Теорема Диксмье–Нг

В функциональном анализе теорема Диксмье –Нг является характеристикой того, когда нормированное пространство на самом деле является дуальным банаховым пространством . Она была доказана Кунг-фу Нг, который назвал ее вариантом теоремы, доказанной ранее Жаком Диксмье . ^{[1] [2]}

Теорема Диксмье-Нг. ^[1] Пусть — нормированное пространство. Следующие условия эквивалентны: ${\displaystyle X}$

1. Существует хаусдорфова локально выпуклая топология на такая, что замкнутый единичный шар , , является -компактным. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$
2. Существует банахово пространство , которое изометрически изоморфно двойственному к . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

То, что 2. подразумевает 1., является применением теоремы Банаха–Алаоглу , устанавливая топологию Weak-* . То, что 1. подразумевает 2., является применением теоремы о биполярности . ${\displaystyle \tau }$

Приложения

Пусть будет точечным метрическим пространством с выделенной точкой, обозначенной . Теорема Диксмье-Нга применяется для того, чтобы показать, что пространство Липшица всех действительнозначных липшицевых функций из в , которые обращаются в нуль в (снабженное константой Липшица в качестве нормы), является дуальным банаховым пространством. ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0_{M}}$ ${\displaystyle {\text{Lip}}_{0}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 0_{M}}$

Ссылки

1. Ng, Kung-fu (декабрь 1971 г.), «О теореме Диксмье», Mathematica Scandinavica , 29 : 279–280, doi :10.7146/math.scand.a-11054
2. Диксмье, Дж. (декабрь 1948 г.), «Sur un theorème de Banach», Duke Mathematical Journal , 15 (4): 1057–1071, doi : 10.1215/s0012-7094-48-01595-6
3. Годфруа, Г.; Калтон, Нью-Джерси (2003), «Банаховы пространства, свободные от Липшица», Studia Mathematica , 159 (1): 121–141, doi :10.4064/sm159-1-6