Теорема Зигмонди

О простых делителях разностей двух n-х степеней

В теории чисел теорема Зигмонди , названная в честь Карла Зигмонди , утверждает, что если — взаимно простые целые числа , то для любого целого числа существует простое число p (называемое примитивным простым делителем ), которое делит и не делит любое положительное целое число , за следующими исключениями: ${\displaystyle a>b>0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$ ${\displaystyle a^{k}-b^{k}}$ ${\displaystyle k<n}$

• ${\displaystyle n=1}$, ; тогда у которого нет простых делителей ${\displaystyle a-b=1}$ ${\displaystyle a^{n}-b^{n}=1}$
• ${\displaystyle n=2}$, степень двойки ; тогда любые нечетные простые множители должны содержаться в , который также является четным ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a^{1}-b^{1})}$ ${\displaystyle a^{1}-b^{1}}$
• ${\displaystyle n=6}$, , ; затем ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a^{6}-b^{6}=63=3^{2}\times 7=(a^{2}-b^{2})^{2}(a^{3}-b^{3})}$

Это обобщает теорему Банга ^[1], которая утверждает, что если и не равно 6, то имеет простой делитель, не делящий ни одно из чисел . ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle 2^{k}-1}$ ${\displaystyle k<n}$

Аналогично, имеет по крайней мере один примитивный простой делитель, за исключением . ${\displaystyle a^{n}+b^{n}}$ ${\displaystyle 2^{3}+1^{3}=9}$

Теорема Зигмонди часто оказывается полезной, особенно в теории групп , где она используется для доказательства того, что различные группы имеют различные порядки, за исключением случаев, когда известно, что они одинаковы. ^{[2] [3]}

История

Теорема была открыта Жигмонди, работавшим в Вене с 1894 по 1925 год.

Обобщения

Пусть будет последовательностью ненулевых целых чисел. Множество Зигмонди, связанное с последовательностью, — это множество ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})=\{n\geq 1:a_{n}{\text{ has no primitive prime divisors}}\}.}$

т. е. множество индексов, такое, что каждое простое число, делящее также делит некоторое для некоторого . Таким образом, теорема Зигмонди подразумевает, что , а теорема Кармайкла утверждает, что множество Зигмонди последовательности Фибоначчи равно , а множество последовательности Пелля равно . В 2001 году Билу, Ханрот и Вотье ^[4] доказали, что в общем случае, если является последовательностью Люка или последовательностью Лемера , то (см. OEIS : A285314 , существует только 13 таких s, а именно 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12, 13, 18, 30). Последовательности Люка и Лемера являются примерами последовательностей делимости . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a^{n}-b^{n})\subset \{1,2,6\}}$ ${\displaystyle \{1,2,6,12\}}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(a_{n})\subseteq \{1\leq n\leq 30\}}$ ${\displaystyle n}$

Известно также, что если — эллиптическая последовательность делимости , то ее множество Зигмонди конечно . ^[5] Однако результат неэффективен в том смысле, что доказательство не дает явной верхней границы для наибольшего элемента в , хотя можно дать эффективную верхнюю границу для числа элементов в . ^[6] ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(W_{n})}$

Смотрите также

• Теорема Кармайкла
• Уилсон-премьер
• постоянная Капрекара
• Малая теорема Ферма
• Теорема Бабчинского
• Палиндромные числа
• Харшадские числа
• Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях

Ссылки

1. А.С. Банг (1886). «Талтеоретический ученый». Тидскрипт для Mathematik . 5. 4 . Mathematica Scandinavica: 70–80. JSTOR  24539988.И Банг, А.С. (1886). «Taltheoretiske Undersøgelser (продолжение, см. стр. 80)». Тидскрипт для Mathematik . 4 : 130–137. JSTOR  24540006.
2. Монтгомери, Х. «Делимость чисел Мерсенна». 17 сентября 2001 г.
3. Артин, Эмиль (август 1955 г.). «Порядки линейных групп». Comm. Pure Appl. Math. 8 (3): 355–365. doi :10.1002/cpa.3160080302.
4. Y. Bilu, G. Hanrot, PM Voutier, Существование примитивных делителей чисел Люка и Лемера, J. ​​Reine Angew. Math. 539 (2001), 75-122
5. JH Silverman, Критерий Вифериха и abc -гипотеза, J. ​​Number Theory 30 (1988), 226-237
6. П. Ингрэм, Дж. Х. Сильверман, Равномерные оценки примитивных делителей в последовательностях эллиптической делимости, Теория чисел, анализ и геометрия , Springer-Verlag, 2010, 233-263.

• К. Жигмонди (1892). «Zur Theorie der Potenzreste». Журнал Monatshefte für Mathematik . 3 (1): 265–284. дои : 10.1007/BF01692444. hdl : 10338.dmlcz/120560 .
• Т.е. Шмид (1927). «Карл Жигмонди». Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 36 : 167–168.
• Моше Ройтман (1997). «О простых числах Зигмонди». Труды Американского математического общества . 125 (7): 1913–1919. doi : 10.1090/S0002-9939-97-03981-6 . JSTOR  2162291.
• Уолтер Фейт (1988). «О больших простых числах Зигмонди». Труды Американского математического общества . 102 (1). Американское математическое общество : 29–36. doi : 10.2307/2046025 . JSTOR  2046025.
• Эверест, Грэм; ван дер Поортен, Альф ; Шпарлинский, Игорь; Уорд, Томас (2003). Рекуррентные последовательности . Математические обзоры и монографии. Том 104. Провиденс, Род-Айленд : Американское математическое общество . С. 103–104. ISBN 0-8218-3387-1. Збл  1033.11006.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Теорема Зигмонди". MathWorld .