Теорема Бертини

В математике теорема Бертини — это теорема существования и общности для гладких связных гиперплоских сечений для гладких проективных многообразий над алгебраически замкнутыми полями , введенная Эудженио Бертини . Это самая простая и широкая из «теорем Бертини», применяемых к линейной системе дивизоров ; самая простая, потому что нет ограничений на характеристику основного поля, в то время как расширения требуют характеристики 0. ^{[1] [2]}

Утверждение для гиперплоских сечений гладких многообразий

Пусть X — гладкое квазипроективное многообразие над алгебраически замкнутым полем, вложенное в проективное пространство . Пусть обозначает полную систему дивизоров гиперплоскости в . Напомним, что это сопряженное пространство к и изоморфно . ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n}}$

Теорема Бертини утверждает, что множество гиперплоскостей, не содержащих X и имеющих гладкое пересечение с X, содержит открытое плотное подмножество полной системы дивизоров . Само множество открыто, если X проективно. Если , то эти пересечения (называемые гиперплоскими сечениями X ) связны, следовательно, неприводимы. ${\displaystyle |H|}$ ${\displaystyle \dim(X)\geq 2}$

Следовательно, теорема утверждает, что общее гиперплоское сечение, не равное X, является гладким, то есть: свойство гладкости является общим.

Над произвольным полем k существует плотное открытое подмножество двойственного пространства , рациональные точки которого определяют гиперплоскости гладких гиперплоских сечений X. Когда k бесконечно, это открытое подмножество имеет бесконечно много рациональных точек и существует бесконечно много гладких гиперплоских сечений в X. ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

Над конечным полем указанное выше открытое подмножество может не содержать рациональных точек и, вообще говоря, не существует гиперплоскостей с гладким пересечением с X. Однако, если взять гиперповерхности достаточно больших степеней, то теорема Бертини справедлива. ^[3]

Схема доказательства

Мы рассматриваем подрасслоение многообразия произведения со слоем над линейной системой гиперплоскостей, пересекающих X нетрансверсально в точке x . ${\displaystyle X\times |H|}$ ${\displaystyle x\in X}$

Ранг расслоения в произведении на единицу меньше коразмерности , так что полное пространство имеет меньшую размерность, чем , и поэтому его проекция содержится в делителе полной системы . ${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |H|}$

Общее заявление

Над любым бесконечным полем характеристики 0, если X является гладким квазипроективным -многообразием, общий член линейной системы дивизоров на X является гладким вне базисного множества системы. Для пояснения, это означает, что заданная линейная система , прообраз гиперплоскости H является гладким -- вне базисного множества f -- для всех гиперплоскостей H в некотором плотном открытом подмножестве двойственного проективного пространства . Эта теорема также верна в характеристике p>0, когда линейная система f неразветвлена. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbf {P} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}(H)}$ ${\displaystyle (\mathbf {P} ^{n})^{\star }}$

Обобщения

Теорема Бертини была обобщена различными способами. Например, результат, принадлежащий Стивену Клейману, утверждает следующее (ср. теорему Клеймана ): для связной алгебраической группы G и любого однородного G -многообразия X и двух многообразий Y и Z , отображающихся в X , пусть Y ^σ будет многообразием, полученным путем разрешения σ ∈ G действовать на Y . Тогда существует открытая плотная подсхема H схемы G такая, что для σ ∈ H , либо пуста, либо имеет чисто (ожидаемую) размерность dim Y + dim Z − dim X . Если, кроме того, Y и Z гладкие , а базовое поле имеет нулевую характеристику, то H можно взять таким образом, что также будет гладким для всех . Приведенная выше теорема Бертини является частным случаем, где выражается как фактор SL _n по подгруппе Бореля верхних треугольных матриц, Z является подмногообразием, а Y является гиперплоскостью. ^[5] ${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$ ${\displaystyle Y^{\sigma }\times _{X}Z}$ ${\displaystyle \sigma \in H}$ ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

Теорема Бертини была также обобщена на области дискретного нормирования или конечные поля, или для этальных покрытий X.

Теорема часто используется для индукционных шагов.

Смотрите также

• Теорема связности Гротендика

Примечания

1. "Теоремы Бертини", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
2. Хартшорн, Гл. III.10.
3. Пунен, Бьорн (2004). «Теоремы Бертини над конечными полями». Annals of Mathematics . 160 (3): 1099–1127. arXiv : math/0204002 . doi : 10.4007/annals.2004.160.1099 .
4. Жуанолу, Жан-Пьер (1983). Теоремы Бертини и приложения . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, Inc. 89. ИСБН 0-8176-3164-X.
5. Клейман, Стивен Л. (1974), «Транверсальность общего перевода», Compositio Mathematica , 28 : 287–297, ISSN  0010-437X

Ссылки

• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157
• Бертини и его две основные теоремы Стивена Л. Клеймана, о жизни и творчестве Эудженио Бертини