Разрывы монотонных функций

Монотонные карты имеют счетные разрывы

В математической области анализа хорошо известная теорема описывает множество разрывов монотонной действительной функции действительной переменной; все разрывы такой (монотонной) функции обязательно являются скачкообразными разрывами , и их существует не более счетного числа .

Обычно эта теорема появляется в литературе без названия. В некоторых недавних работах она называется теоремой Фроды ; в своей диссертации 1929 года Александру Фрода заявил, что результат был ранее хорошо известен, и предоставил собственное элементарное доказательство для удобства. ^[1] Предшествующие работы по разрывам уже обсуждались в мемуарах 1875 года французского математика Жана Гастона Дарбу . ^[2]

Определения

Обозначим предел слева через , а предел справа через $${\displaystyle f\left(x^{-}\right):=\lim _{z\nearrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x-h)}$$ $${\displaystyle f\left(x^{+}\right):=\lim _{z\searrow x}f(z)=\lim _{\stackrel {h\to 0}{h>0}}f(x+h).}$$

Если и существуют и конечны, то разность называется скачком ^[3 ] при ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x.}$

Рассмотрим действительную функцию действительной переменной, определенную в окрестности точки Если разрывна в точке , то разрыв будет устранимым разрывом , или существенным разрывом , или разрывом скачка (также называемым разрывом первого рода ). ^[4] Если функция непрерывна в , то скачок в равен нулю. Более того, если не непрерывна в , скачок может быть равен нулю в , если ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f\left(x^{+}\right)=f\left(x^{-}\right)\neq f(x).}$

Точное утверждение

Пусть — действительная монотонная функция, определенная на интервале Тогда множество разрывов первого рода не более чем счетно . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Можно доказать ^{[5] [3]} , что все точки разрыва монотонной действительной функции, определенной на интервале, являются скачкообразными разрывами и, следовательно, по нашему определению, первого рода. С этим замечанием теорема принимает более сильную форму:

Пусть — монотонная функция, определенная на интервале Тогда множество точек разрыва не более чем счетно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I.}$

Доказательства

Это доказательство начинается с доказательства частного случая, когда область определения функции представляет собой замкнутый и ограниченный интервал ^{[6] [7].} Доказательство общего случая следует из этого частного случая. ${\displaystyle [a,b].}$

Доказательство, когда область замкнута и ограничена

Приведены два доказательства этого особого случая.

Доказательство 1

Пусть будет интервалом и пусть будет неубывающей функцией (например, возрастающей функцией). Тогда для любого Пусть и пусть будут точками внутри , в которых скачок больше или равен : ${\displaystyle I:=[a,b]}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a<x<b,}$ $${\displaystyle f(a)~\leq ~f\left(a^{+}\right)~\leq ~f\left(x^{-}\right)~\leq ~f\left(x^{+}\right)~\leq ~f\left(b^{-}\right)~\leq ~f(b).}$$ ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\geq \alpha ,\ i=1,2,\ldots ,n}$$

Для любого так что Следовательно, и, следовательно, ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{i}^{+}\right)\leq f\left(x_{i+1}^{-}\right)}$ ${\displaystyle f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\geq 0.}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f(b)-f(a)&\geq f\left(x_{n}^{+}\right)-f\left(x_{1}^{-}\right)\\&=\sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]+\sum _{i=1}^{n-1}\left[f\left(x_{i+1}^{-}\right)-f\left(x_{i}^{+}\right)\right]\\&\geq \sum _{i=1}^{n}\left[f\left(x_{i}^{+}\right)-f\left(x_{i}^{-}\right)\right]\\&\geq n\alpha \end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle n\leq {\frac {f(b)-f(a)}{\alpha }}.}$

Поскольку у нас есть , то число точек, в которых скачок больше , конечно (возможно, даже равно нулю). ${\displaystyle f(b)-f(a)<\infty }$ ${\displaystyle \alpha }$

Определим следующие множества: $${\displaystyle S_{1}:=\left\{x:x\in I,f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)\geq 1\right\},}$$ $${\displaystyle S_{n}:=\left\{x:x\in I,{\frac {1}{n}}\leq f\left(x^{+}\right)-f\left(x^{-}\right)<{\frac {1}{n-1}}\right\},\ n\geq 2.}$$

Каждое множество конечно или пусто . Объединение содержит все точки, в которых скачок положителен, и, следовательно, содержит все точки разрыва. Поскольку каждое не более чем счетно, их объединение также не более чем счетно. ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S=\bigcup _{n=1}^{\infty }S_{n}}$ ${\displaystyle S_{i},\ i=1,2,\ldots }$ ${\displaystyle S}$

Если не возрастает (или убывает ), то доказательство аналогично. Это завершает доказательство особого случая, когда область определения функции является замкнутым и ограниченным интервалом. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство 2

