Теорема Боттема

Теорема о середине линии, соединяющей квадраты на двух сторонах треугольника

Построение теоремы Боттема: изменение местоположения вершины изменяет местоположение вершин , но не меняет местоположение их середины. ${\textstyle C}$ ${\textstyle E}$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle M}$

Теорема Боттемы — теорема плоской геометрии голландского математика Оэне Боттемы ( Гронинген , 1901–1992). ^[1]

Теорему можно сформулировать следующим образом: в любом заданном треугольнике постройте квадраты на любых двух смежных сторонах, например и . Середина отрезка прямой , соединяющего вершины квадратов, противоположные общей вершине, , двух сторон треугольника, не зависит от местоположения . ^[2] ${\textstyle ABC}$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle BC}$ ${\textstyle C}$ ${\textstyle C}$

Теорема верна, если квадраты построены одним из следующих способов:

• Глядя на рисунок, начиная с нижней левой вершины, пройдите по вершинам треугольника по часовой стрелке и постройте квадраты слева от сторон треугольника. ${\textstyle A}$
• Продолжайте треугольник таким же образом и постройте квадраты справа от сторон треугольника.

Если — проекция на , то . ${\textstyle S}$ ${\textstyle M}$ ${\textstyle AB}$ ${\textstyle AS=BS=MS}$

Если квадраты заменить правильными многоугольниками того же типа, то получится обобщенная теорема Боттема: ^[3]

В любом заданном треугольнике построим два правильных многоугольника по двум сторонам и . Возьмем точки и на описанных окружностях многоугольников, которые диаметрально противоположны общей вершине . Тогда середина отрезка не зависит от местоположения . ${\textstyle ABC}$ ${\textstyle AC}$ ${\textstyle BC}$ ${\displaystyle D_{1}}$ ${\displaystyle D_{2}}$ ${\textstyle C}$ ${\displaystyle D_{1}D_{2}}$ ${\textstyle C}$

Смотрите также

• Теорема Ван Аубеля
• Теорема Наполеона

Ссылки

1. Koetsier, T. (2007). "Oene Bottema (1901–1992)". В Ceccarelli, M. (ред.). Distinguished Figures in Mechanism and Machine Science . History of Mechanism and Machine Science. Vol. 1. Dordrecht: Springer . pp. 61–68. doi :10.1007/978-1-4020-6366-4_3. ISBN 978-1-4020-6365-7.
2. Шрики, А. (2011), «Назад на Остров Сокровищ», Учитель математики , 104 (9): 658–664, JSTOR  20876991.
3. Месхишвили, М. (2022), «Два правильных многоугольника с общей вершиной», Сообщения по математике и приложениям , 13 (2): 435–447

Внешние ссылки

• Теорема Боттема: что это такое?
• Демонстрационный проект Wolfram – Теорема Боттемы
• Проект демонстраций GeoGebra - Обобщенная теорема - Равносторонние треугольники
• Проект демонстраций GeoGebra - Обобщенная теорема - Правильные пятиугольники