Теорема Исбелла о зигзаге

Теорема доминиона в абстрактной алгебре

Теорема Исбелла о зигзаге , теорема абстрактной алгебры, характеризующая понятие доминиона, была введена американским математиком Джоном Р. Исбеллом в 1966 году. ^[1] Доминион — это понятие в теории полугрупп , в рамках изучения свойств эпиморфизмов . Например, пусть U — подполугруппа S , содержащая U , отображение включения является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда , более того, отображение является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда . ^[2] Категории колец и полугрупп являются примерами категорий с несюръективным эпиморфизмом, а теорема о зигзаге дает необходимые и достаточные условия для определения того, является ли данный морфизм эпиморфизмом. ^[3] Доказательства этой теоремы носят топологический характер, начиная с Исбелла (1966) для полугрупп и продолжая Филиппом (1974), завершающим оригинальное доказательство Исбелла. ^{[3] [4] [5]} Чисто алгебраические доказательства были даны Хоуи (1976) и Сторрером (1976). ^{[3] [4] [примечание 1]} ${\displaystyle U\hookrightarrow S}$ ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon S\to T}$ ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{T}({\rm {{im}\;\alpha )=T}}}}}$

Заявление

Зиг-заг

Пунктирная линия — это хребет зигзага.

Зиг-заг: ^{[7] [2] [8] [9] [10] [примечание 2]} Если U — подмоноид моноида ( или подполугруппа полугруппы) S , то система равенств;

${\displaystyle {\begin{aligned}d&=x_{1}u_{1},&u_{1}&=v_{1}y_{1}\\x_{i-1}v_{i-1}&=x_{i}u_{i},&u_{i}y_{i-1}&=v_{i}y_{i}\;(i=2,\dots ,m)\\x_{m}v_{m}&=u_{m+1},&u_{m+1}y_{m}&=d\end{aligned}}}$

в котором и , называется зигзагом длины m в S над U со значением d . Под хребтом зигзага мы подразумеваем упорядоченный (2m + 1) -кортеж . ${\displaystyle u_{1},\dots ,u_{m+1},v_{1},\dots ,v_{m}\in U}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{m}\in S}$ ${\displaystyle (u_{1},v_{1},u_{2},v_{2},\dots ,u_{m},v_{m},u_{m+1})}$

Доминион

Доминион: ^{[5] [6]} Пусть U — подмоноид моноида (или подполугруппа полугруппы) S. Доминион — это множество всех элементов , таких что для всех гомоморфизмов, совпадающих на U , . ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle f,g:S\to T}$ ${\displaystyle f(s)=g(s)}$

Подполугруппу U полугруппы U назовем замкнутой, если , и плотной, если . ^{[2] [12]} ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=U}}}$ ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)=S}}}$

Теорема Исбелла о зигзаге

Теорема Исбелла о зигзаге: ^[13]

Если U является подмоноидом моноида S, то тогда и только тогда, когда либо или существует зигзаг в S над U со значением d , то есть существует последовательность факторизаций d вида ${\displaystyle d\in {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$ ${\displaystyle d\in U}$

${\displaystyle d=x_{1}u_{1}=x_{1}v_{1}y_{1}=x_{2}u_{2}y_{1}=x_{2}v_{2}y_{2}=\cdots =x_{m}v_{m}y_{m}=u_{m+1}y_{m}}$

Это утверждение справедливо и для полугрупп . ^{[7] [14] [9] [4] [10]}

Для моноидов эту теорему можно записать более кратко: ^{[15] [2] [16]}

Пусть S — моноид, пусть U — подмоноид S , и пусть . Тогда тогда и только тогда, когда в тензорном произведении . ${\displaystyle d\in S}$ ${\displaystyle d\in \mathrm {Dom} _{S}(U)}$ ${\displaystyle d\otimes 1=1\otimes d}$ ${\displaystyle S\otimes _{U}S}$

