Теорема Де Гуа

Трехмерный аналог теоремы Пифагора

Тетраэдр с прямым углом в точке O

В математике теорема Де Гуа является трехмерным аналогом теоремы Пифагора, названной в честь Жана Поля де Гуа де Мальвеса . Она гласит, что если тетраэдр имеет прямой угол (как угол куба ) , то квадрат площади грани, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов площадей трех других граней: Теорема Де Гуа может быть применена для доказательства частного случая формулы Герона . ^[1] $${\displaystyle A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}}$$

Обобщения

Теорема Пифагора и теорема де Гуа являются частными случаями ( n = 2, 3 ) общей теоремы о n -симплексах с прямым углом , доказанной П. С. Дончианом и Х. С. М. Коксетером в 1935 году. ^[2] Это, в свою очередь, является частным случаем еще более общей теоремы Дональда Р. Конанта и Уильяма А. Бейера (1974), ^[3], которая может быть сформулирована следующим образом.

Пусть U — измеримое подмножество k -мерного аффинного подпространства ( так что ). Для любого подмножества с ровно k элементами пусть — ортогональная проекция U на линейную оболочку , где и — стандартный базис для . Тогда где — k -мерный объем U , а сумма берется по всем подмножествам с ровно k элементами. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k\leq n}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle U_{I}}$ ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}}$ ${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\sum _{I}\operatorname {vol} _{k}^{2}(U_{I}),}$$ ${\displaystyle \operatorname {vol} _{k}(U)}$ ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$

Теорема Де Гуа и ее обобщение (выше) на n -симплексы с прямыми углами соответствуют особому случаю, когда k  =  n −1 и U является ( n −1)-симплексом в с вершинами на осях координат . Например, предположим, что n = 3 , k = 2 и U является треугольником в с вершинами A , B и C , лежащими на осях -, - и - соответственно. Подмножествами из , содержащими ровно 2 элемента, являются , и . По определению, является ортогональной проекцией на плоскость , поэтому является треугольником с вершинами O , B и C , где O является началом координат . Аналогично, и , поэтому теорема Конанта–Бейера гласит ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle U=\triangle ABC}$ ${\displaystyle x_{2}x_{3}}$ ${\displaystyle U_{\{2,3\}}}$ ${\displaystyle \triangle OBC}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U_{\{1,3\}}=\triangle AOC}$ ${\displaystyle U_{\{1,2\}}=\triangle ABO}$

$${\displaystyle \operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABC)=\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle OBC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle AOC)+\operatorname {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),}$$что является теоремой де Гуа.

Обобщение теоремы де Гуа на n -симплексы с прямыми углами также можно получить как частный случай из формулы детерминанта Кэли–Менгера .

Теорему Де Гуа можно также обобщить на произвольные тетраэдры и пирамиды, подобно тому, как закон косинусов обобщает теорему Пифагора. ^{[4] [5]}

История

Жан Поль де Гуа де Мальвес (1713–1785) опубликовал теорему в 1783 году, но примерно в то же время немного более общая версия была опубликована другим французским математиком, Шарлем де Тенсо д'Амонданом (1746–1818). Однако теорема была известна и гораздо раньше Иоганну Фаульхаберу (1580–1635) и Рене Декарту (1596–1650). ^{[6] [7]}

Смотрите также

• Векторная площадь и проецируемая площадь
• Бивектор

Примечания

1. Леви-Леблон, Жан-Марк (2020). «Теорема косинусов для пирамид». The Mathematical Intelligencer . SpringerLink. doi : 10.1007/s00283-020-09996-8 . S2CID  224956341.
2. Дончиан, PS; Коксетер, HSM (июль 1935 г.). "1142. N-мерное расширение теоремы Пифагора". The Mathematical Gazette . 19 (234): 206. doi :10.2307/3605876. JSTOR  3605876. S2CID  125391795.
3. Дональд Р. Конант и Уильям А. Бейер (март 1974 г.). «Обобщенная теорема Пифагора». The American Mathematical Monthly . 81 (3). Математическая ассоциация Америки: 262–265. doi :10.2307/2319528. JSTOR  2319528.
4. Хейфиц, Александр (2004). «Теорема косинусов для пирамид». The College Mathematics Journal . 35 (5). Математическая ассоциация Америки: 385–388. doi :10.2307/4146849. JSTOR  4146849.
5. Тран, Куанг Хунг (2023-08-02). «Обобщение теоремы де Гуа с векторным доказательством». The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10288-0. ISSN  0343-6993.
6. Вайсштейн, Эрик В. «Теорема де Гуа». Математический мир .
7. Говард Уитли Ивс: Великие моменты в математике (до 1650 г.) . Математическая ассоциация Америки, 1983, ISBN 9780883853108 , S. 37 ( отрывок , стр. 37, в Google Books ) 

Ссылки

• Серхио А. Альварес: ​​Заметка об n-мерной теореме Пифагора, Университет Карнеги-Меллона.
• Халл, Льюис; Перфект, Хейзел; Хединг, Дж. (1978). «62.23 Пифагор в высших измерениях: три подхода». Mathematical Gazette . 62 (421): 206–211. doi :10.2307/3616695. JSTOR  3616695. S2CID  187356402.
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема де Гуа». Математический мир .