Теорема Больцано–Вейерштрасса

Ограниченная последовательность в конечномерном евклидовом пространстве имеет сходящуюся подпоследовательность

В математике , в частности в вещественном анализе , теорема Больцано–Вейерштрасса , названная в честь Бернарда Больцано и Карла Вейерштрасса , является фундаментальным результатом о сходимости в конечномерном евклидовом пространстве . Теорема утверждает, что каждая бесконечная ограниченная последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность . ^[1] Эквивалентная формулировка состоит в том, что подмножество из является последовательно компактным тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено . ^[2] Эту теорему иногда называют теоремой о последовательной компактности . ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

История и значение

Теорема Больцано–Вейерштрасса названа в честь математиков Бернарда Больцано и Карла Вейерштрасса . Впервые она была доказана Больцано в 1817 году как лемма в доказательстве теоремы о промежуточном значении . Примерно пятьдесят лет спустя результат был признан значимым сам по себе и снова доказан Вейерштрассом. С тех пор она стала важнейшей теоремой анализа .

Доказательство

Сначала мы докажем теорему для (множество всех действительных чисел ), в этом случае упорядочение на может быть использовано с пользой. Действительно, мы имеем следующий результат: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Лемма : Каждая бесконечная последовательность в имеет бесконечную монотонную подпоследовательность (подпоследовательность, которая либо не убывает , либо не возрастает ). ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Доказательство ^[4] : ​​Назовем положительный целочисленный индекс последовательности «пиком» последовательности, когда для каждого . Предположим сначала, что последовательность имеет бесконечно много пиков, что означает, что существует подпоследовательность со следующими индексами и следующими членами . Итак, бесконечная последовательность в имеет монотонную (невозрастающую) подпоследовательность, которая есть . Но предположим теперь, что существует только конечное число пиков, пусть будет конечным пиком, если он существует (пусть в противном случае) и пусть первый индекс новой подпоследовательности будет установлен равным . Тогда не является пиком, так как следует после конечного пика, что подразумевает существование с и . Опять же, следует после конечного пика, следовательно, существует , где с . Повторение этого процесса приводит к бесконечной неубывающей подпоследовательности  , тем самым доказывая, что каждая бесконечная последовательность в имеет монотонную подпоследовательность. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{m}\leq x_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\geq x_{n_{2}}\geq x_{n_{3}}\geq \dots \geq x_{n_{j}}\geq \dots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N=0}$ ${\displaystyle (x_{n_{j}})}$ ${\displaystyle n_{1}=N+1}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}<x_{n_{2}}}$ ${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$ ${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$ ${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Теперь предположим, что имеется ограниченная последовательность в ; по доказанной выше лемме существует монотонная подпоследовательность, также ограниченная. Из теоремы о монотонной сходимости следует , что эта подпоследовательность сходится. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Общий случай ( ) можно свести к случаю . Во-первых, мы признаем, что последовательность (в или ) имеет сходящуюся подпоследовательность тогда и только тогда, когда существует счетное множество, где — индексное множество последовательности, такое что сходится. Пусть — любая ограниченная последовательность в , и обозначим ее индексное множество через . Последовательность может быть выражена как n-кортеж последовательностей в , такой что где — последовательность для . Поскольку ограничено, ограничено и для . Из этого следует, что по лемме , которая имеет сходящуюся подпоследовательность и, следовательно, существует счетное множество, такое что сходится. Для последовательности , применяя лемму еще раз, существует счетное множество, такое что сходится и, следовательно, имеет сходящуюся подпоследовательность. Это рассуждение можно применять до тех пор, пока мы не получим счетное множество , для которого сходится для . Следовательно, сходится и, следовательно, поскольку было произвольным, любая ограниченная последовательность в имеет сходящуюся подпоследовательность. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in K}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{n}=(x_{n1},x_{n2},\dots ,x_{nn})}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n1})}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq I}$ ${\displaystyle (x_{n1})_{n\in K_{1}}}$ ${\displaystyle (x_{n2})}$ ${\displaystyle K_{2}\subseteq K_{1}\subseteq I}$ ${\displaystyle (x_{n2})_{n\in K_{2}}}$ ${\displaystyle (x_{n2})}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle (x_{nj})}$ ${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$ ${\displaystyle (x_{n})_{n\in K_{n}}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Альтернативное доказательство

Существует также альтернативное доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса с использованием вложенных интервалов . Начнем с ограниченной последовательности : ${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  Поскольку является ограниченной, эта последовательность имеет нижнюю границу и верхнюю границу . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$
• 
  В качестве первого интервала для последовательности вложенных интервалов возьмем . ${\displaystyle I_{1}=[s,S]}$
• 
  Затем мы разделяем его посередине на два равных по размеру подынтервала. ${\displaystyle I_{1}}$
• 
  Поскольку каждая последовательность имеет бесконечно много членов, должен быть (по крайней мере) один из этих подынтервалов, содержащий бесконечно много членов . Мы принимаем этот подынтервал как второй интервал последовательности вложенных интервалов. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Затем мы снова разделяем его посередине на два равных по размеру подынтервала. ${\displaystyle I_{2}}$
• 
  Опять же, один из этих подынтервалов содержит бесконечно много членов . Мы принимаем этот подынтервал как третий подынтервал последовательности вложенных интервалов. ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle I_{3}}$
• 
  Продолжаем этот процесс бесконечно много раз. Таким образом, получаем последовательность вложенных интервалов.

