая группа G определяет топологическое пространство с путевой связностью, классифицирующее пространство BG (которое классифицирует главные G -расслоения над топологическими пространствами при умеренных гипотезах). Группа G изоморфна в гомотопической категории пространству петель BG ; это подразумевает различные ограничения на гомотопический тип G. ^[19] Некоторые из этих ограничений сохраняются в более широком контексте H-пространств .

Например, фундаментальная группа топологической группы G является абелевой. (В более общем случае произведение Уайтхеда на гомотопических группах группы G равно нулю.) Кроме того, для любого поля k кольцо когомологий H *( G , k ) имеет структуру алгебры Хопфа . Ввиду структурных теорем об алгебрах Хопфа Хайнца Хопфа и Арманда Бореля это накладывает сильные ограничения на возможные кольца когомологий топологических групп. В частности, если G — линейно связная топологическая группа, рациональное кольцо когомологий H *( G , ) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ которой конечномерно в каждой степени, то это кольцо должно быть свободной градуированно-коммутативной алгеброй над , то есть тензорным произведением кольца многочленов на образующих четной степени с внешней алгеброй на образующих нечетной степени. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

В частности, для связной группы Ли G рациональное когомологическое кольцо группы G является внешней алгеброй на образующих нечетной степени. Более того, связная группа Ли G имеет максимальную компактную подгруппу K , которая единственна с точностью до сопряжения, и включение K в G является гомотопической эквивалентностью . Таким образом, описание гомотопических типов групп Ли сводится к случаю компактных групп Ли. Например, максимальной компактной подгруппой группы SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является группа окружности SO(2) , а однородное пространство SL(2, )/SO(2) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ можно отождествить с гиперболической плоскостью . Поскольку гиперболическая плоскость стягиваема , включение группы окружности в SL(2, ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является гомотопической эквивалентностью.

Наконец, компактные связные группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом , Эли Картаном и Германом Вейлем . В результате получено по существу полное описание возможных гомотопических типов групп Ли. Например, компактная связная группа Ли размерности не более 3 является либо тором, либо группой SU(2) ( диффеоморфной 3-сфере S ³ ), либо ее фактор-группой SU(2)/{±1} ≅ SO(3) (диффеоморфной RP 3 ).

Полная топологическая группа

Информацию о сходимости сетей и фильтров, такую ​​как определения и свойства, можно найти в статье о фильтрах в топологии .

Каноническая однородность на коммутативной топологической группе

В этой статье мы будем предполагать, что любая топологическая группа, которую мы рассматриваем, является аддитивной коммутативной топологической группой с единичным элементом ${\displaystyle 0.}$

Диагональ является множеством и для любого содержащего каноническое окружение или канонические окрестности вокруг является множеством ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \Delta _{X}:=\{(x,x):x\in X\}}$$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \Delta _{X}(N):=\{(x,y)\in X\times X:x-y\in N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times \{y\}]=\Delta _{X}+(N\times \{0\})}$$

Для топологической группы каноническая однородность ^[21] на есть однородная структура, индуцированная множеством всех канонических окружений как рангов по всем окрестностям в ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Delta (N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

То есть, это замыкание вверх следующего предварительного фильтра, где этот предварительный фильтр формирует то, что известно как база окружения канонического единообразия. ${\displaystyle X\times X,}$ $${\displaystyle \left\{\Delta (N):N{\text{ is a neighborhood of }}0{\text{ in }}X\right\}}$$

Для коммутативной аддитивной группы фундаментальная система окружений называется трансляционно-инвариантной однородностью, если для каждого тогда и только тогда, когда для всех Однородность называется трансляционно-инвариантной, если она имеет базу окружений, которая является трансляционно-инвариантной. ^[22] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (x,y)\in B}$ ${\displaystyle (x+z,y+z)\in B}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

