В математической области теории графов теорема Кирхгофа или теорема Кирхгофа о матричном дереве , названная в честь Густава Кирхгофа, представляет собой теорему о количестве остовных деревьев в графе , показывающую, что это число может быть вычислено за полиномиальное время из определителя подматрицы Матрица Лапласа графа; в частности, это число равно любому кофактору матрицы Лапласа. Теорема Кирхгофа является обобщением формулы Кэли , которая определяет количество остовных деревьев в полном графе .
Теорема Кирхгофа основана на понятии матрицы Лапласа графа, которая равна разности между матрицей степеней графа (диагональной матрицей со степенями вершин на диагоналях) и ее матрицей смежности ((0,1)-матрицей с 1 в местах, соответствующих записям, где вершины смежны, и 0 в противном случае).
Для данного связного графа G с n помеченными вершинами пусть λ 1 , λ 2 , ..., λ n −1 — ненулевые собственные значения его матрицы Лапласа. Тогда число остовных деревьев группы G равно
Английский перевод оригинальной статьи Кирхгофа 1847 года был сделан Дж. Б. О'Тулом и опубликован в 1958 году. [1]
Сначала постройте матрицу Лапласа Q для примера ромбовидного графа G (см. изображение справа):
Затем постройте матрицу Q * , удалив любую строку и любой столбец из Q. Например, удаление строки 1 и столбца 1 дает
Наконец, возьмите определитель Q * , чтобы получить t ( G ), который для ромбовидного графа равен 8. (Обратите внимание, что t ( G ) — это (1,1) -комножитель Q в этом примере.)
(Приведенное ниже доказательство основано на формуле Коши – Бине . Элементарное индукционное обоснование теоремы Кирхгофа можно найти на странице 654 книги Мура (2011). [2] ).
Прежде всего обратите внимание, что матрица Лапласа обладает свойством: сумма ее элементов в любой строке и любом столбце равна 0. Таким образом, мы можем преобразовать любой минор в любой другой минор, добавляя строки и столбцы, переключая их и умножая строку или столбец. на −1. Таким образом, кофакторы одинаковы с точностью до знака, и можно убедиться, что на самом деле они имеют одинаковый знак.
Мы продолжаем показывать, что определитель минора M 11 подсчитывает количество остовных деревьев. Пусть n — количество вершин графа, а m — количество его ребер. Матрица инцидентности E представляет собой матрицу размером n - m , которую можно определить следующим образом: предположим, что ( i , j ) является k- м ребром графа, и что i < j . Тогда E ik = 1, E jk = −1, а все остальные записи в столбце k равны 0 ( для понимания этой модифицированной матрицы инцидентности E см. Ориентированную матрицу инцидентности ). Для предыдущего примера (с n = 4 и m = 5):
Напомним, что лапласиан L можно разложить на произведение матрицы инцидентности и ее транспонирования, т. е. L = EE T . Кроме того, пусть F — матрица E с удаленной первой строкой, так что FF T = M 11 .
Теперь формула Коши–Бине позволяет записать
где S пробегает подмножества [ m ] размера n - 1, а FS обозначает матрицу ( n - 1) на ( n - 1) , столбцы которой являются столбцами F с индексом в S . Тогда каждое S определяет n - 1 ребро исходного графа, и можно показать, что эти ребра порождают остовное дерево тогда и только тогда, когда определитель FS равен +1 или -1, и что они не индуцируют остовное дерево . тогда и только тогда, когда определитель равен 0. Это завершает доказательство.
Формула Кэли следует из теоремы Кирхгофа как частный случай, поскольку каждый вектор с 1 в одном месте, -1 в другом месте и 0 в другом месте является собственным вектором матрицы Лапласа полного графа с соответствующим собственным значением n . Эти векторы вместе охватывают пространство размерности n - 1, поэтому других ненулевых собственных значений нет.
В качестве альтернативы обратите внимание, что, поскольку формула Кэли подсчитывает количество различных помеченных деревьев полного графа K n, нам необходимо вычислить любой кофактор матрицы Лапласа K n . Матрица Лапласа в этом случае равна
Любой сомножитель приведенной выше матрицы равен n n −2 , что соответствует формуле Кэли.
Теорема Кирхгофа справедлива и для мультиграфов ; матрица Q модифицируется следующим образом:
Формула Кэли для полного мультиграфа равна m n -1 ( n n -1 -( n -1) n n -2 ) теми же методами, что и выше, поскольку простой граф представляет собой мультиграф с m = 1.
Теорему Кирхгофа можно усилить, изменив определение матрицы Лапласа. Вместо того, чтобы просто считать ребра, исходящие из каждой вершины или соединяющие пару вершин, пометьте каждое ребро неопределенной величиной и пусть ( i , j )-я запись модифицированной матрицы Лапласа будет суммой неопределенных величин, соответствующих ребрам между i -th и j -th вершины, когда i не равно j , и отрицательная сумма по всем неопределенным, соответствующим ребрам, исходящим из i -й вершины, когда i равно j .
Определитель модифицированной матрицы Лапласа путем удаления любой строки и столбца (аналогично нахождению количества остовных деревьев из исходной матрицы Лапласа), приведенный выше, тогда представляет собой однородный полином (полином Кирхгофа) от неопределенных величин, соответствующих ребрам графа. . После сбора членов и выполнения всех возможных сокращений каждый моном в полученном выражении представляет собой остовное дерево, состоящее из ребер, соответствующих неопределенным числам, входящим в этот моном. Таким образом, можно получить явное перечисление всех остовных деревьев графа, просто вычислив определитель.
Доказательство этой версии теоремы см. в Bollobás (1998). [3]
Опорные деревья графа образуют основания графического матроида , поэтому теорема Кирхгофа дает формулу для подсчета количества оснований в графическом матроиде. Тот же метод можно использовать и для подсчета количества оснований в обычных матроидах — обобщении графических матроидов (Маурер, 1976).
Теорему Кирхгофа можно модифицировать, чтобы подсчитать количество ориентированных остовных деревьев в ориентированных мультиграфах. Матрица Q строится следующим образом:
Количество ориентированных остовных деревьев с корнем в вершине i является определителем матрицы, полученной путем удаления i-й строки и столбца Q.
Теорему Кирхгофа можно обобщить для подсчета k -компонентных остовных лесов в невзвешенном графе. [4] K -компонентный остовный лес — это подграф с k связными компонентами , который содержит все вершины и не имеет циклов, т. е. между каждой парой вершин существует не более одного пути. Учитывая такой лес F со связными компонентами , определите его вес как произведение количества вершин в каждом компоненте. Затем
где сумма рассчитана по всем k -компонентным остовным лесам и является коэффициентом многочлена
Последний множитель полинома обусловлен нулевым собственным значением . Более явно это число можно вычислить как
где сумма ведется по всем n – k -элементным подмножествам . Например
Поскольку остовный лес с n –1 компонентами соответствует одному ребру, случай k = n – 1 утверждает, что сумма собственных значений Q в два раза превышает количество ребер. Случай k = 1 соответствует исходной теореме Кирхгофа , поскольку вес каждого остовного дерева равен n .
Доказательство можно провести аналогично доказательству теоремы Кирхгофа. Обратимая подматрица матрицы инцидентности биективно соответствует k -компонентному остовному лесу с выбором вершины для каждого компонента.
Коэффициенты соответствуют знаку коэффициентов характеристического многочлена Q .