Теоремы Квиллена А и Б

Две теоремы, необходимые для Q-конструкции Квиллена в алгебраической K-теории

В топологии , разделе математики , теорема А Квиллена дает достаточное условие для того, чтобы классифицирующие пространства двух категорий были гомотопически эквивалентны. Теорема В Квиллена дает достаточное условие для того, чтобы квадрат, состоящий из классифицирующих пространств категорий, был гомотопически декартовым. Эти две теоремы играют центральные роли в Q-конструкции Квиллена в алгебраической K-теории и названы в честь Дэниела Квиллена .

Точные формулировки теорем следующие. ^[1]

Теорема Квиллена A  —  Если — функтор такой, что классифицирующее пространство категории запятых стягиваемо для любого объекта d из D , то f индуцирует гомотопическую эквивалентность . ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle B(d\downarrow f)}$ ${\displaystyle d\downarrow f}$ ${\displaystyle BC\to BD}$

Теорема Квиллена B  —  Если — функтор, индуцирующий гомотопическую эквивалентность для любого морфизма в D , то существует индуцированная длинная точная последовательность: ${\displaystyle f:C\to D}$ ${\displaystyle B(d'\downarrow f)\to B(d\downarrow f)}$ ${\displaystyle d\to d'}$

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i+1}BD\to \pi _{i}B(d\downarrow f)\to \pi _{i}BC\to \pi _{i}BD\to \cdots .}$

В общем случае гомотопическое волокно не является естественным классифицирующим пространством категории: не существует естественной категории такой, что . Теорема B строится в случае, когда особенно хорошо. ${\displaystyle Bf:BC\to BD}$ ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle FBf=BFf}$ ${\displaystyle Ff}$ ${\displaystyle f}$

Ссылки

1. Weibel 2013, Гл. IV. Теорема 3.7 и Теорема 3.8

• Ара, Дмитрий; Мальциниотис, Жорж (апрель 2018 г.). «Теорема Квиллена для строгих ∞-категорий I: La preuve simpliciale». Достижения в математике . 328 : 446–500. arXiv : 1703.04689 . дои :10.1016/j.aim.2018.01.018.
• Quillen, Daniel (1973), "Высшая алгебраическая K-теория. I", Алгебраическая K-теория, I: Высшие K-теории (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Washington, 1972) , Lecture Notes in Math, т. 341, Berlin, New York: Springer-Verlag , стр. 85–147, doi :10.1007/BFb0067053, ISBN 978-3-540-06434-3, МР  0338129
• Шринивас, В. (2008), Алгебраическая K -теория , Modern Birkhäuser Classics (переиздание в мягкой обложке 2-го издания 1996 года), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser , ISBN 978-0-8176-4736-0, Збл  1125.19300
• Weibel, Charles (2013). K-book: введение в алгебраическую K-теорию. Graduate Studies in Math. Vol. 145. AMS . ISBN 978-0-8218-9132-2.