Теорема Брауэра о индуцированных характерах

Фундаментальный результат в области математики, известной как теория характеров.

Теорема Брауэра об индуцированных характерах , часто известная как теорема индукции Брауэра и названная в честь Ричарда Брауэра , является основным результатом в разделе математики, известном как теория характеров , в рамках теории представлений конечной группы . ^{[ требуется ссылка ]}

Фон

Предшественником индукционной теоремы Брауэра была индукционная теорема Артина , которая утверждает, что | G |, умноженное на тривиальный характер группы G , представляет собой целочисленную комбинацию характеров, каждый из которых индуцируется из тривиальных характеров циклических подгрупп группы G. Теорема Брауэра устраняет множитель | G |, но за счет расширения набора используемых подгрупп. Через несколько лет после появления доказательства теоремы Брауэра JA Green показал (в 1955 году), что никакая подобная индукционная теорема (с целочисленными комбинациями характеров, индуцируемых из линейных характеров) не может быть доказана с набором подгрупп, меньшим, чем элементарные подгруппы Брауэра. ^{[ необходима цитата ]}

Другой результат между теоремой индукции Артина и теоремой индукции Брауэра, также принадлежащий Брауэру и также известный как теорема Брауэра или лемма Брауэра, заключается в том, что регулярное представление G можно записать в виде , где являются положительными рациональными числами , а индуцируются из характеров циклических подгрупп G. Обратите внимание, что в теореме Артина характеры индуцируются из тривиального характера циклической группы, тогда как здесь они индуцируются из произвольных характеров (в приложениях к функциям L Артина важно, чтобы группы были циклическими, и, следовательно, все характеры были линейными, учитывая, что соответствующие функции L являются аналитическими). ^​​[1] ${\displaystyle 1+\sum \lambda _{i}\rho _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \rho _{i}}$

Заявление

Пусть G — конечная группа , и пусть Char( G ) обозначает подкольцо кольца комплекснозначных функций класса G , состоящее из целочисленных комбинаций неприводимых характеров . Char( G ) известно как кольцо характеров G , а его элементы известны как виртуальные характеры (альтернативно, как обобщенные характеры или иногда характеры разности ). Это кольцо в силу того факта, что произведение характеров G снова является характером G. Его умножение задается поэлементным произведением функций класса. ^{[ необходима цитата ]}

Индукционная теорема Брауэра показывает, что кольцо характеров может быть порождено (как абелева группа ) индуцированными характерами вида , где H пробегает подгруппы группы G , а λ пробегает линейные характеры (имеющие степень 1) группы H . ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle \lambda _{H}^{G}}$

Фактически, Брауэр показал, что подгруппы H могут быть выбраны из очень ограниченного набора, который теперь называется элементарными подгруппами Брауэра . Это прямые произведения циклических групп и групп, порядок которых является степенью простого числа. ^{[ необходима цитата ]}

Доказательства

Доказательство индукционной теоремы Брауэра использует кольцевую структуру Char( G ) (большинство доказательств также используют немного большее кольцо Char*(G), которое состоит из -комбинаций неприводимых характеров, где ω - примитивный комплекс | G |-й корень из единицы). Множество целочисленных комбинаций характеров, индуцированных из линейных характеров элементарных подгрупп Брауэра, является идеалом I ( G ) Char( G ), поэтому доказательство сводится к показу того, что тривиальный характер принадлежит I ( G ). Несколько доказательств теоремы, начиная с доказательства Брауэра и Джона Тейта , показывают, что тривиальный характер принадлежит аналогично определенному идеалу I *( G ) Char*( G ), концентрируя внимание на одном простом числе p за раз и строя целочисленные элементы I *( G ), которые отличаются (поэлементно) от тривиального характера на (целые кратные) достаточно высокой степени p. Как только это достигнуто для каждого простого делителя | G |, некоторые манипуляции с конгруэнциями и алгебраическими целыми числами , снова используя тот факт, что I *( G ) является идеалом Ch*( G ), помещают тривиальный характер в I ( G ). Вспомогательный результат здесь заключается в том, что -значная классовая функция лежит в идеале I *( G ), если все ее значения делятся (в ) на | G |. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

Теорема индукции Брауэра была доказана в 1946 году, и сейчас существует множество альтернативных доказательств. В 1986 году Виктор Снайт дал доказательство с помощью радикально иного подхода, топологического по своей природе (применение теоремы Лефшеца о неподвижной точке ). Имеются недавние работы по вопросу нахождения естественных и явных форм теоремы Брауэра, в частности, Роберта Больтье.

Приложения

Используя взаимность Фробениуса , индукционная теорема Брауэра легко приводит к его фундаментальной характеристике характеров , которая утверждает, что комплекснозначная классовая функция группы G является виртуальным характером тогда и только тогда, когда ее ограничение на каждую элементарную подгруппу Брауэра группы G является виртуальным характером. Этот результат, вместе с тем фактом, что виртуальный характер θ является неприводимым характером тогда и только тогда, когда θ(1) > 0 и (где — обычное скалярное произведение на кольце комплекснозначных классовых функций ), дает способ построения неприводимых характеров без явного построения соответствующих представлений. ${\displaystyle \langle \theta ,\theta \rangle =1}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$

Первоначальной мотивацией для индукционной теоремы Брауэра было применение к L-функциям Артина . Она показывает, что они построены из L-функций Дирихле или более общих L-функций Гекке . Чрезвычайно важным для этого применения является то, является ли каждый характер группы G неотрицательной целочисленной комбинацией характеров, индуцированных из линейных характеров подгрупп. В общем случае это не так. Фактически, по теореме Такеты, если все характеры группы G так выразимы, то G должна быть разрешимой группой (хотя разрешимость сама по себе не гарантирует таких выражений — например, разрешимая группа SL(2,3) имеет неприводимый комплексный характер степени 2, который не выразим как неотрицательная целочисленная комбинация характеров, индуцированных из линейных характеров подгрупп). Составной частью доказательства индукционной теоремы Брауэра является то, что когда G является конечной нильпотентной группой , каждый комплексный неприводимый характер группы G индуцируется из линейного характера некоторой подгруппы.

Ссылки

• Айзекс, И. М. (1994) [1976]. Теория характеров конечных групп . Дувр. ISBN 0-486-68014-2. Збл  0849.20004.Исправленное переиздание оригинала 1976 года, опубликованное Academic Press. Zbl  0337.20005

Дальнейшее чтение

• Snaith, VP (1994). Явная индукция Брауэра: с приложениями к алгебре и теории чисел . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 40. Cambridge University Press . ISBN 0-521-46015-8. Збл  0991.20005.

Примечания

1. Серж Ланг, Алгебраическая теория чисел , приложение к главе XVI