Приложение

• Пусть U — коммутативная подполугруппа полугруппы S. Тогда U коммутативна. ^[10] ${\displaystyle {\rm {{Dom}_{S}(U)}}}$
• Каждый эпиморфизм из конечной коммутативной полугруппы S в другую полугруппу T является сюръективным. ^[10] ${\displaystyle \alpha \colon S\to T}$
• Инверсные полугруппы абсолютно замкнуты. ^[7]
• Пример несюръективного эпиморфизма в категории колец: ^[3] Включение является эпиморфизмом в категории всех колец и кольцевых гомоморфизмов, доказывая, что любая пара кольцевых гомоморфизмов, которые совпадают, фактически равны. ${\displaystyle i:(\mathbb {Z} ,\cdot )\hookrightarrow (\mathbb {Q} ,\cdot )}$ ${\displaystyle \beta ,\gamma :\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Смотрите также

• Эпиморфизмы

Ссылки

Цитаты

1. (Исбелл 1966)
2. (Хауи 1996)
3. (Хиггинс 1988)
4. (Хиггинс 1990)
5. (Хоффман 2008)
6. (Сторрер 1976)
7. (Хауи и Исбелл 1967, Теорема 2.3.)
8. (Холл 1982)
9. (Хиггинс 1986)
10. (Хиггинс 2016)
11. (Митчелл 1972)
12. (Хиггинс 1983)
13. (Хауи 1996, Теорема 1.2.)
14. (Хиггинс 1985)
15. (Стенстрём 1971)
16. (Реншоу 2002)

Библиография

• Higgins, PM (1981). «Epis are on for generalized inverse semigroups». Semigroup Forum . 23 : 255–260. doi : 10.1007/BF02676649. S2CID  122139547. Архивировано из оригинала 2022-11-30 . Получено 2023-08-20 .
• Хиггинс, П. М. (1983). «Определение всех многообразий, состоящих из абсолютно замкнутых полугрупп». Труды Американского математического общества . 87 (3): 419–421. doi : 10.1090/S0002-9939-1983-0684630-8 .
• Хиггинс, Питер М. (1986). «Полностью полупростые полугруппы и эпиморфизмы». Труды Американского математического общества . 96 (3): 387–390. doi : 10.1090/S0002-9939-1986-0822424-3 . S2CID  123529614.
• Хиггинс, Питер М. (1988). «Эпиморфизмы и амальгамы». Colloquium Mathematicum . 56 : 1–17. doi : 10.4064/cm-56-1-1-17 . Архивировано из оригинала 29.07.2023 . Получено 29.07.2023 .
• Хиггинс, Питер М. (1990). «Короткое доказательство теоремы Исбелла о зигзаге». Pacific Journal of Mathematics . 144 (1): 47–50. doi : 10.2140/pjm.1990.144.47 .
• Хиггинс, Питер М. (2016). "Теорема Рамсея в алгебраической полугруппе". Первый международный Тайнань-Московский алгебраический семинар: Труды международной конференции, состоявшейся в Национальном университете Чэнгун в Тайнане, Тайвань, Китайская Республика, 23 июля–22 августа 1994 г. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 9783110883220. Архивировано из оригинала 13 августа 2023 г. . Получено 13 августа 2023 г. .
• Hall, TE (1982). «Эпиморфизмы и господства». Semigroup Forum . 24 : 271–284. doi :10.1007/BF02572773. S2CID  120129600. Архивировано из оригинала 2023-08-11 . Получено 2023-08-10 .
• Холл, TE; Джонс, PR (1983). "Epis are on для конечных регулярных полугрупп". Труды Эдинбургского математического общества . 26 (2): 151–162. doi : 10.1017/S0013091500016850 . S2CID  120509107.
• Isbell, John R. (1966). «Эпиморфизмы и доминионы». Труды конференции по категориальной алгебре. стр. 232–246. doi :10.1007/978-3-642-99902-4_9. ISBN 978-3-642-99904-8. Архивировано из оригинала 2023-07-26 . Получено 2023-07-26 .^{[примечание 3]}
• Хауи, Дж. М.; Исбелл, Дж. Р. (1967). «Эпиморфизмы и доминионы. II». Журнал алгебры . 6 : 7–21. doi : 10.1016/0021-8693(67)90010-5 .
• Хауи, Джон М. (1976). Введение в теорию полугрупп . LMS Monographs; 7. Academic Press. ISBN 9780123569509.
• Хауи, Джон М. (1996). «Теорема Исбелла о зигзаге и ее следствия». Теория полугрупп и ее приложения. стр. 81–92. doi :10.1017/CBO9780511661877.007. ISBN 9780521576697. Архивировано из оригинала 2023-08-05 . Получено 2023-08-05 .
• Исбелл, Джон Р. (1969). «Эпиморфизмы и доминионы. IV». Журнал Лондонского математического общества : 265–273. doi :10.1112/jlms/s2-1.1.265.
• Хоффман, Петр (2008). «Доказательство теоремы Исбелла о зигзаге». Журнал Австралийского математического общества . 84 (2): 229–232. doi : 10.1017/S1446788708000384 . S2CID  55107808.
• Митчелл, Барри (1972). «Доминион Исбелла». Труды Американского математического общества . 167 : 319–331. doi : 10.1090/S0002-9947-1972-0294441-0 . JSTOR  1996142.
• Реншоу, Джеймс (2002). «О свободных произведениях полугрупп и новом доказательстве теоремы Исбелла о зигзаге». Журнал алгебры . 251 (1): 12–15. doi : 10.1006/jabr.2002.9143 .
• Стенстрем, Бо (1971). «Плоскостность и локализация по моноидам». Mathematische Nachrichten . 48 (1–6): 315–334. дои : 10.1002/мана.19710480124.
• Storrer, H. (1976). «Алгебраическое доказательство теоремы Исбелла о зигзаге». Semigroup Forum . 12 : 83–88. doi :10.1007/BF02195912. S2CID  121208494. Архивировано из оригинала 2022-07-17 . Получено 2023-07-31 .