• Каноническая однородность на любой коммутативной топологической группе инвариантна относительно трансляции.
• Такая же каноническая однородность была бы получена при использовании базиса окрестностей начала координат вместо фильтра всех окрестностей начала координат.
• Каждый антураж содержит диагональ, потому что ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}:=\Delta _{X}(\{0\})=\{(x,x):x\in X\}}$ ${\displaystyle 0\in N.}$
• Если симметрично (то есть, ), то симметрично (то есть, ) и ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle -N=N}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)^{\operatorname {op} }=\Delta _{X}(N)}$ ${\displaystyle \Delta _{X}(N)\circ \Delta _{X}(N)=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in X{\text{ such that }}x,z\in y+N\}=\bigcup _{y\in X}[(y+N)\times (y+N)]=\Delta _{X}+(N\times N).}$
• Топология, индуцированная канонической однородностью, та же самая, что и исходная топология (то есть, это ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$

Предварительные фильтры и сети Коши

Общая теория равномерных пространств имеет собственное определение «предфильтра Коши» и «сети Коши». Для канонической равномерности на них сводится определение, описанное ниже. ${\displaystyle X,}$

Предположим, что является сетью в и является сетью в Сделать направленным множеством, объявив, если и только если Тогда ^[23] обозначает произведение net . Если то образ этой сети под картой сложения обозначает сумму этих двух сетей: и аналогично их разность определяется как образ произведения net под картой вычитания: ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle I\times J}$ ${\displaystyle (i,j)\leq \left(i_{2},j_{2}\right)}$ ${\displaystyle i\leq i_{2}{\text{ and }}j\leq j_{2}.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\times y_{\bullet }:=\left(x_{i},y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$ ${\displaystyle X=Y}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ $${\displaystyle x_{\bullet }+y_{\bullet }:=\left(x_{i}+y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}}$$ $${\displaystyle x_{\bullet }-y_{\bullet }:=\left(x_{i}-y_{j}\right)_{(i,j)\in I\times J}.}$$

Сеть в аддитивной топологической группе называется сетью Коши, если [ ^24] или, что эквивалентно, если для каждой окрестности в существует такая , что для всех индексов ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right)_{(i,j)\in I\times I}\to 0{\text{ in }}X}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle i_{0}\in I}$ ${\displaystyle x_{i}-x_{j}\in N}$ ${\displaystyle i,j\geq i_{0}.}$

Последовательность Коши — это сеть Коши, которая является последовательностью.

Если является подмножеством аддитивной группы и является множеством, содержащим , то говорят, что это -малое множество или малое множество порядка , если ^[25] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N.}$

Предварительный фильтр на аддитивной топологической группе называется предварительным фильтром Коши, если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}\to 0}$где находится предварительный фильтр. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}:=\{B-C:B,C\in {\mathcal {B}}\}}$
2. ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}\to 0}$где есть предварительный фильтр , эквивалентный ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{B-B:B\in {\mathcal {B}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}-{\mathcal {B}}.}$
3. Для каждой окрестности в содержит некоторое -малое множество (то есть существует такое, что ) . ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B-B\subseteq N}$

и если коммутативно, то также: ${\displaystyle X}$

4. Для каждой окрестности в существуют некоторые и некоторые такие, что ^[25] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq x+N.}$

• Достаточно проверить любое из вышеперечисленных условий для любого заданного базиса соседства в ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X.}$

Предположим, что является предфильтром на коммутативной топологической группе и Тогда в том и только том случае, если и является Коши. ^[23] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Полная коммутативная топологическая группа

Напомним, что для любого предварительный фильтр обязательно является подмножеством ; то есть, ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \wp (S)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S).}$

Подмножество топологической группы называется полным подмножеством, если оно удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

1. Каждый предварительный фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq \wp (S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
   • Если является хаусдорфовым, то каждый предварительный фильтр на будет сходиться не более чем к одной точке Но если не является хаусдорфовым, то предварительный фильтр может сходиться к нескольким точкам в То же самое верно и для сетей. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Каждая сеть Коши в сходится по крайней мере к одной точке ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$
3. Каждый фильтр Коши сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$
4. ${\displaystyle S}$является полным равномерным пространством (в соответствии с определением « полного равномерного пространства » в топологии точечной топологии ), когда наделено однородностью, индуцированной на нем канонической однородностью ; ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Подмножество называется последовательно полным подмножеством, если каждая последовательность Коши в (или, что эквивалентно, каждый элементарный фильтр Коши/предварительный фильтр в ) сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$