Итак, пусть — монотонная функция, а обозначим множество всех точек области, в которых функция имеет разрыв (что обязательно является скачком). ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d\in [a,b]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Поскольку имеет скачок разрыва при , то существует некоторое рациональное число , которое лежит строго между ними (в частности, если , то выбрать так, что , в то время как если , то выбрать так, что выполняется ). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle d\in D,}$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)\neq f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right){\text{ and }}f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)<y_{d}<f\left(d^{+}\right)}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle y_{d}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f\left(d^{-}\right)>y_{d}>f\left(d^{+}\right)}$

Теперь будет показано, что если различны, скажем, с то Если то подразумевается , что Если, с другой стороны, то подразумевается , что В любом случае, ${\displaystyle d,e\in D}$ ${\displaystyle d<e,}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$ ${\displaystyle f\nearrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}<f\left(d^{+}\right)\leq f\left(e^{-}\right)<y_{e}.}$ ${\displaystyle f\searrow }$ ${\displaystyle d<e}$ ${\displaystyle f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)}$ ${\displaystyle y_{d}>f\left(d^{+}\right)\geq f\left(e^{-}\right)>y_{e}.}$ ${\displaystyle y_{d}\neq y_{e}.}$

Таким образом, каждый связан с уникальным рациональным числом (иначе говоря, отображение, определяемое как , является инъективным ). Поскольку является счетным, то же самое должно быть верно и для ${\displaystyle d\in D}$ ${\displaystyle D\to \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d\mapsto y_{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle D.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Доказательство общего случая

Предположим, что область определения (монотонной действительной функции) равна объединению счетного числа замкнутых и ограниченных интервалов; скажем, ее область определения равна (никакие требования не предъявляются к этим замкнутым и ограниченным интервалам [ ^a] ). Из доказанного выше частного случая следует, что для каждого индекса ограничение на интервал имеет не более счетного числа разрывов; обозначим это (счетное) множество разрывов через Если имеет разрыв в точке своей области определения, то либо равен конечной точке одного из этих интервалов (то есть ), либо существует некоторый индекс такой, что в этом случае должна быть точка разрыва для (то есть ). Таким образом, множество всех точек , в которых разрывно, является подмножеством , которое является счетным множеством (потому что оно является объединением счетного числа счетных множеств), так что его подмножество также должно быть счетным (потому что каждое подмножество счетного множества счетно). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}:\left[a_{n},b_{n}\right]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in \bigcup _{n}\left[a_{n},b_{n}\right]}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}\in \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}<x_{0}<b_{n},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{\left[a_{n},b_{n}\right]}}$ ${\displaystyle x_{0}\in D_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left\{a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},\ldots \right\}\cup \bigcup _{n}D_{n},}$ ${\displaystyle D}$

В частности, поскольку каждый интервал (включая открытые интервалы и полуоткрытые/закрытые интервалы) действительных чисел можно записать в виде счетного объединения замкнутых и ограниченных интервалов, то любая монотонная вещественная функция, определенная на интервале, имеет не более счетного числа точек разрыва.

Чтобы сделать этот аргумент более конкретным, предположим, что область определения представляет собой интервал , который не является замкнутым и ограниченным (и, следовательно, по теореме Гейне–Бореля не является компактным ). Тогда интервал можно записать как счетное объединение замкнутых и ограниченных интервалов со свойством, что любые два последовательных интервала имеют общую конечную точку : Если тогда где — строго убывающая последовательность такая, что Аналогичным образом, если или если В любом интервале имеется не более счетного числа точек разрыва, и поскольку счетное объединение не более счетных множеств не более счетно, то отсюда следует, что множество всех разрывов не более счетно. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I=\cup _{n=1}^{\infty }I_{n}.}$ ${\displaystyle I=(a,b]{\text{ with }}a\geq -\infty }$ ${\displaystyle I_{1}=\left[\alpha _{1},b\right],\ I_{2}=\left[\alpha _{2},\alpha _{1}\right],\ldots ,I_{n}=\left[\alpha _{n},\alpha _{n-1}\right],\ldots }$ ${\displaystyle \left(\alpha _{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \alpha _{n}\rightarrow a.}$ ${\displaystyle I=[a,b),{\text{ with }}b\leq +\infty }$ ${\displaystyle I=(a,b){\text{ with }}-\infty \leq a<b\leq \infty .}$ ${\displaystyle I_{n},}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

Функции перехода

Примеры. Пусть x ₁ < x ₂ < x ₃ < ⋅⋅⋅ — счетное подмножество компактного интервала [ a , b ] и пусть μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... — положительная последовательность с конечной суммой. Положим