Дальнейшее чтение

• Alam, Noor; Higgins, Peter M.; Khan, Noor Mohammad (2020). «Эпиморфизмы, доминионы и -коммутативные полугруппы». Semigroup Forum . 100 (2): 349–363. arXiv : 1908.01813 . doi : 10.1007/s00233-019-10050-z. S2CID  202133305. ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$
• Ахангер, Шабир Ахмад; Шах, Афтаб Хуссейн (2020). «Эпиморфизмы, доминионы и разновидности полос». Semigroup Forum . 100 (3): 641–650. doi :10.1007/s00233-019-10047-8. S2CID  253772526.
• Хан, Н. М. (1985). «О насыщенных перестановочных многообразиях и следствиях перестановочных тождеств». Журнал Австралийского математического общества, Серия A. 38 ( 2): 186–197. doi : 10.1017/S1446788700023041 . S2CID  122979127.
• Исбелл, Джон Р. (1968). «Эпиморфизмы и доминионы, III». Американский журнал математики . 90 (4): 1025–1030. doi :10.2307/2373286. JSTOR  2373286.
• Isbell, JR (1973). «Эпиморфизмы и доминионы, V». Algebra Universalis . 3 (1): 318–320. doi :10.1007/BF02945133. S2CID  125292076.
• Шейблих, Э. (1976). «О эпосах и владениях групп». Semigroup Forum . 13 (1): 103–114. doi :10.1007/BF02194926. S2CID  123580458.
• Филипп, Дж. М. (1974). «Доказательство теоремы Исбелла о зигзаге». Журнал алгебры . 32 (2): 328–331. doi : 10.1016/0021-8693(74)90141-0 .
• Хиггинс, Питер М. (1985). «Эпиморфизмы, доминионы и полугруппы». Algebra Universalis . 21 (2–3): 225–233. doi :10.1007/BF01188058. S2CID  121142819.
• Хиггинс, Питер М. (1992). Методы теории полугрупп . Oxford University Press. ISBN 9780198535775.
• Хауи, Джон М. (1995). "Полугрупповые амальгамы". Основы теории полугрупп . Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9. MR  1455373. Zbl  0835.20077.
• Камперчоли, Мигель (2018). «Доминионы и примитивные положительные функции». Журнал символической логики . 83 (1): 40–54. doi : 10.1017/jsl.2017.18. hdl : 11336/88474 . JSTOR  26600306. S2CID  19168037.

Сноска

1. Эти чисто алгебраические доказательства были основаны на тензорном произведении, характеризующем доминирующие элементы для моноида, по Стенстрёму (1971). ^{[6] [4]}
2. См. Хоффман ^[5] или Митчелл ^[11] для коммутативной диаграммы .
3. Некоторые результаты были исправлены в работе Исбелла (1969).

Внешние ссылки

• Никол, Эндрю В. «ЧТО ТАКОЕ... ТЕОРЕМА ЗИГЗАГА?» (PDF) . S2CID  51745066.