• Важно отметить, что сходимость вне допускается ${\displaystyle S}$ : если не является хаусдорфовой и если каждый предварительный фильтр Коши на сходится к некоторой точке из , то будет полным, даже если некоторые или все предварительные фильтры Коши на также сходятся к точкам в дополнении. Короче говоря, нет требования, чтобы эти предварительные фильтры Коши на сходились только к точкам в То же самое можно сказать и о сходимости сетей Коши в ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle S.}$
  • Как следствие, если коммутативная топологическая группа не является хаусдорфовой , то каждое подмножество замыкания say является полным (поскольку оно, очевидно, компактно, а каждое компактное множество обязательно является полным). Так, в частности, если (например, если a — одноэлементное множество, такое как ), то будет полным, даже если каждая сеть Коши в (и каждый предварительный фильтр Коши в ), сходится к каждой точке в (включая те точки в , которые не находятся в ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\},}$ ${\displaystyle S\subseteq \operatorname {cl} \{0\},}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$
  • Этот пример также показывает, что полные подмножества (даже компактные подмножества) нехаусдорфова пространства могут быть не замкнутыми (например, если то замкнуто тогда и только тогда, когда ). ${\displaystyle \varnothing \neq S\subseteq \operatorname {cl} \{0\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {cl} \{0\}}$

Коммутативная топологическая группа называется полной группой, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий: ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$является полным как подмножество самого себя.
2. Каждая сеть Коши в сходится по крайней мере к одной точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Существует окрестность в , которая также является полным подмножеством ^[25] ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
   • Это означает, что каждая локально компактная коммутативная топологическая группа является полной.
4. Наделенное канонической однородностью, становится полным однородным пространством . ${\displaystyle X}$
   • В общей теории равномерных пространств равномерное пространство называется полным равномерным пространством, если каждый фильтр Коши в сходится в к некоторой точке ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X.}$

Топологическая группа называется последовательно полной , если она является своим последовательно полным подмножеством.

Базис соседства : Предположим, что является пополнением коммутативной топологической группы с и что является базисом соседства начала координат в Тогда семейство множеств является базисом соседства в начале координат в ^[23] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\subseteq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X.}$ $${\displaystyle \left\{\operatorname {cl} _{C}N:N\in {\mathcal {N}}\right\}}$$ ${\displaystyle C.}$

Равномерная непрерывность

Пусть и будут топологическими группами, а будет отображением. Тогда равномерно непрерывно, если для каждой окрестности начала координат в существует окрестность начала координат в такая, что для всех , то ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle D\subseteq X,}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle f:D\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x,y\in D,}$ ${\displaystyle y-x\in U}$ ${\displaystyle f(y)-f(x)\in V.}$

Обобщения

Различные обобщения топологических групп можно получить, ослабляя условия непрерывности: ^[26]

• Полутопологическая группа — это группа G с топологией, такой что для каждого c ∈ G две функции G → G, определяемые соотношениями x ↦ xc и x ↦ cx , непрерывны.
• Квазитопологическая группа — это полутопологическая группа, в которой функция, отображающая элементы в их обратные, также непрерывна.
• Паратопологическая группа — это группа с такой топологией, что групповая операция непрерывна.

Смотрите также

• Алгебраическая группа  – Алгебраическое многообразие с групповой структурой
• Полное поле  – алгебраическая структура, полная относительно метрики.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Компактная группа  – Топологическая группа с компактной топологией
• Полное топологическое векторное пространство  – TVS, в котором точки, которые постепенно приближаются друг к другу, всегда сходятся в точку
• Группа Ли  – группа, которая также является дифференцируемым многообразием с гладкими групповыми операциями.
• Локально компактное поле
• Локально компактная группа  – топологическая группа, для которой базовая топология локально компактна и хаусдорфова, так что можно определить меру Хаара.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Локально компактная квантовая группа  – относительно новый C*-алгебраический подход к квантовым группамPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Проконечная группа  – топологическая группа, которая в определенном смысле собрана из системы конечных групп.
• Упорядоченное топологическое векторное пространство
• Топологическая абелева группа  – топологическая группа, группа которой абелеваPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое поле  – алгебраическая структура со сложением, умножением и делениемPages displaying short descriptions of redirect targets
• Топологический модуль
• Топологическое кольцо  – кольцо, в котором операции кольца непрерывны.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическая полугруппа  – полугруппа с непрерывной операциейPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Топологическое векторное пространство  – векторное пространство с понятием близости