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu _{n}\chi _{[x_{n},b]}(x)}$

где χ _A обозначает характеристическую функцию компактного интервала A . Тогда f является неубывающей функцией на [ a , b ], которая непрерывна, за исключением скачков в точке x _n для n ≥ 1. В случае конечного числа скачков f является ступенчатой ​​функцией . Приведенные выше примеры являются обобщенными ступенчатыми функциями; они являются весьма частными случаями того, что называется скачкообразными функциями или скачковыми функциями. ^{[8] [9]}

В более общем плане анализ монотонных функций изучался многими математиками, начиная с Абеля, Жордана и Дарбу. Согласно Риссу и С.-Надь (1990), заменяя функцию ее отрицательным значением, если это необходимо, следует рассматривать только случай неотрицательных неубывающих функций. Область [ a , b ] может быть конечной или иметь ∞ или −∞ в качестве конечных точек.

Основная задача состоит в построении монотонных функций — обобщающих ступенчатые функции — с разрывами в заданном счетном множестве точек и с заданными разрывами слева и справа в каждой из этих точек. Пусть x _n ( n ≥ 1) лежит в ( a , b ) и возьмем λ ₁ , λ ₂ , λ ₃ , ... и μ ₁ , μ ₂ , μ ₃ , ... неотрицательными с конечной суммой и с λ _n + μ _n > 0 для каждого n . Определим

${\displaystyle f_{n}(x)=0\,\,}$для для ${\displaystyle \,\,x<x_{n},\,\,f_{n}(x_{n})=\lambda _{n},\,\,f_{n}(x)=\lambda _{n}+\mu _{n}\,\,}$ ${\displaystyle \,\,x>x_{n}.}$

Тогда функция скачка , или функция скачка , определяется как

${\displaystyle f(x)=\,\,\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(x)=\,\,\sum _{x_{n}\leq x}\lambda _{n}+\sum _{x_{n}<x}\mu _{n},}$

не убывает на [ a , b ] и непрерывна, за исключением скачков непрерывности в точке x _n для n ≥ 1. ^{[10] [11] [12] [13]}

Чтобы доказать это, заметим, что sup | f _n | = λ _n + μ _n , так что Σ f _n равномерно сходится к f . Переходя к пределу, следует, что

${\displaystyle f(x_{n})-f(x_{n}-0)=\lambda _{n},\,\,\,f(x_{n}+0)-f(x_{n})=\mu _{n},\,\,\,}$и ${\displaystyle \,\,f(x\pm 0)=f(x)}$

если x не является одним из x _n . ^[10]

Наоборот, по теореме Лебега о дифференцировании функция скачка f однозначно определяется следующими свойствами: ^[14] (1) быть неубывающей и неположительной; (2) иметь заданные данные о скачке в точках разрыва x _n ; (3) удовлетворять граничному условию f ( a ) = 0; и (4) иметь нулевую производную почти всюду .

Как поясняется в работе Рисса и С.-Надя (1990), каждая неубывающая неотрицательная функция F может быть однозначно разложена в виде суммы функции скачка f и непрерывной монотонной функции g : функция скачка f строится с использованием данных скачка исходной монотонной функции F , и легко проверить, что g = F − f является непрерывной и монотонной. ^[10]

Смотрите также

• Непрерывная функция  – Математическая функция без резких изменений.
• Ограниченная вариация  – Действительная функция с конечной полной вариацией
• Монотонная функция

Примечания

1. Так, например, эти интервалы не обязательно должны быть попарно непересекающимися , и не требуется, чтобы они пересекались только в конечных точках. Возможно даже, что для всех ${\displaystyle \left[a_{n},b_{n}\right]\subseteq \left[a_{n+1},b_{n+1}\right]}$ ${\displaystyle n}$

Ссылки

1. Фрода, Александр (3 декабря 1929 г.). О распределении свойств голосовых функций переменных (PDF) (Диссертация). Париж: Германн. ЖФМ  55.0742.02.
2. Жан Гастон Дарбу , «Mémoire sur les fonctions» прекращает свое существование, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 2-ème série, t. IV, 1875 г., гл. VI.
3. Николеску, Динкуляну и Маркус 1971, с. 213.
4. Рудин 1964, Определ. 4.26, стр. 81–82.
5. Рудин 1964, Следствие, стр. 83.
6. Апостол 1957, стр. 162–163.
7. Хобсон 1907, стр. 245.
8. Апостол 1957.
9. Рисс и Ш.-Надь 1990.
10. Riesz & Sz.-Nagy 1990, стр. 13–15.
11. Сакс 1937.
12. Натансон 1955.
13. Лоясевич 1988.
14. Более подробную информацию см.
    • Рисс и Ш.-Надь 1990
    • Янг и Янг 1911
    • фон Нейман 1950
    • Боас 1961
    • Липинский 1961
    • Рубль 1963 г.
    • Коморник 2016
15. Беркилл 1951, стр. 10−11.
16. Рубель 1963
17. Коморник 2016
18. Это простой пример того, как покрывающая размерность Лебега применяется в одном действительном измерении; см., например, Эдгар (2008).