Поскольку мы уменьшаем длину интервала вдвое на каждом шаге, предел длины интервала равен нулю. Также, по теореме о вложенных интервалах , которая гласит, что если каждый из них является замкнутым и ограниченным интервалом, скажем ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle I_{n}=[a_{n},\,b_{n}]}$

с

${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$

то при условии вложенности пересечение не пусто. Таким образом, существует число , которое находится в каждом интервале . Теперь мы показываем, что является точкой накопления . ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

Возьмем окрестность . Поскольку длина интервалов сходится к нулю, существует интервал , который является подмножеством . Поскольку содержит по построению бесконечно много членов и , также содержит бесконечно много членов . Это доказывает, что является точкой накопления . Таким образом, существует подпоследовательность , которая сходится к . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I_{N}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle I_{N}\subseteq U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$

Секвенциальная компактность в евклидовых пространствах

Определение: Множество является последовательно компактным , если каждая последовательность из имеет сходящуюся подпоследовательность, сходящуюся к элементу из . ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Теорема: является последовательно компактным тогда и только тогда, когда замкнуто и ограничено. ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство: ( секвенциальная компактность подразумевает замкнутость и ограниченность)

Предположим, что является подмножеством со свойством, что каждая последовательность в имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу из . Тогда должно быть ограничено, так как в противном случае может быть построена следующая неограниченная последовательность . Для каждого определим как любую произвольную точку такую, что . Тогда каждая подпоследовательность из является неограниченной и, следовательно, не сходящейся. Более того, должно быть замкнуто, так как любая предельная точка из , которая имеет последовательность точек в , сходящуюся к себе, должна также лежать в . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle ||x_{n}||\geq n}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Доказательство: (замкнутость и ограниченность подразумевают последовательную компактность )

Так как ограничено, то любая последовательность также ограничена. Из теоремы Больцано-Вейерштрасса , содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке . Так как является предельной точкой и является замкнутым множеством , должно быть элементом . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}\in A}$ ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$

Таким образом, подмножества , для которых каждая последовательность в A имеет подпоследовательность, сходящуюся к элементу , т.е. подмножества, которые последовательно компактны в топологии подпространства  , являются в точности замкнутыми и ограниченными подмножествами. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A}$

Эта форма теоремы особенно ясно показывает аналогию с теоремой Гейне–Бореля , которая утверждает, что подмножество компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Фактически, общая топология говорит нам, что метризуемое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно секвенциально компактно, так что теоремы Больцано–Вейерштрасса и Гейне–Бореля по сути одинаковы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Применение в экономике

В экономике существуют различные важные концепции равновесия , доказательства существования которых часто требуют вариаций теоремы Больцано–Вейерштрасса. Одним из примеров является существование распределения , эффективного по Парето . Распределение представляет собой матрицу потребительских наборов для агентов в экономике, и распределение является эффективным по Парето, если в него нельзя внести никаких изменений, которые ухудшат положение ни одного агента и улучшат положение хотя бы одного агента (здесь строки матрицы распределения должны быть ранжируемы по отношению предпочтения ). Теорема Больцано–Вейерштрасса позволяет доказать, что если множество распределений компактно и непусто , то система имеет распределение, эффективное по Парето.

Смотрите также

• Последовательно компактное пространство
• Теорема Гейне–Бореля
• Полнота действительных чисел
• Вариационный принцип Экланда

Примечания

1. Бартл и Шерберт 2000, стр. 78 (для R ).
2. Фицпатрик 2006, стр. 52 (для R ), стр. 300 (для R ⁿ ).
3. Фицпатрик 2006, стр. xiv.
4. Бартл и Шерберт 2000, стр. 78-79.

Ссылки

• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: J. Wiley. ISBN 9780471321484.
• Фицпатрик, Патрик М. (2006). Advanced Calculus (2-е изд.). Белмонт, Калифорния: Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.

Внешние ссылки

• «Теорема Больцано-Вейерштрасса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса
• PlanetMath: доказательство теоремы Больцано–Вейерштрасса
• Больцано-Вейерштрасс Рэп