Примечания

1. т.е. Непрерывность означает, что для любого открытого множества U ⊆ G , f ⁻¹ ( U ) открыто в области dom f множества f .

Цитаты

1. Понтрягин 1946, стр. 52.
2. Хьюитт и Росс 1979, стр. 1.
3. Армстронг 1997, стр. 73; Бредон 1997, стр. 51
4. Narici & Beckenstein 2011, стр. 19–45.
5. Бурбаки 1998, раздел III.3.
6. Бурбаки 1998, раздел III.2.7.
7. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 1.22.
8. Страбл, Раймонд А. (1974). «Метрики в локально компактных группах». Compositio Mathematica . 28 (3): 217–222.
9. Хаагеруп, Уффе; Пржибышевска, Агата (2006), Правильные метрики на локально компактных группах и правильные аффинные изометрические действия на , CiteSeerX 10.1.1.236.827 
10. Бурбаки 1998, раздел III.2.5.
11. Бурбаки 1998, раздел I.11.5.
12. Бурбаки 1998, раздел III.2.8.
13. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 4.10.
14. Монтгомери и Зиппин 1955, раздел 4.6.
15. Бурбаки 1998, раздел III.4.6.
16. Хьюитт и Росс 1970, Теорема 27.40.
17. Макки 1976, раздел 2.4.
18. Банащик 1983.
19. Хэтчер 2001, Теорема 4.66.
20. Хэтчер 2001, Теорема 3C.4.
21. Эдвардс 1995, стр. 61.
22. Шефер и Вольф 1999, стр. 12–19.
23. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 47–66.
24. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 48.
25. Наричи и Бекенштейн 2011, стр. 48–51.
26. Архангельский и Ткаченко 2008, с. 12.

Ссылки

• Архангельский, Александр ; Ткаченко, Михаил (2008). Топологические группы и родственные им структуры . World Scientific . ISBN 978-90-78677-06-2. МР  2433295.
• Армстронг, Марк А. (1997). Базовая топология (1-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-90839-0. МР  0705632.
• Банащик, Войцех (1983), «О существовании экзотических групп Банаха – Ли», Mathematische Annalen , 264 (4): 485–493, doi : 10.1007/BF01456956, MR  0716262, S2CID  119755117
• Бурбаки, Николас (1998), Общая топология. Главы 1–4 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-64241-2, г-н  1726779
• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press , ISBN 0-8493-8490-7
• Бредон, Глен Э. (1997). Топология и геометрия . Graduate Texts in Mathematics (1-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-97926-3. МР  1700700.
• Хэтчер, Аллен (2001), Алгебраическая топология, Cambridge University Press , ISBN 0-521-79540-0, г-н  1867354
• Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC  30593138.
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1979), Абстрактный гармонический анализ , т. 1 (2-е изд.), Springer-Verlag , ISBN 978-0387941905, МР  0551496
• Хьюитт, Эдвин ; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , т. 2, Springer-Verlag , ISBN 978-0387048321, МР  0262773
• Макки, Джордж У. (1976), Теория представлений унитарных групп , Издательство Чикагского университета , ISBN 0-226-50051-9, МР  0396826
• Монтгомери, Дин ; Зиппин, Лео (1955), Топологические группы преобразований , Нью-Йорк, Лондон: Interscience Publishers , MR  0073104
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Понтрягин, Леон (1946). Топологические группы . Princeton University Press .
• Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . перевод с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Нью-Йорк: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 2-88124-133-6. МР  0201557.
• Портеус, Ян Р. (1981). Топологическая геометрия (2-е изд.). Cambridge University Press . ISBN 0-521-23160-4. МР  0606198.
• Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.