Библиография

• Апостол, Том М. (1957). Математический анализ: современный подход к передовому исчислению. Addison-Wesley . стр. 162–163. MR  0087718.
• Боас, Ральф П. младший (1961). «Дифференцируемость скачкообразных функций» (PDF) . Colloq. Math . 8 : 81–82. doi :10.4064/cm-8-1-81-82. MR  0126513.
• Боас, Ральф П. младший (1996). «22. Монотонные функции». Букварь реальных функций. Карус Математические монографии. Том. 13 (Четвертое изд.). МАА . стр. 158–174. ISBN 978-1-61444-013-0.(требуется подписка)
• Беркилл, Дж. К. (1951). Интеграл Лебега. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Том 40. Cambridge University Press . MR  0045196.
• Эдгар, Джеральд А. (2008). «Топологическое измерение». Мера, топология и фрактальная геометрия . Бакалаврские тексты по математике (второе изд.). Springer-Verlag . стр. 85–114. ISBN 978-0-387-74748-4. МР  2356043.
• Гельбаум, Бернард Р.; Олмстед, Джон МХ (1964), «18: Монотонная функция, точки разрыва которой образуют произвольное счетное (возможно, плотное) множество», Контрпримеры в анализе , Серия математики, Сан-Франциско, Лондон, Амстердам: Holden-Day, стр. 28, MR  0169961; перепечатано Dover, 2003
• Хобсон, Эрнест В. (1907). Теория функций действительной переменной и их ряды Фурье. Cambridge University Press . стр. 245.
• Коморник, Вильмош (2016). "4. Монотонные функции". Лекции по функциональному анализу и интегралу Лебега . Universitext. Springer-Verlag . С. 151–164. ISBN 978-1-4471-6810-2. МР  3496354.
• Липинский, Дж. С. (1961). «Простая демонстрация теории на основе функций функций» (PDF) . Коллок. Математика. (на французском языке). 8 (2): 251–255. дои : 10,4064/см-8-2-251-255. МР  0158036.
• Лоясевич, Станислав (1988). "1. Функции ограниченной вариации". Введение в теорию действительных функций. Перевод GH Lawden (Третье изд.). Чичестер: John Wiley & Sons . С. 10–30. ISBN 0-471-91414-2. МР  0952856.
• Натансон, Исидор П. (1955), «III. Функции конечной вариации. Интеграл Стилтьеса», Теория функций действительной переменной, том. 1, перевод Лео Ф. Борона, Нью-Йорк: Фредерик Унгар, стр. 204–206, MR  0067952.
• Николеску, М. ; Динкуляну, Н.; Маркус, С. (1971), Analizà Matematică (на румынском языке), vol. I (4-е изд.), Бухарест: Editura Didactică şi Pedagogică, p. 783, МР  0352352
• Olmsted, John MH (1959), Действительные переменные: Введение в теорию функций , Серия математики Appleton-Century, Нью-Йорк: Appleton-Century-Crofts, Упражнение 29, стр. 59, MR  0117304
• Рисс, Фридьес ; Сз.-Надь, Бела (1990). «Сальтусные функции». Функциональный анализ . Перевод Лео Ф. Борона. Дуврские книги. стр. 13–15. ISBN 0-486-66289-6. МР  1068530.Переиздание оригинала 1955 года.
• Сакс, Станислав (1937). "III. Функции ограниченной вариации и интеграл Лебега-Стилтьеса" (PDF) . Теория интеграла . Математическая монография. Т. VII. Перевод LC Young. Нью-Йорк: GE Stechert. С. 96–98.
• Рубель, Ли А. (1963). «Дифференцируемость монотонных функций» (PDF) . Colloq. Math . 10 (2): 277–279. doi :10.4064/cm-10-2-277-279. MR  0154954.
• Рудин, Уолтер (1964), Принципы математического анализа (2-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, MR  0166310
• фон Нейман, Джон (1950). "IX. Монотонные функции". Функциональные операторы. I. Меры и интегралы . Annals of Mathematics Studies. Том 21. Princeton University Press . С. 63–82. doi :10.1515/9781400881895. ISBN 978-1-4008-8189-5. МР  0032011.
• Янг, Уильям Генри; Янг, Грейс Чисхолм (1911). «О существовании дифференциального коэффициента». Proc. London Math. Soc. 2. 9 (1): 325–335. doi :10.1112/plms/s2-9.1.325.