Теорема Клеймана

В алгебраической геометрии теорема Клеймана , введенная Клейманом (1974), касается размерности и гладкости схемно-теоретического пересечения после некоторого возмущения факторов в пересечении.

Точнее, он утверждает: ^[1] для данной связной алгебраической группы G, действующей транзитивно на алгебраическом многообразии X над алгебраически замкнутым полем k и морфизмами многообразий, G содержит непустое открытое подмножество такое, что для каждого g в этом множестве ${\displaystyle V_{i}\to X,i=1,2}$

1. либо пусто, либо имеет чистое измерение , где есть , ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$ ${\displaystyle \dim V_{1}+\dim V_{2}-\dim X}$ ${\displaystyle gV_{1}}$ ${\displaystyle V_{1}\to X{\overset {g}{\to }}X}$
2. ( Теорема Клеймана–Бертини ) Если являются гладкими многообразиями и если характеристика базового поля k равна нулю, то является гладким. ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$

Утверждение 1 устанавливает версию леммы Чжоу о перемещении : ^[2] после некоторого возмущения циклов на X их пересечение имеет ожидаемую размерность.

Эскиз доказательства

Мы пишем для . Пусть будет составом, за которым следует групповое действие . ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\to X}$ ${\displaystyle h:G\times V_{1}\to X}$ ${\displaystyle (1_{G},f_{1}):G\times V_{1}\to G\times X}$ ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

Пусть будет расслоенным произведением и ; его множество замкнутых точек равно ${\displaystyle \Gamma =(G\times V_{1})\times _{X}V_{2}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f_{2}:V_{2}\to X}$

${\displaystyle \Gamma =\{(g,v,w)|g\in G,v\in V_{1},w\in V_{2},g\cdot f_{1}(v)=f_{2}(w)\}}$.

Мы хотим вычислить размерность . Пусть будет проекцией. Она сюръективна, поскольку действует транзитивно на X . Каждое волокно p является смежным классом стабилизаторов на X и поэтому ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle p:\Gamma \to V_{1}\times V_{2}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \dim \Gamma =\dim V_{1}+\dim V_{2}+\dim G-\dim X}$.

Рассмотрим проекцию ; слой q над g есть и имеет ожидаемую размерность, если не пуст. Это завершает доказательство утверждения 1. ${\displaystyle q:\Gamma \to G}$ ${\displaystyle gV_{1}\times _{X}V_{2}}$

Для утверждения 2, поскольку G действует транзитивно на X и гладкое множество X непусто (в силу нулевой характеристики), само X является гладким. Поскольку G является гладким, каждое геометрическое волокно p является гладким и, таким образом, является гладким морфизмом . Отсюда следует, что общее волокно является гладким в силу общей гладкости . ${\displaystyle p_{0}:\Gamma _{0}:=(G\times V_{1,{\text{sm}}})\times _{X}V_{2,{\text{sm}}}\to V_{1,{\text{sm}}}\times V_{2,{\text{sm}}}}$ ${\displaystyle q_{0}:\Gamma _{0}\to G}$ ${\displaystyle \square }$

Примечания

1. Фултон (1998, Приложение B. 9.2.)
2. Фултон (1998, Пример 11.4.5.)

Ссылки

• Эйзенбуд, Дэвид ; Харрис, Джо (2016), 3264 и все такое: Второй курс алгебраической геометрии , Cambridge University Press, ISBN 978-1107602724
• Клейман, Стивен Л. (1974), «Трансверсальность общего транслята», Compositio Mathematica , 28 : 287–297, MR  0360616
• Фултон, Уильям (1998), Теория пересечений , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Фолге., т. 3. 2 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4, г-н  1644323